第02講單調性問題（模擬精練+真題演練）1．（2023·全國·模擬預測）已知冪函數，若，則下列說法正確的是（

）A．函數為奇函數 B．函數為偶函數C．函數在上單調遞增 D．函數在上單調遞減【答案】B【解析】依題意，則，設單調遞減,單調遞增,知該方程有唯一解，故，易知該函數為偶函數.故選：B．2．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學?？寄M預測）函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，由，即，解得，所以函數的單調遞增區間為，故選：D3．（2023·廣西玉林·統考模擬預測）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因為在區間上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為二次函數的圖象的對稱軸為，且開口向上所以的最小值為1，所以.故選：B.4．（2023·甘肅蘭州·校考一模）已知是偶函數，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】時，即，∴在上單調遞減，又為偶函數，∴在上單調遞增．∴，∴.故選：A．5．（2023·全國·模擬預測）已知，且，，，其中是自然對數的底數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，，，令，則，因為當時，單調遞增，所以，即，令，則，因為當時，，所以在上單調遞增，又因為且，所以，故選：A6．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預測）已知實數，滿足，，其中是自然對數的底數，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，即，也即，由可得，所以，即，構造函數，在恒成立，所以函數在定義域上單調遞減，所以，即，又因為，所以，所以，解得，故選:B.7．（2023·寧夏銀川·校聯考二模）已知，，對，且，恒有，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，，對，且，恒有，即，在上單調遞增，故恒成立，即，設，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；故，即，即.故選：A8．（2023·四川南充·統考三模）已知函數使（為常數）成立，則常數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，在定義域上單調遞增，又使（為常數）成立，顯然，所以不妨設，則，即，令，，則，即函數在上存在單調遞增區間，又，則在上有解，則在上有解，令，，則，所以在上單調遞增，所以，所以，即常數的取值范圍為.故選：C9．（多選題）（2023·山東濰坊·統考模擬預測）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對于A,,故為奇函數，，故為定義域內的單調遞增函數，故A正確，對于B，，故為非奇非偶函數，故B錯誤，對于C，在定義域內不是單調增函數，故C錯誤，對于D，，，所以定義域內既是奇函數又是增函數，故D正確，故選：AD10．（多選題）（2023·安徽淮北·統考一模）已知函數，則（

）A．在單調遞增B．有兩個零點C．曲線在點處切線的斜率為D．是奇函數【答案】AC【解析】對A：，定義域為，則，由都在單調遞增，故也在單調遞增，又，故當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；故A正確；對B：由A知，在單調遞減，在單調遞增，又，故只有一個零點，B錯誤；對C：，根據導數幾何意義可知，C正確；對D：定義域為，不關于原點對稱，故是非奇非偶函數，D錯誤.故選：AC.11．（多選題）（2023·河北·統考模擬預測）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，不等號的引入對不等式的發展影響深遠．若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】設，，則在上恒成立，所以在上單調遞增，因為，所以，A正確；由得，即，又因為單調遞增，所以，B正確；由得，即，所以，C錯誤；因為，所以，D正確．故選：ABD.12．（多選題）（2023·浙江金華·統考模擬預測）當且時，不等式恒成立，則自然數可能為（

）A．0 B．2 C．8 D．12【答案】BC【解析】由于且，所以，所以，構造函數，當，且時，故當當，因此在單調遞減，在單調遞增，故當時，取最小值，當時，單調遞增，當時，單調遞減，故當時，取最大值，當時，不妨取，則而，不滿足，故A錯誤，當時，，，顯然，故滿足題意，B正確，要使恒成立，則需要，即恒成立即可由于，因此當時，，C正確，當時，，不滿足題意，錯誤，故選：BC13．（2023·內蒙古赤峰·校聯考模擬預測）已知函數，則的單調遞減區間為______.【答案】【解析】由題得的定義域為，由可得，令，，得，所以的單調遞減區間為.故答案為：14．（2023·四川雅安·統考模擬預測）給出兩個條件：①，；②當時，（其中為的導函數）．請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數______．（寫出一個滿足條件的函數即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由，知，函數可以為指數函數，因當時，，則函數在上單調遞減，所以函數可以為.故答案為：15．（2023·四川·石室中學校聯考模擬預測）已知函數，則不等式的解集為______________．【答案】【解析】令，定義域為R，且，所以為奇函數，變形為，即，其，當且僅當，即時，等號成立，所以在R上單調遞增，所以，解得：，所以解集為.故答案為：16．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為________．【答案】【解析】由可知，其定義域為，則，易知當時，；當時，；即函數在單調遞減，在上單調遞增；若函數在區間上不單調，則需滿足，解得；所以實數的取值范圍為.故答案為：17．（2023·天津河西·天津市新華中學?？寄M預測）已知函數.若函數為增函數，求的取值范圍；【解析】∵，則，若是增函數，則，且，可得，故原題意等價于對恒成立，構建，則，令，解得；令，解得；則在上遞增，在遞減，故，∴的取值范圍為.18．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知函數若單調遞增，求a的值；【解析】由可得，，由于函數單調遞增，則恒成立，設，則，當時，，可知時，，不滿足題意；當時，，函數單調遞增，又因為，即，不滿足題意；當時，令，解得，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以當時，函數取得最小值，由可得，，令，則，可知時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，則，由于恒成立，所以，當且僅當時取等號，故函數單調遞增時，實數的值為.19．（2023·貴州貴陽·校聯考模擬預測）實數，，．(1)若恒成立，求實數的取值范圍；(2)討論的單調性并寫出過程．【解析】（1）由題意得，令，的定義域為，由得：．設，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，，即實數的取值范圍為．（2）令，的定義域為．①當時，時，，在上是增函數；時，，在上是減函數；時，，在上是增函數；②當時，，時，在上是減函數；時，在上是增函數；③當時，單調遞增；④當時，時，，在上是增函數，時，，在上是減函數，時，，是增函數．20．（2023·河南·模擬預測）已知函數，．求的單調區間；【解析】由已知可得，定義域為，.令，則.當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以在上恒成立，所以，在上單調遞增．所以，的單調遞增區間為，無遞減區間．21．（2023·湖南·鉛山縣第一中學校聯考二模）已知函數，其中是自然對數的底數.當時，討論函數的單調性；【解析】當時，，則，當時，令解得，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞減，當時，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.22．（2023·全國·模擬預測）已知函數，．(1)當時，討論函數的單調性；(2)若函數在上不單調，求實數a的取值范圍．【解析】（1）當時，函數，定義域為，易知，令，得，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由題意知，則，令，，則．①當時，，則在上單調遞增，所以當時，，所以在上單調遞增，不符合題意．②當時，，則在上單調遞減，所以當時，，所以在上單調遞減，不符合題意．③當時，由，得，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減．易知，當且僅當x＝1時取等號，則當時，，即．所以當x＞0時，．取，則，且．又，所以存在，使得，所以當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故函數在區間上不單調，符合題意．綜上，實數a的取值范圍為．1．（2022·全國·統考高考真題）已知函數．(1)當時，討論的單調性；【解析】當時，，則，當時，，當時，，故的減區間為，增區間為.2．（2022·北京·統考高考真題）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數在上的單調性；【解析】（1）因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）因為，

所以，令，則，∴在上單調遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調遞增.3．（2022·浙江·統考高考真題）設函數．求的單調區間；【解析】，當，；當，，故的減區間為，的增區間為.4．（2021·全國·統考高考真題）已知函數．討論的單調性；【解析】由函數的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；5．（2021·北京·統考高考真題）已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區間，以及其最大值與最小值．【解析】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數的增區間為、，單調遞減區間為.當時，；當時，.所以，，.6．（2021·浙江·統考高考真題）設a，b為實數，且，函數求函數的單調區間；【解析】，①若，則，所以在上單調遞增；②若，當時，單調遞減，當時，單調遞增.綜上可得，時，在上單調遞增；時，函數的單調減區間