§9.子群的陪集

9.1子群的左陪集

9.2子群的右陪集

9.3子群的指數(shù)

9.4拉格朗日定理

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在這一節(jié)里我們要利用群的一個(gè)子群來(lái)作一個(gè)的分類，然后由這個(gè)分類推出一個(gè)重要的定理．我們從等價(jià)關(guān)系開(kāi)始.9.1子群的左陪集我們看一個(gè)群和的一個(gè)子群．我們規(guī)定一個(gè)的元中間的關(guān)系：，當(dāng)而且只當(dāng)?shù)臅r(shí)候

給了和，我們可以唯一決定，是不是屬于，所以是一個(gè)關(guān)系,并且:，所以Ⅰ，所以ⅡⅢ………….所以，這樣，是一個(gè)等價(jià)關(guān)系．利用這個(gè)等價(jià)關(guān)系，我們可以得到一個(gè)的分類:[a],[b],[c]……,這里稱為a的等價(jià)類(2)

引理1[a]=aH={ah|h屬于}證明:(1)定義1

由上面的等價(jià)關(guān)系所決定的類叫做子群的左陪集.由引理1左陪集既是等價(jià)類,又是子集的乘法aH.由等價(jià)類的性質(zhì)可以推出左陪集的一些重要性質(zhì):

(1)(2)(3)(5)任意兩個(gè)左陪集或者(4)例１

，，，，，，

那么(注意我們規(guī)定的乘法順序和書(shū)上的相反)，，，注意(12)H=??(123)H=???(132)H=??這樣，子群把整個(gè)分成(1)H,(13)H,(23)H三個(gè)不同的左陪集．這三個(gè)左陪集放在一起顯然正是，因此，它們的確是的一個(gè)分類．9.2子群的右陪集比照左陪集,給出右陪集,以及性質(zhì)右陪集是從等價(jià)關(guān)系：

，當(dāng)而且只當(dāng)?shù)臅r(shí)候定義2由等價(jià)關(guān)系所決定的類叫做子群的右陪集．包含的陪集我們用符號(hào)來(lái)表示．性質(zhì)2(1)------(5)9.3子群的指數(shù)引理2之間存在1-1映射.證明:………..的左陪集所作成的集合記做,的右陪集所作成的集合叫做定理１和之間存在1-1映射．是一個(gè)與間的一一映射．因?yàn)椋鹤C明構(gòu)造::(1)所以右陪集的象與的選擇無(wú)關(guān)，是一個(gè)到的映射；（ⅱ）的任意元是的元的象，所以是一個(gè)滿射；（ⅲ）證完．定義一個(gè)群的一個(gè)子群的右陪集（或左陪集）的個(gè)數(shù)叫做在里的指數(shù)．9.4拉格朗日定理下面我們要用左陪集來(lái)證明幾個(gè)重要定理．定理２假定是一個(gè)有限群的一個(gè)子群．那么的階和它在里的指數(shù)都能整除的階，并且證明的階既是有限，的階和指數(shù)也都是有限正整數(shù)．的個(gè)元被分成個(gè)左陪集，而且由引理，每一個(gè)左陪集都有個(gè)元，所以證完定理３一個(gè)有限群的任一個(gè)元的階都整除的階．證明………證完．例３對(duì)于有限群的階N的一個(gè)因子k,可以沒(méi)有k階子群,也可以沒(méi)有k階元素．例4