平方根

知識要點：

一、1.算術平方根的定義

如果一個正數X的平方等于a,即f=a,那么這個正數X叫做a的算術平方根（規

定0的算術平方根還是0）;a的算術平方根記作右，讀作“a的算術平方根”，a

叫做被開方數.

2.平方根的定義

如果x2=a,那么x叫做a的平方根.求一個數a的平方根的運算，叫做開平方.

平方與開平方互為逆運算.a（a20）的平方根的符號表達為土&（a20）,其中&

是a的算術平方根.

二、平方根和算術平方根的區別與聯系

1.區別：（1）定義不同；（2）結果不同：±&和

2.聯系：（1）包含關系；（2）被開方數非負；（3）0的平方根和算術平方

根均為0.

說明：（1）正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的那個叫它的

算術平方根；負數沒有平方根.

（2）正數的兩個平方根互為相反數，根據它的算術平方根可以立即寫出

它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術平方根來研究平方根.

三、算術平方根小數點位數移動規律

被開方數的小數點向右或向左移動2位，

其算術平方根的小數點就相應地向右或向左移動1位.

例題分析

1、若2m—4與3m—1是同一個正數的兩個平方根，

求m的值.

2、x為何值時，下列各式有意義？

（1）5

（2）Jx-2

1

(3)\/%+1+y[\—X

⑷旦

x—2

3、求下列各式的值.

(1)V252-242732+42

(2)J20--->/036--V900

V435

4、求下列各式中的x.

(1)%2-361=0

(2)(x+l『=289

(3)9(3x+2)2-64=0

5、已知a、b是實數，且J2a+6+卜-闿=0

解關于x的方程：(a+2)x+〃=a—1

6、小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面

積為300cm2的長方形紙片，使它長寬之比為3:2,請你說明小麗能否用

這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

鞏固練習

1.下列說法中正確的有().

①只有正數才有平方根.②-2是4的平方根.

③V16的平方根是±4.④/的算術平方根是a.

⑤(-2)2的平方根是-2.⑥y/9=±3.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.若m=>/而-4,則估計m的值所在的范圍是()

A.l<m<2B.2<m<3

C.3<m<4D.4<m<5

3,有一個數值轉換器，原理如下:

2

-----------------1是無理數--------

輸入T*取算術平方根一-T—?輸出

是有理數

當輸入的x=64時，輸出的y等于（）

A.2B.8C.2A/2D.3V2

3

立方根、實數

知識要點：

一、立方根的定義

如果一個數的立方等于a,那么這個數叫做a的立方根或三次方根.即如果V="，

那么x叫做a的立方根。求一個數的立方根的運算，叫做開立方.一個數a的立方根，

用蚣表示，其中a是被開方數，3是根指數.開立方和立方互為逆運算.

二、立方根的特征

立方根的特征：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.

說明：任何數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數

的符號相同.兩個互為相反數的數的立方根也互為相反數.

三、實數

有理數和無理數統稱為實數.

1.實數的分類

按定義分-數1有理數：有限小數或無限循環小數

"上”頭［無理數：無限不循環小數

?正數

按與。的大小關系實數,0

2.實數與數軸上的I負數.

數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點

與之對應.

四、實數大小的比較

對于數軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數總是比左邊的點表示的實數大.

正實數大于0,負實數小于0,兩個負數，絕對值大的反而小.

開立方例題分析

1、下列結論正確的是（）

A.64的立方根是±4B.-L是的立方根

26

C.立方根等于本身的數只有0和1D.g=-河

2、求下列各式的值：

4

(2)#11X43+52

(4)^27+J(-3)2-V-f

3、求下列各式中的x值.

（1）271=8；

⑵（x-2）3+1=0；

（3）1000（X+1）3=-27;

⑷-（2X-3）3=54.

4

4.將棱長分別為acm和bcm的兩個正方體鋁塊熔化，制成一個大正方體

鋁塊，這個大正方體的棱長為cm.（不計損耗）

5.已知實數a,a+=&

求Ia—l+Ia+1I的值.

6.已知5x+19的立方根是4,

求2x+7的平方根.

開立方例題分析

1.判斷正誤，在后面的括號里對的用“J”，錯的記“X”表示，并

說明理由.

（1）無理數都是開方開不盡的數.（）

（2）無理數都是無限小數.（）

（3）無限小數都是無理數.（）

（4）無理數包括正無理數、零、負無理數.（）

（5）不帶根號的數都是有理數.（）

（6）帶根號的數都是無理數.（）

（7）有理數都是有限小數.（）

5

(8)實數包括有限小數和無限小數.()

2.已知實數x、y、z在數軸上的對應點如圖所示，

ftAAA-

*yo；

Ix—zI

一/…\x-y\-\y+z\+\x+z\+------?

試化簡：x-z

3.若a的兩個平方根是方程3x+2y=2的一組解.

(1)求a的值；

(2)求a?的算術平方根.

4、己知(。一2b+1)'+—3-0,且y/c-4,

求物川+。的值.

5、如圖：平行四邊形ABCO中，點A、C的坐標分別是

月(65,C(2有,0).

(1)寫出點B的坐標；

(2)將平行四邊形ABC0向左平移逐個單位長度，

求所得平行四邊形四個頂點的坐標；

(3)求平行四邊形ABC0的面積.

6

實數復習

知識要點：

一。平方根和立方根

類型

平方根立方根

項目

被開方數非負數任意實數

符號表示±4al/a

一個正數有兩個平方根，且一個正數有一個正的立方

互為相反數；根；

性質零的平方根為零；一個負數有一個負的立方

負數沒有平方根；根；

零的立方根是零；

(而)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結論療=M=卜3±0)=a

日a(a<0)

=-Va

—.實數

有理數和無理數統稱為實數.

1.實數的分類

按定義分^數［有理數：有限小數或無限循環小數

“L"頭數1無理數：無限不循環小數

,正數

按與0的大小關系實數,0

2.實數與數軸上的I負數.

數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點

與之對應.

三、實數大小的比較

對于數軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數總是比左邊的點表示的實數大.

正實數大于0,負實數小于0,兩個負數，絕對值大的反而小.

四.實數的運算：

數a的相反數是一a；一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的

相反數；0的絕對值是0.有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合

運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，

有括號先算括號里.

五.實數的大小的比較:

7

有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立。

法則1.實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數

大；

法則2.正數大于0,0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而

小；

法則3.兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法。

例題分析

3%才+12

1、己知了=空Jx---3--+13--x-----,

求％2了的值.

練習1.己知y—Jx—2+A/2—x+3)

求V的平方根。

練習2.若即3工-7和曲+4互為相反數，

求x+y的值。

2、已知必是滿足不等式-石的所有整a的和，N是滿足不等式

2的最大整數.

求,什川的平方根.

3、己知a是質的整數部分，8是它的4強部分，

求?-a「+1匕+39的值.

練習：已知5+而的d激部分為a,5—而的小數部分為b,

貝ija+b的值是;a-b的值是.

4、閱讀理解，回答問題.

在解決數學問題的過程中，有時會遇到比較兩數大小的問題，解決這類問題的關鍵

是根據命題的題設和結論特征，采用相應辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的

一種行之有效的方法：若a—b>0,則a>b；若a—b=0,則a=b；若a—b<0,則a(b.

例如：在比較m2+l與m2的大小時，小東同學的作法是：

8

（羽，+1）一（活=病+1-=1＞0,

..W24-1＞病.

請你參考小東同學的作法，比較大小:4杉-------（2+Jiy

練習：例々在數軸上的位置如圖所示，

則a,—q—尸2的大小關系是：

a

-1a0

5、已矢口a、b1^78+16-^1=0

解關于x的方，（以+2）x+"=°-1

練習：設a、b、c都是實數，上（2—以y+Ja，+.+c+r+8|=0

求代數2a-劭-。的值。

6、閱讀材料：

學習了無理數后，某數學興趣小組開展了一次探究活動：估算爐的近似值.

小明的方?.?加（后＜設歷=3+左（0＜左＜1）.

問題：（/.（V13）2=（3+左）L..13=9+6左+左？.

（2）i音幺4V—4

13?9+6k,解得A??—./.yjY3?3H—?3.67.

66

己知非負整數a、b、m,若+

且以=4+匕，則赤'曰?含a、3的代數式表示）；

（3）請用《2）中的結論估算后的近似值.

鞏固練習

1.已知a、。是實數，下列命題結論正確的是（）

A.若a＞6,則B.若a＞I61,則/＞匕2

C.若lai＞6,則D若則

2.下列式子表示算術平方根的是（）.

9

37=3?^(-25)(-11=5③y=

④-后=5⑤±V5?3T=±O.l⑥必=621<7>0I

A.①