PortfolioManagementandCAPM2“不要把所有的雞蛋都放在同一只籃子里。〞——1981年諾貝爾經濟學獎公布后，記者要求獲獎人、耶魯大學的JamesTobin教授盡可能簡單、通俗地概括他的研究成果，教授即答復了這句話3內容提要風險資產組合理論—HarryMarkowitz風險資產組合與無風險借貸的結合—JamesTobin資本資產定價模型—WilliamSharpe,etal.注意！本章內容具挑戰性——會聚數位諾貝爾獎得主的研究成果風險資產組合理論15從一那么故事說起……從前，一老嫗膝下生有

二女：長女嫁至城東染布

店作婦、小女許與城西雨

傘店為媳。遇天雨，老婦

就愁眉不展；逢天晴，老

婦也唉聲嘆氣，全年到頭

未嘗舒心開顏。人怪之，或問其故，對曰：“陰天染布不得曬，晴天傘具無從賣。悲乎吾二女，苦哉老身命！〞……故事本意勸人換個角度看問題，但其中也蘊含多元化減低風險的道理——16例5-1：多元化降低風險——

DiversificationReducesRisk投資天氣概率結果加權結果染布店晴天.40￥600￥240（￥1,000）下雨.60-200-120預期結果￥120雨傘店晴天.40-￥300-￥120（￥1,000）下雨.60500300預期結果￥180組合：晴天.40￥300￥120染店＋傘店下雨.60300180（￥2,000）預期結果￥30017多元化的效果1單項資產的收益與風險19單項資產的收益——

單項資產的預期收益率(expectedreturn)(5-1)110表5-1：單項資產預期收益率的計算投資天氣概率

pi可能收益率

Ripi×Ri染布店晴天.4060%24%下雨.60-20%-12%∑1.00預期收益率E(R)=12%∑pi=1111表5-2：染布店和雨傘店的預期收益率投資天氣概率pi可能收益率Ripi×Ri染店晴天.4060%24%下雨.60-20%-12%預期收益率E(RA)=12%傘店晴天.40-30%-12%下雨.6050%30%預期收益率E(RB)=18%112單項資產的風險——

單項資產收益率的方差(variance)

/標準差(standarddeviation)(5-2)113表5-3：單項資產收益率的方差/標準差計算投資（1）pi（2）Ri（3）pi×Ri（4）Ri–E(R)（5）[Ri–E(R)]2（6）pi[Ri–E(R)]2染店.40.60.24.48.2304.09216.60-.20-.12-.32.1024.06144∑1.00E(R)=.12σ2=

.15360114表5-4：染布店和雨傘店收益率的方差

/標準差投資（1）pi（2）Ri（3）pi×Ri（4）Ri–E(R)（5）[Ri–E(R)]2（6）pi[Ri–E(R)]2染店.40.60.24.48.2304.09216.60-.20-.12-.32.1024.06144∑1.00E(RA)=.12σA2=.15360傘店.40-.30.12-.48.2304.09216.60.50-.30.32.1024.06144∑1.00E(RB)=.18σB2=.15360標準差相等，風險相同？115染布店雨傘店預期收益率E(R)12%18%方差σ2.1536.1536標準差σ39.19%39.19%1資產組合的收益與風險117資產組合權數portfolioweights118資產組合的收益——

組合的預期收益率portfolioexpectedreturn資產組合的預期收益率第i項資產的

預期收益率(5-3)1或記作：資產組合的收益率是單一資產收益率的加權平均。19表5-6：染布店＋雨傘店組合的預期收益率天氣概率pi資產組合的收益率RPipi×RPi晴天.40.50×(60%)+.50×(-30%)=15%6%下雨.60.50×(-20%)+.50×(50%)=15%9%預期收益率E(RP)=15%120資產組合的風險——

組合收益率的方差/標準差切忌慣性思維。資產組合的風險非單個資產風險的加權。正如我們已看到，該組合不存在風險，故而組合的方差/標準差應該為0。正確的計算方法仍可從方差的定義出發——121表5-7：染布店＋雨傘店組合收益率的

方差與標準差計算天氣(1)pi(2)RPi(3)pi×RPi(4)RPi–E(RP)(5)=[RPi–E(RP)]2(6)=(1)×(5)晴天.4015%6%000下雨.6015%9%000E(RP)=15%σP2=0122表5-8：單項資產的收益與風險vs.

資產組合的收益與風險染布店雨傘店組合：

染店+傘店預期收益率，E(R)12%18%15%方差，σ2.1536.15360標準差，σ39.19%39.19%0從收益與風險看多元化，其得失如何1多元化減少風險的原理124收益率的協方差(Covariance)衡量組合中一種資產相對于其它資產的風險，記作Cov(RA,RB)或σAB協方差>0，該資產與其它資產的收益率正相關協方差<0，該資產與其它資產的收益率負相關1(5-4)25表5-9：染布店和雨傘店收益率的協方差天氣(1)pi(2)RAi(3)RAi-E(RA)(4)RBi(5)RBi-E(RB)(6)=(3)×(5)(7)=(1)×(6)晴.4060%48%-30%-48%-.2304-.09216雨.60-20%-32%50%32%-.1024-.06144E(RA)=12%E(RB)=18%σAB=-.15360即：126用協方差計算組合的方差〔兩種資產〕假設兩種資產的協方差σAB和各自的方差σA2、σB2，那么由這兩種資產按一定權重構成的組合的方差為：wA

、wB為資產組合權數，wA

+wB=1(5-6)127例：用協方差計算雨傘店＋染布店

組合的方差：WA=WB=.5,οA2=οB2=.1536,οAB=-.1536,那么組合的方差——計算結果同表5-7128收益率的相關系數(Correlation)——

將協方差標準化協方差的數值大小難以解釋，解決方法就是計算兩種資產的相關系數——協方差除以各自標準差的乘積：相關系數總是介于+1和-1之間，其符號取決于協方差的符號“rho〞(5-5)129例：染布店和雨傘店收益率的相關系數ρAB=+1，兩種資產的收益率完全正相關(極罕見)ρAB>0，正相關〔最常見〕ρAB=0，無關〔極罕見〕ρAB<0，負相關〔罕見〕ρAB=-1，完全負相關〔極罕見〕130兩種資產的協方差σAB可被定義為相關系數同每個單項資產標準差的乘積——σAB=ρABσAσB，故兩種資產組合的方差又可表示為多元化減少風險的原理該式不僅為我們提供了另一種計算資產組合的方差的途徑，更重要的是，它揭示了多元化效應產生的機理——(5-7)131多元化減少風險的原理〔續〕假設ρAB=1，σP=wAσA+wBσB，組合的風險等于單個資產風險的加權平均數——即假設兩種資產收益率完全正相關，多元化無助于消除風險假設ρAB<1，σP<wAσA+wBσB，組合的風險小于單個資產風險的加權平均數。亦即，只要兩種資產收益率不完全正相關，組合的多元化效應就會起作用當ρAB=－1，多元化將能完全消除風險132推廣到多種資產組合*以上僅討論兩種資產的組合，我們還可以將其推廣到多種資產構成的組合，即只要組合中兩兩資產收益間的相關系數<1，組合的標準差〔風險〕一定小于組合中各種資產標準差〔風險〕的加權平均數——多元化效應一定會出現1多元化效應及其啟示134N種資產組合的方差資產組合的方差是構成資產方差的加權平均與每兩種不同資產之間協方差的加權平均之和——其中：i≠j(5-8)135表5-10：N種資產組合方差的矩陣計算表資產123…N1w12σ12w1w2σ12w1w3σ13…w1wNσ1N2w2w1σ21w22σ22w2w3σ23…w2wNσ2N3w3w1σ31w3w2σ32w32σ32…w3wNσ3N………………NwNw1σN1wNw2σN2wNw3σN3…wN2σN2136表5-11：組合中的方差與協方差項數與

構成組合的資產種數之間的關系構成組合的

資產種數組合方差的

總項數組合中各種資產方差的項數組合中各對資產協方差的項數11102422393610100109010010,0001009,900…………NN2NN2

－N137例5-2：一個特殊的資產組合假設表5-10中，(1)每種資產具有相同的方差〔Var〕；(2)每對資產的協方差相同〔Cov〕；(3)每種資產占組合比例相同〔1/N〕資產123…N1(1/N2)Var(1/N2)Cov(1/N2)Cov…(1/N2)Cov2(1/N2)Cov(1/N2)Var(1/N2)Cov…(1/N2)Cov3(1/N2)Cov(1/N2)Cov(1/N2)Var…(1/N2)Cov………………N(1/N2)Cov(1/N2)Cov(1/N2)Cov…(1/N2)Var138特殊資產組合的方差將上表的各項相加，得到該特殊資產組合的方差為：不斷增加組合中資產的種數，N∞(5-9)(5-10)139圖5-1：特殊組合方差與組合中資產種數

之間的關系組合的風險組合中資產的種數1234不可化解風險：組合風險、市場風險、或系統性風險可化解風險：特有風險、或非系統性風險140從特殊資產組合的方差看多元化效應141多元化效應的啟示142多元化與非系統風險143多元化與系統風險本章將在后面加以具體說明144例5-3：多元化效應的應用145你選的是這個答案嗎？如果用方差來比較不同方案的風險，你會算嗎？146更多多元化的例子輪盤賭所有的￥1000全壓紅分成1000份，每次壓￥1“新浪〞賭棋1兩種資產組合的有效集148如何進行資產組合？首先從兩種資產的組合考察起——149例5-4：改變權數時兩種資產組合的

預期收益率-標準差〔收益-風險〕的集合單項資產預期收益率E(R)標準差σ相關系數ρAB股票A—白兔高科20%15%+0.5股票B—金龜實業10%10%組合123456wA0.00.20.40.60.81.0wB1.00.80.60.40.20.0E(RP)10.0%12.0%14.0%16.0%18.0%20.0%σP10.0%9.8%10.4%11.5%13.1%15.0%150風險

σp收益E(Rp)1A—兔高科B—龜實業wA=.6wB=.4wA=.8wB=.2方差最小組合(MV)51時機集OpportunitySet152曲線或直線153不同相關系數下的時機集當相關系數變化時，組合的收益-風險曲線隨之不同：相關系數〔程度〕越低，曲線越彎，取得同等預期收益所擔的風險越小〔當ρAB=-1，彎曲度到達最大--折斷了〕一對證券間只存在一個相關系數，所以現實中一對證券也只存在一個時機集——亦即只有一條曲〔直〕線，其它線只是供參照比照的假設情形154收益E(Rp)1020101514風險

σpBAρ=1ρ=0.5ρ=0ρ=-.5ρ=-1155最小方差組合1該權數如何推知？56最小方差組合中各資產的權數設wA＝x，wB＝1－x，那么：當wA

＝x

＝(σB2

－σAB)／(σA2＋σB2－σAB)時，σP2有最小值157假設ρ=－1，wA*和σP*又是多少？組合最小方差(5-11)158“反弓曲線〞增加高風險資產〔兔高科〕所占比例，組合的風險不升反降？！159圖5-4：兩種資產的有效集〔ρAB=+.5〕

——將圖5-2局部放大ABMVwA=.05wB=.95wA=.6wB=.412收益E(Rp)風險

σp160有效集

EfficientSet1多種資產組合的有效集162風險

σp收益E(Rp)圖5-5：三種資產組合的收益-風險的

1,000對可能組合之模擬wA=.72wB=.21wC=.07wA=.26wB=.69wC=.05wA=.36wB=.13wC=.511631風險

σp收益E(Rp)MVBAUV64多種資產組合的時機集165多種資產組合的時機集〔續〕166多種資產組合的有效集167即便得出有效集，仍要由你做選擇168即便得出有效集，仍要由你做選擇〔續〕1風險資產組合與

無風險借貸的結合2一種風險資產

與一種無風險資產的組合271無風險資產

Risk-FreeAsset/RisklessAsset無風險資產的代表，在美國為國庫券〔T-bills〕，在中國那么為銀行活期〔短期〕

存款，或者以國庫券作為參照272例5-5：一種風險資產與

一種無風險資產構成的組合M公司股票無風險資產預期收益率14%10%標準差0.200273一種風險資產與一種無風險資產

所構成組合的預期收益率組合的收益等于風險資產與無風險資產收益的加權平均——計算上實際是將其視同兩種風險資產〔其一是風險為0的“風險資產〞〕組合的收益，換言之，前述公式仍適用：無風險利率，即E(RF〕無風險資產的權數風險資產的預期收益率(5-12)274解：一種風險資產與一種無風險資產

所構成組合的方差套用兩種風險資產組合的方差公式，由一種風險資產和一種無風險資產構成的組合的方差為其中，σRF,σRF,M=0，上式僅有第二項為正值，其余為零，即：(5-13)275表5-12：一種風險資產與一種無風險資產

不同借貸組合下的風險與收益(1)(2)(3)(4)(5)(1)×(3)+(2)×(4)(2)×(5)w1-wRFE(RM)σME(RP)σP1.000.0010%14%.2010.0%0%0.650.3510%14%.2011.4%7%0.001.0010%14%.2014.0%20%-0.201.2010%14%.2014.8%24%276圖5-7：一種風險資產與一種無風險資產

所構成組合的風險-收益關系20%風險

σp收益E(Rp)14%RF=10%2B女士的組合35%投資于M公司65%投資于無風險資產M公司120%投資于M公司-20%投資于無風險資產（按無風險利率借款）借款投資于M公司，且借入利率高于無風險（貸出）利率77一種風險資產與一種無風險資產所構成組合的時機集2782792無風險資產

與風險資產組合的組合281無風險資產與風險資產組合的組合我們已經討論的組合是：一種無風險資產Onerisklessasset+一種風險資產Oneriskyasset一種無風險資產Onerisklessasset+風險資產組合Portfolioofriskyassets282圖5-8：無風險資產和風險資產組合

所構成組合的收益與風險2AZ風險σp收益E(Rp)Q第I線170%—無風險資產30%—組合Q235%—無風險資產65%—組合Q3M第II線（資本市場線，CML）45無風險利率(RF)-80%—無風險資產180%—組合Q83無風險資產與風險資產組合

所構成組合的時機集284點Q點1（貸出￥70）點3（借入￥80）四川長虹￥30￥9.00￥54青島海爾4513.5081深發展257.5045無風險資產070.00-80總投資￥100￥100.00￥1002852最優資產組合——無風險資產與風險資產組合所構成組合的有效集86最優資產組合〔續〕287資本市場線〔capitalmarketline,CML〕288別離定理〔separationprinciple〕289別離定理〔續〕2別離定理對組合選擇的啟示91共同期望假設

Homogeneousexpectations2該假設雖不可能完全

成立，但能得到近似

滿足92市場組合〔Marketportfolio〕293市場組合〔續〕在實踐中，金融經濟學家常以S&P500指數來代表市場組合294資本市場線〔CML〕的方程資本市場線〔CML〕可以用無風險利率、市場組合的預期收益率和標準差來描述：斜率：風險的價格〔priceofrisk〕，即承擔單位風險所要求的回報率〔對風險的補償〕分母：市場組合的風險分子：市場組合的風險報酬(5-14)2截距：無風險利率

〔對資金時機本錢、

通脹的補償〕95*CML方程的推導(1)(2)將(1)代入(2)，即得到資本市場線方程296例5-8：1926~1999美國資本市場的風險價格

與CML的方程2資本資產定價模型〔CAPM〕CML說明了有效資產組合的風險與收益之間的關系，但并未說明無效組合及單個資產的相應情況，夏普通過引入β系數并建立CAPM，用相關但不同的方法，界定了所有資產與證券〔包括單個資產、有效與無效組合〕的風險與收益的關系398風險資產的預期收益率在第四章我們看到一項風險資產的風險調整貼現率〔風險資產的預期收益率〕可以表示成：風險資產i的預期收益率無風險利率/無風險資產〔政府債券〕收益率399市場組合的預期收益率市場組合的風險溢價〔根據歷史數據估計〕現行無風險利率目前持有市場組合的預期收益率當持有的風險資產為市場組合M時，上述方程可改寫為：31003101單個資產的預期收益率風險資產i的預期收益率風險資產i的貝塔系數(5-15)3102某種資產的貝塔系數〔β〕一種資產的貝塔系數〔β〕又被稱作該資產的“β風險〞，它可以看作是該資產風險與市場組合風險之比：假設資產i的風險等于市場平均風險，那么βi=1.0假設資產i的風險高于市場平均風險，那么βi>1.0假設資產i的風險低于市場平均風險，那么βi<1.03103表5-13：代表性行業與公司的β系數行業β公司β航空運輸1.04阿拉斯加航空0.94服裝0.99美國在線1.72銀行1.25美洲銀行1.40通訊設備1.32波音0.96微型計算機1.18卡羅來納電力照明0.40電子元件1.42戴爾1.49食品及相關0.44英特爾1.39衛生保健0.69微軟1.41汽車1.06沃爾瑪0.84公用事業-電力0.40雅虎1.99Source:InvestmentDataBook,VestekSystems,SF,November19993104計算預期收益率到底為何用？3105(5-16)該組合的風險高于市場平均風險假設該組合為市場組合，那么組合內所有證券β系數加權結果βM=？3106資本資產定價模型

Capital-asset-pricingmodel,CAPM公式〔5-15〕就是CAPM：某種證券的預期收益率與該種證券的β系數線性正相關假設βi=0，那么E(Ri)=RF，某一證券的期望收益率正好為無風險利率——因為β系數為零表示沒有風險假設βi=1，那么E(Ri)=E(RM)，某一證券的期望收益率正好等于市場的平均收益率——因為β系數為1表示所承擔的風險為市場平均風險3107圖5-9：證券市場線〔Securitymarketline,SML〕3E(Ri)收益

βi風險RF1.00.8截距MSML斜率：[E(RM)-RF]ABC市場組合108SML的三個要點3109SML要點一：線性向上傾斜——β系數大的證券的期望收益率高于β系數小的證券的期望收益率直線——所有證券的期望收益率與β系數間的關系均將服從這條直線，概莫能外對圖5-9上的點B、C也能通過分析得到同樣結論3SML給出的是期望形式下的風險與收益的關系，假設預期收益高于證券市場線給出的的收益，那么應該看多該證券，反之那么看空。SML只是說明我們期望高β的證券會獲得較高的收益，并不是說高β的證券總能在任何時候都能獲得較高的收益，如果這樣高β證券就不是高風險了。假設當前證券的實際收益已經高于證券市場線的收益那么應該看空該證券，反之那么看多。當然，從長期來看，高β證券將取得較高的平均收益率——期望回報的意義。111假設將組合的β系數代入CAPM，也能得出同樣的結果：3112SML要點三：與CML的區分資本市場線〔CML〕是無風險資產與風險資產組合所構成組合的有效集，證券市場線〔SML〕那么說明期望收益與β的關系，二者主要區分在于：度量風險的指標——在圖5-9中橫軸為貝塔系數β，而在圖5-8中橫軸那么為標準差σ模型成立的范圍——圖5-9中的SML對單個證券或所有可能的證券組合均成立，而圖5-8中的CML僅對有效的證券組合方才成立3SML雖然是由CML導出，但其意義不同CML給出的是市場組合與無風險證券構成的組合的有效集，任何資產〔組合〕的期望收益不可能高于CML。SML給出的是單個證券或者組合的期望收益，它是一個有效市場給出的定價，但實際證券的收益可能偏離SML。均衡時刻，有效資產組合可以同時位于資本市場線和證券市場線上，而無效資產組合和單個風險資產只能位于證券市場線上。系統風險與貝塔系數*3115一項資產在孤立時與作為組合一局部時的風險3某項資產的總風險＝該項資產的

系統風險＋該項資產的非系統風險不可被多元化消除可被多元化消除資產i在孤立時的風險：總風險資產i作為組合一局部時的風險：系統風險116相關系數的取值與系統風險占總風險的比例ρiM為資產i收益率與組合M收益率的相關系數，反映二者相關關系的強弱，決定系統風險占總風險的比例，其理論取值范圍為[-1.0,+1.0]在一個極端，ρiM=+1〔資產i和組合M收益率完全正相關〕，系統風險等于總風險，多元化不能帶來任何利益在另一極端，ρiM=-1〔資產i和組合M收益率完全負相關〕，在組合中參加適量資產i可完全消除風險大多數資產的ρiM在0.5~0.8之間，亦即其總風險的50~80%〔20%~50%〕不可〔可〕被多元化消除3117系統風險原那么

Systematicriskprinciple3118本章前面定義一項資產的β為：貝塔系數的測算3在可能進行多樣化時，衡量一項資產的風險的有關尺度是它的系統風險：=1119貝塔系數的測算〔續〕3資產i與組合M收益率的相關系數資產i收益率的標準差組合M收益率的標準差公式所需的上述各項數據都可通過歷史數據統計得來，再代入公式(5-17)，就可得到諸如表5-13的各單項資產的貝塔系數(5-17)120將公式(5-17)的分子分母同乘以σM：另一種計算β的方法3資產i與組合M收益率的協方差組合M收益率的方差實際上，假設將資產i的收益率Ri對組合M的

收益率RM作回歸計算，回歸直線的斜率就是βi——見圖5-10121中證300指數

收益率%圖5-10：*貝塔系數的直觀含義回歸曲線的斜率即為清華同方的貝塔系數如圖，一種資產的貝塔系數〔β〕又被定義為：該資產收益率相對市場組合收益率變動的反響程度的衡量指標3122本章小結套利定價模型

因素模型無套利均衡正規表述APT和CAPM

4套利定價模型—因素模型因素模型夏普-林特納的資本資產定價模型認為：資產的收益〔價格是收益率的倒數〕是惟一由市場證券組合收益這個因素〔或者指數〕決定的，可以稱它單因素模型。更為一般的，單因素模型假定任意風險資產收益由一個公共因素〔commonfactor〕決定，一般采用下面的線性函數形式。4ai是常數F就是公共因素或者指數〔index〕bi是因素F對于風險資產i的收益率的影響程度，稱它為靈敏度〔sensitivity〕或者因素負荷〔factorloading〕ei是隨機誤差項4