留壩縣中學(xué)2020屆高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試

理科數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II兩部分共150分，考試時(shí)間150分鐘.

2.請將各題答案填寫在答題卡上

3.本試卷主要考試內(nèi)容:高考范圍

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

］、已知集合4={（占#*_6工+、2一”+9=0},8={（x,y）|（x+l『+（y_2）2=9},則

4AB中的元素的個(gè)數(shù)為（）

A.。個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

2、已知九〃是兩條不同直線，久夕是兩個(gè)不同平面，給出四個(gè)命題：

①若。夕=〃7,“ua,nLrn,則②若切，夕，則口￡；③若

則a，尸；④若加B，m〃，則。尸.其中正確的命題是（）

A.①②B.②③C.①④D.②④

3、經(jīng)過點(diǎn)雙（3，。）作圓Y+y2-2x-4y_3=°的切線/,則/的方程為（）

Ax+y-3=0B.x+y-3=0或1=3

C.x-y-3=0口,x_y_3=0或％=3

4,勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機(jī)械工程專家,

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半

徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是

勒洛三角形.現(xiàn)在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正三

角形內(nèi)的概率為（）//\\

2兀-36

A.2(兀一代)B.2(兀一⑨

62兀-38

C2(7t+V3)02(TI+A/3)

5、已知函數(shù)f(x)=^sm2x-2cos2x+l,將f(x)的圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱

坐標(biāo)保持不變；再把所得圖像向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若

g(.g0)=9,則卜-司的值可能為()

371571兀兀

A?4B?4C.3D?2

6、在矩形ABCD中，八8二3,人口二4,八(；與8。相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AE,30,垂足為E,

則A￡1?石C=()

721441212

A.yB.~25C.丁D.25

1a

4l+tan不

7、若cosc=—',a是第三象限的角，則-----幺=()

511-*tan。—

2

A.--B.-C.2D.-2

22

8、已知函數(shù)/(x)=cos(2x-g在a,|上有最小值T,則”的最大值()

兀7TP_

A.B.-3C.D.一Z

x—4y4-3<0

9、已知點(diǎn)(x,y)滿足不等式組2x-y-1>0，則z=x-2y的最大值為()

3x+2y-19<0

A.—7B.—1C.1D.2

10、已知橢圓。+5=l(0<b<2)的左，右焦點(diǎn)分別F,F?過用的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，

若忸叫+|整|的最大值為5,則b的值為()

A.1B.啦:C.gD.

11、在長方體ABCD-ABCD中,E,F分別為棱AB,BB1上的點(diǎn),若AA】=4,AB=8,BE=2BF=2,

則異面直線EF與CD所成角的余弦值為()

邁2封

A.B.TC.ioD.10

12、函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(x)+C,xefL,+8,f(l)=-e，若存在ae[-2,1],使得

x2

/'(2——3a—2—e成立，貝Um的取值()

m

AB.y,+℃jC.[l,+oo)D.

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

y(x)=[2x2,xWO,2

13、已知函數(shù),若方程"(x)】-=。恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根和毛，則%+*2

的最大值是_____.

14、已知拋物線C:f=4>2的焦點(diǎn)為F,E為y軸正半軸上的一點(diǎn).且。七=30P(。為

坐標(biāo)原點(diǎn))，若拋物線C上存在一點(diǎn)"(小,%),其中%#0，使過點(diǎn)M的切線

則切線I在丫軸上的截距為.

15、設(shè)“eN*,a“為(x+4)"-(x+1)"的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，C=WGR,

4

b“=今+芥+.?.+詈(區(qū)表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù))，則(〃T)2+S“+C)2的

最小值為_____

16、四棱錐尸一A石中，PAA.平面ABCF,ZBAD=90,

PA=AB=BC=-AD=l,BCAD,已知。是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角

2-

Q-PO-A的平面角大小為生，若動(dòng)點(diǎn)。的軌跡將ABCD分成面積為S”S2(SKSJ的兩部

4

分，則Si5=.

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17(12分)、在AABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c且cosA=4,asinC=5.

(1)求邊長c；

(2)著aABC的面積S=20.求AABC的周長.

18（12分）、已知數(shù)列｛%｝滿足a2-a1=l,其前版頁和為當(dāng)n》2時(shí)，,Sn,Sn+i成

等差數(shù)列.

（1）求證｛4｝為等差數(shù)列；

（2）若Sn=O,Sn+1=4,求n.

19（10分）、每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄會(huì)在內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟阿左旗

騰格里沙漠舉行，該項(xiàng)目已打造成集沙漠競技運(yùn)動(dòng)、汽車文化極致體驗(yàn)、主題休閑度假

為一體的超級汽車文化賽事娛樂綜合體.為了減少對環(huán)境的污染，某環(huán)保部門租用了特

制環(huán)保車清潔現(xiàn)場垃圾.通過查閱近5年英雄會(huì)參會(huì)人數(shù)（萬人）與沙漠中所需環(huán)保車

輛數(shù)量（輛），得到如下統(tǒng)計(jì)表：

參會(huì)人數(shù)X（萬人）11981012

所需環(huán)保車輛y（輛）2823202529

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表所給5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程y=6x+3.

（2）已知租用的環(huán)保車平均每輛的費(fèi)用C（元）與數(shù)量（輛）的關(guān)系為

C_（3000t+200,0<t<35,tEN

=I2900t,t>35,teN.主辦方根據(jù)實(shí)際參會(huì)人數(shù)為所需要投入使用的環(huán)保

車，

每輛支付費(fèi)用6000元，超出實(shí)際需要的車輛，主辦方不支付任何費(fèi)用.預(yù)計(jì)本次英

雄會(huì)大約有14萬人參加，根據(jù)（I）中求出的線性回歸方程，預(yù)測環(huán)保部門在確保清

潔任務(wù)完成的前提下，應(yīng)租用多少輛環(huán)保車？獲得的利潤是多少？（注：利潤>?=主辦方

支付費(fèi)用-租用車輛的費(fèi)用）.

nn

Z（xR）（yR）2?丫「而

ri=li=lA-M-

b=----------=--------,a=y-bx

nn

￡（x「x）2Yx^-nx2

參考公式：i=li=l

f(x)=----------(aeR)_2*

20(12分)、已知函數(shù)x,g")=e-29.

(1)求八?的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(0〈8(*)在(°，+8)上成立，求。的取值范圍.

x2y2J3

c：—+i_=i(a>fo>0)e=—

21(12分)、已知P(0,2)是橢圓a2b2的一個(gè)頂點(diǎn)，C的晶心率3.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(diǎn)P的兩條直線11,12分別與C相交于不同于點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn)，若11與

12的斜率之和為-4,則直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請

說明理由.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22(12分).選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程為黑p(<p為參數(shù))，以原點(diǎn)為

極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

⑵過點(diǎn)P(l,2)傾斜角為］35°的直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，求PM?+PN2的值.

23(12分).選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=lx-al+2x,其中a>0.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)N2的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式k(2x+a)-2f(x)k2恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

留壩縣中學(xué)2020屆高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試

理科數(shù)學(xué)參考答案

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.【答案】C

【解析】集合A和集合5表示兩個(gè)圓上的點(diǎn)，根據(jù)圓心距與半徑之間的比較,

可確定兩圓位置關(guān)系，根據(jù)位置關(guān)系可知公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到結(jié)果.

【詳解】

A={(x,一6x+y2_4y+9=0}(x-3)~+(y-2)~=4：

8={(x，y)l(犬+i『+(y-2)2=9}

可知圓心距：”=拒—(一1)丁+(2—2)2=4

得：1=*』<“<4+々=5.?.兩圓的位置關(guān)系為相交

??.A8中有2個(gè)元素

本題正確選項(xiàng)：c

2.【答案】B

【解析】由面面垂直的判定定理，可判斷①的真假；由面面平行的判定定理

及線面垂直的幾何特征，可以判斷②的真假；由面面垂直的判定定理，及線面垂

直的幾何特征，可以判斷③的真假；根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定

方法，可以判斷④的真假.

【詳解】

①若aP=m,nua,n±m(xù),如圖，則a與夕不一定垂直，故①為假命

題；

②若加工以機(jī)，尸，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，則二尸；故②

為真命題;

③若則。，尸，故③為真命題;

,如圖，則夕與夕可能相交，故④為假命題.

3.【答案】C

【解析】設(shè)直線/存在斜率&，點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線/的距離等

于半徑求出斜率左，再討論直線/不存在斜率時(shí)，是否能和圓相切，如果能，寫出

直線方程，綜上所述，求出切線方程.

【詳解】

V+丁-2x-4y-3=0=>(x-1)?+(y-2)2=8,圓心坐標(biāo)坐標(biāo)為。，2),半徑

xi

為X2,當(dāng)過點(diǎn)“(3，)的切線存在斜率左,切線方程為

X|

y=*若3)n《是資，圓心到它的距離為X2,所以有

|1皿士

當(dāng)過點(diǎn)“(3⑼的切線不存在斜率時(shí)，即x=3,顯然圓心到它的距離為

2H2正，所以％=3不是圓的切線；

因此切線方程為“一丁一3=°,故本題選Co

4.【答案】B

【解析】利用3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積可得勒洛三角形的面積,

利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】

乃x2?_2萬

如圖：設(shè)BC=2,以3為圓心的扇形面積是工-一號，

-x2x2x^-=y/3

43C的面積是22,

所以勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，

-x3-2>/3=2^-273

即3,

所以在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自正三角形的概率是

24-2&2(萬一8),故選民

5.【答案】D

【解析】結(jié)合三角函數(shù)平移原理，得到g(x)的解析式，計(jì)算結(jié)果，即可。

【詳解】

化簡，得至Ufa)=2sm(2x-3,根據(jù)三角函數(shù)平移性質(zhì)可知，當(dāng)將f(x)的圖像上

的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)解析式為

f(x)=2sin(4x-^當(dāng)把所得圖像向上平移1個(gè)單位長度，得到

g(x)=2sin(4x-?+1,故g(X)max=3,要使得g(xj,g(X2)=9,則要求

lx1一x?l=nT=n《二n,條故選Do

6.【答案】B

【解析】通過線性運(yùn)算將A6EC變?yōu)锳E-E°+AEA°,由垂直關(guān)系可知

AEAO

46￡0=0；由數(shù)量積定義可求得25,代入AEEC得到結(jié)果.

【詳解】

如圖：

A____________D

區(qū)

BC

ABAD12

____AE=

由AB=3,A￡>=4得：80=。9+16=5,BD~5

AE-EC=AE-(E0+0C)=AE?EO+AE-OC^AEEO+AEAO

,/x.

AE±BDAEEO^O

:.AEEC=——

25

本題正確選項(xiàng)：3

7.【答案】A

【解析】?.,cosa=---,a為第三象限，/.sina,

fi5

.a

sin

1+「

1aaaa「a?a丫

1+tan—cos—cosy+sin—[cos—+sin—j

丁_____2=______2

?1a.aa.a(aa\(a.a\

1-tan—sin—cos----sin—cos-----sin—cos——i-sin

21____2_22122八22)

a

cos—

2

1+sina_1+sina_15J_1

ia.2

■——sin~acosa_42

22~5

考點(diǎn)：同角間的三角函數(shù)關(guān)系，二倍角公式.

8.【答案】B

n

【解析】根據(jù)x在L'2」上，求內(nèi)層函數(shù)范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得答

案.

【詳解】

函數(shù)I3J,

71

XG〃，——

??2

1萬2乃

2x------G2。---，—

??3?33-1

71

/(X)在L'2」上有最小值_1,

_冗，

2。?—71

根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得3

QK----

可得3,故選：B.

9.【答案】C

【解析】作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)

z=x-2y經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)時(shí)取得最大值，所以=5-2x2=1,故選C.

考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃問題.

10.【答案】C

【解析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，利用橢圓定義得到

|BF2|+|AF2|=8-|AB|,再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于

x軸時(shí)|AB|最小,把|AB|的最小值b?代入IBF2I+IAF2U8-|AB|,由IBF/+IAF2I

的最大值等于5列式求b的值.

【詳解】

由0VbV2可知，焦點(diǎn)在x軸上，.-.a=2,

?.?過笆的直線1交橢圓于A,B兩點(diǎn)，|BF2|+|AF2|+|BF』+|AFj=2a+2a=

4a=8

|BF2|+|AF2|=8-|AB|.

當(dāng)AB垂直x軸時(shí)IABI最小,|BF21+1AHI值最大,

此時(shí)IAB|=b?,.*.5=8-b2,

解得b=電.

故選C.

11.【答案】A

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，用空間向量求解即可.

【詳解】

解：如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳A]=4,AB=8,BE=2BF=2,設(shè)AD=t

所以點(diǎn)C(0,8,0),DI(0,0,4),E(t,6,0),F(t,8,l)

1II

所以CDi=(0,-8,4),EF=(0,2,1)

/III\CD/EF0-16+43

所以c"CD],EF卜扇福J=

因?yàn)楫惷嬷本€角為銳角或直角

所以異面直線EF與CD1所成角的余弦值為

故選：A.

12.【答案】A

【解析】由題意設(shè)師)=緊則g(x)=咤也=；,所以g(x)=lnx+c(為常數(shù)).???

f(l)=-e,...gQ)=￥=-1=c,/.f(x)=g(x),ex=ex(-l+lnx)>

i]]x—1i

f(x)=ex(lnx+--l).令h(x)=Inx+1—l，則h(x)=f?=7，故當(dāng)a〈x<l時(shí)，

h'(x)<O,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x〉1時(shí)，h'(x)>O,h(x)單調(diào)遞增.

/.h(x)>h(l)=0,從而當(dāng)xL+"J時(shí)，f(x)>0,f(x)在區(qū)間&+上單調(diào)遞

增.

設(shè)(p(a)=a3-3a-2-e,a[-2,1],則qf(a)=3a2-3=3(a+l)(a-l)>故q)(a)在(一2,-1)上單

調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，所以卬(a)max=(p(T)=-e.

3

不等式42-^)<a-3a-2-嚼價(jià)于f(2-JW-e=f(l),

1

<2--<122

?解得小mW1,故m的取值范圍為母1].選A.

點(diǎn)睛：本題考查用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，在解答過程中首先要根據(jù)含有導(dǎo)

函數(shù)的條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=W，并進(jìn)一步求得函數(shù)f(x)的解析式，從而得到函數(shù)f(x)

在區(qū)間g+8)上的單調(diào)性.然后再根據(jù)條件中的能成立將原不等式轉(zhuǎn)化為

f(24)wfu),最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式化為一般不等式求解即可.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.【答案】31n2-2

【解析】不妨設(shè)玉<》2，則2年="=，，令,可得

百十%=In彳一

,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)果.

【詳解】

作出了（X）的函數(shù)圖象如圖所示，

由卜⑺]=a,可得f（x）=?,：.G>l,即a>l,

不妨設(shè)玉，則2x；=*=G,

令d,則2

-Y,令ggj,則g”）=手，

.?.當(dāng)1</<8時(shí)，g'G）>0,g（'）在（L8）上遞增；

當(dāng)，>8時(shí)，g'（/）<°,g（,）在（&+8）上遞減；

二當(dāng)f=8時(shí)，g⑺取得最大值g（8）=ln8-2=31n2-2,

故答案為31n2-2.

14.【答案】-1

y—_1,

【解析】先對函數(shù).4-求導(dǎo)，求出拋物線C在點(diǎn)Mg，%）處的切線斜率,

再根據(jù)°E=38,得到七點(diǎn)坐標(biāo)，由過點(diǎn)M的切線”ME,求出“點(diǎn)坐標(biāo),

進(jìn)而可得切線方程，即可求出結(jié)果.

【詳解】

，/y=-^y'--x

因?yàn)閽佄锞€方程尤=今可化為-4，所以.2,

,1

k=_Y

因此拋物線C在點(diǎn)“(X。，為)處的切線斜率為-2°；

又F為拋物線C：-=4y的焦點(diǎn)，所以以0,1)；

因?yàn)镋為>軸正半軸上的一點(diǎn)，且0E=3?,所以40,3),

k_%-3

(ME一

所以X。，

k-kME=-x()?—~~-=—1

因?yàn)檫^點(diǎn)M的切線ME,所以「x。,解得%=1,

女=J，x=+1

因?yàn)镸S。,%)在拋物線上，所以/=±2,因此一3°一一；

所以切線方程為丁一1="一2或丁一1=一("+2),即丁=±》一1,

因此切線/在,軸上的截距為-1

4

15.【答案】X

【解析】利用賦值法，令x=l可得：a/5-2,

叫n.2"

-=n--

L5nJ5n9

利用數(shù)學(xué)歸納法證明：M2隈5唯一*),

當(dāng)n=l口寸，1乂2<5成立，

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即kHvsT當(dāng)門=卜+1時(shí)：

(k+l),2k+1=2(k+l)-2k=2(k,2k+2k)

<2Gk+2k)=2-5k+2-2k

<2-5k+3-5k=5k+1,

據(jù)此可知命題n'2，1<5'&CN*)成立，

n-2n,n-2n

——<1n-15<n-——<n

5n,5n

(n-t)2+(bn+的幾何意義為點(diǎn)(n，U)(nN*)到點(diǎn)(⑵")的距離，

3

如圖所示，最小值即(21)到y(tǒng)=2-?的距離，由點(diǎn)到直線距離公式可得

3亞-4

16.【答案】4

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)Q的軌跡與y軸的

交點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,b,0)(b>0).

由題意可知A(0,0,0),D(2,0,0),P(0,0,1),

，DP=(-2,0,1),DQ=(-2,b,0).AD=⑵0,0).

設(shè)平面APD的法向量為“=(X),y,,zD，平面PDQ的法向量為的=(x2,y2,

z2)

勺-DP=0%?DP-0

<

修?AD—0%?DQ-0

則

—2Xj+Z]=0—2%2+z2=0

<V

即\2x}-0'—2X2+by2-0

2

令y尸0得4=(0,1,0),令Z2=2得"2=(1,~b,2).

n

?.?二面角Q-PD-A的平面角大小為7,

2

解得

-x(l+2)xl-->/5=--->/5

=

S梯形ABCD-SAADQ2525.

3_2^2^

VS,<S2,5,,S2=5..-.Sl：S2=(3逐-4)：4.

點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)Q的軌跡在四邊形ABCD內(nèi)的部分，它就是一條

線段DQ,確定點(diǎn)Q在y軸上的位置，由于本題的背景比較適宜用坐標(biāo)系和空間向

量來解答.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【答案】（1）如；（2）8+2歷

.,5

smA=-

試題分析：（1）由正弦定理化簡已知等式可得c,又由ccosA=4,可

,4

cosA=—

得c，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求c的值.（2）由已知利用三角形

的面積公式可求力的值，由余弦定理可解得a的值，即可計(jì)算得解43c的周長.

【詳解】

_^_=上=工=2R

（1）；由正弦定理可得：sinAsinBsinC,可得：asinC=csinA,

5

VasinC=5,可得：csinA=5,可得：sinA=c,X'?'ccosA=4,可得：cosA

4

=c,

25+_l6

可得：sin2A+cos2A=c'c~=\,解得c='^".

J_

（2）;△ABC的面積S=5absinC=20,asinC=5,，解得：b=8,

.,.由余弦定理可得：a2=b'+cJ-2bccosA=64+41-2X=41,

解得：a=a，或-歷（舍去），

/.△ABC的周長=a+b+c=?+8+a=8+2歷.

18.【答案】（1）見證明;⑵n=7

試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念得至l」2Sn=S?i-l+Sn+i,變形化簡得到

an=-l+an+i（n>2）>貝帆+i-aLl,得證；（2）根據(jù)第一問得到的結(jié)論得到an+i=4,

即ai+n=4,由%=0得網(wǎng)+竽=0,即即+?=0,聯(lián)立兩式求解.

【詳解】

(1)當(dāng)nN2時(shí)，由Sn-1-1,sn,Sn+1成等差數(shù)列得：2Sn=Sn.!-1+SI1+1,

即Sn-Su.1=-1+Sn+1-Sn,即an=-1+an+i(n22),則a1i+1-an=l(n?2),

又a2-ai=1,故1a』是公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)知數(shù)列1a,公差為1,由Sn=O,Sn+1=4得an+1=4,即ai+n=4,

由Sn=O得nai+竿=0,即ai+?=0,聯(lián)立解得：n=7.

19.【答案】(1)y=2.3x+2(2)需要租用35輛環(huán)保車，獲得的利潤為108500

元

試題分析：(1)利用表中所給數(shù)據(jù)，求出最小二乘法所需要的四個(gè)量，再利

用線性回歸方程計(jì)算公式分別求出6、&即可得回歸方程.

(2)利用回歸方程先算出需要的車輛數(shù)，然后用主辦方支付的總費(fèi)用減去租

車費(fèi)用即為獲得利潤.

【詳解】

_11+9+8+10+12

x=----------------=10

(1)5

-28+23+20+25+29

y=------------------=25

5

A1x3+(-1)x(-2)+(-2)x(-5)+0+2x423

b=---------------------------------------------=—=2.3

(11-IO)2+(9-IO)2+(8-IO)2+(10-IO)2+(12-IO)210

人一人一

a=y-bx=2

關(guān)于的線性回歸方程y=2.3x+2

(2)將x=14代入y=2.3x+2得y=34.2

為確保完成任務(wù)，需要租用35輛環(huán)保車，

所以C=2900x35=101500

獲得的利潤L=6000x35-101500=108500元

20.【答案】(1)/(幻單調(diào)遞增區(qū)間為Qe"),單調(diào)遞減區(qū)間為［e~，+8)；(2)

l-lnx-fl

試題分析：(1)V,利用1(x)=°,解得x,即可得出單調(diào)

區(qū)間.

lnx+a

<e^_22

(2)法一：由/3<g(x)得x",即a4x(e-2)_lnx,令

力(#=x(/-2)-Iru,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.

lnx+/升2

法二：由八~x)得了，即

1v

2"2Y1-*i2,令夕(x)=2x+lnx,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)

性即可得出.

【詳解】

廣⑴=

解：(1)一，

當(dāng)0<x<e~時(shí)，〃幻單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，/(x)<°,〃x)單調(diào)遞減，

故/(》)單調(diào)遞增區(qū)間為(°，*“)，單調(diào)遞減區(qū)間為田一“，+8).

Inx+a-2

(2)法一：由/⑴丸⑴得x~,即a<x(e'-2)-ln龍，

h1(x)=(2x+1)^--=(2x+l)fe2'

h(x)=x(e~-2)-Inxx\xJ

i1.1

F(x)=e2x—-(x>0)F\x)=2elx+^>0.

X,X,尸(X)在(°，+8)單調(diào)遞增,

/(：)=〃_4<0b(；)=e—2>0

又，，

Ij_

所以尸(x)有唯一的零點(diǎn)“e452,

且當(dāng)X€((),%)時(shí)，％3_4X,即》(X)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)尤€(%,+8)時(shí)，F(xiàn)(x)>0?即〃(x)>o,〃(x)單調(diào)遞增，

所以〃(X)min=〃(工0)=/d_2)—In%,

(1)<1A

〃(％)=---2—In—z—=1-24+2%=1

又因?yàn)槭?為)=°所以UJId

所以awl,。的取值范圍是(―1].

Inx+'Z*2

法二：由/(x)<g(x)得x—,

gpa<xcx—2x—Inx=《2卜2.x—(2九+Inx)

令@(x)=2x+lnx,因?yàn)?!)=工一1<°,/⑴=2>(),

所以。(幻存在零點(diǎn)國；

令G(x)=e'-x,則G1(x)=e*-1,當(dāng)％6(-8,0)時(shí)，G'(x)<0,G(x)單調(diào)

遞減，

當(dāng)x€(0,+oo)時(shí)，G(x)>0,G(x)單調(diào)遞增.

所以G。)而n=G(O)=l,

所以*x+2x_(2x+lnx)2e*+2由一(2與+ln^)=l

所以”的取值范圍是(一°01].

%2y2

—+—=1

21.【答案】(1)64；(2)見解析

b=2

I上=0

a3

試題分析：(1)由題意可得L2=M+c2,解得a=而，b=2,c=隹，即可求出，

(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為丫=1?+3根據(jù)韋達(dá)定理

和斜率公式，即可求出y=kx-k-2=k(x-1)-2,可得直線過定點(diǎn)，

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=m,易求出直線AB經(jīng)過

定點(diǎn)，定點(diǎn)為（1,-2）

b=

,

c=2a

=

<--

Q3

2b2

=2

、+

解得a=",b=2,c=也,

二橢圓的方程為6+4=1,

(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為丫=1?+3A(x1,y,),B

y=ft%4-t

H+d=i

(Xz，y2),聯(lián)立I64,消去y并整理，可得

(3k2+2)x2+6ktx+3t-12=0,

.?.△=36(kt)-4X(3k2+2)(3t-12)=0>0,BP6k2+4-t2>0,

6kt3產(chǎn)-12

則X[+x2=-3%2+2,X1X2=3%2+2,

71-272-2

由L與1?的斜率之和為-4,可得巧+x2=-4,

又yi=kx1+t,y2=kx2+t,

—6kt

丫1一2y2-2kx14-1-2kx24-1-2(t-2)(%14-x2)3t2-12

/.X1+x2=-X1+x2=2k+X1X2=2k+3k2+2=-

化簡可得t=-k-2,

y=kx-k-2=k(x-1)-2,

???直線AB經(jīng)過定點(diǎn)(1,-2),

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=m,A(m,y)B(m,y2),

yi-2yt-2yt+y2-4

m+m=m

又y”現(xiàn)互為反函數(shù),

?'.yi+ya-O,

故x=l,也過點(diǎn)(1,-2),

綜上直線AB經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)為(1,-2)

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

記分.

22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

【答案】(1)p=4sin6；(2)8.

試題分析：(1)先求出曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4,再化成極坐標(biāo)方程;

,也

,x=1-yt

(2)先寫出直線的參數(shù)方程〃-'+4(為參數(shù))，再將直線的參數(shù)方程代入圓

的方程，利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.

【詳解】

(1)依題意,曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4,

即―+尸-4y=0，故x?+y2=4y，故p=4sin。，

故所求極坐標(biāo)方程為p二4sin0;

也

、x=1-

(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為]一”耳(為參數(shù))，

將此參數(shù)方程代入x2+y2-4y=0中，

化簡可得t2-亞-3=0，

顯然八>0.設(shè)M,N所對應(yīng)的參數(shù)分別為5t?,則I?；：；二亭.

:.PM~十PN2=11+tl=Q+t2)~-2t]t2=8.

23.選修4-5：不等式選講

【答案】(1)h,+8)；(2)(0』.

試題分析：(1)利用分類討論法解絕對值不等式；(2)先求出

0,x<0

h(x)=|f(2x+a)-2f(x)|=1|4x|,0<x<a,再求出|f(2x+a)-2f(x)|max=4a.解不等式4a<2

4a,x>a

即得解.

【詳解】

/八、r,,La、|3x-l,x>1

(1)當(dāng)a=lr時(shí)，f(x)=lx+l,x<l-

當(dāng)x^l時(shí)，由f(x)22=3x-lN2=xN1;

當(dāng)x<l時(shí)，由f(x)“=x+1N2=>xNl不成立;

綜上所述,當(dāng)a=l時(shí)，不等式f(x).2的解集為「1,+8).

(2)記h(x)=|f(2x+a)-2f(x)|=2||x|-|x-a|+a|

0,x<0

則h(x)='|4x|,0<x<a

''4a,x>a

|f(2x+a)-2f(x)|inax=4a.

依題意得4as2,，a《

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為(0,f

留壩縣中學(xué)2020屆高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試

文科數(shù)學(xué)

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={幻。+1)(4—x)>0},B={x|O<Vx<3},則AfW等于()

A.(0,4)B.(4,9)C.(-1,4)D.(-

1,9)

2.設(shè)E為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，BE=mAB+nAC，則〃，，”的值分別為

A.-1,—B.D.1,—

22

V-1

4,已知函數(shù)/(x)(x￡R)滿足f(x)=2-/(2一天)，若函數(shù)y=-—與y=f(x)的圖

x-1

像交點(diǎn)為(內(nèi),凹),(々,必)，，(//"，則Za+y)=()

/=1

A.0B.2mC.4mD.m

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為()

A.7B.14C.30D.41

6.設(shè)數(shù)列｛z｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若2,S”,3。“，成等差數(shù)列，則$4的值是

A.-81B.-80C.-64D.-63

x-yNO

7.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x+y+120,則z=2x-y的最大值為（）

x-3<0

A.3B.6C.10D.12

8.若復(fù)數(shù)Z滿足z"=l-ia?是虛數(shù)單位），則z的蘇胡復(fù)數(shù)是（）

A.—1+iB.1+zC.—1—iD.1—i

9.在三棱錐P-ABC中，平面以BJ_平面ABC,"BC是斜邊"=26的直角三角

形，PA=PB=@,則該三棱錐外接球的表面積為（）

10.設(shè)函數(shù)./U）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/‘（X）,若函數(shù)/（外在％=1處取得極大

值，則函數(shù)>=一0"（力的圖象可能是（）

A.BC

D.

11.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要

組成部分.古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五

類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存

在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素，則2

類元素相生的概率為()

A.B.D.

2345

12.雙曲C:J—與=1(。>0*>0)線的左、右焦點(diǎn)分別為6(-c,0),E(c,0),P在雙

ab

曲線的右支，且尸工=|,_LP6.則。的離心率為()

-2+27152+2小n3

B.1+V2-------------D.一

7

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

x-y>0

13.若x,y滿足約束條件<x+y-220,則丁一%的最小值為.

X—2K0

14.已知數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2an+2n(neTV*),則a〃=.

15.已知函數(shù)〃6=日，g(x)=岑，若關(guān)于光的方程〃x)=g(x)在區(qū)間卜

內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是—.

16.在平面直角坐標(biāo)系xO,y中，直線x+V5y+V^=()被圓(x-2y+(y+l『=4截

得的弦長為.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)/（1）=47山+（%2-（4+1卜.

（1）求函數(shù)./（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)對于任意的xe[l,田），不等式/（X）＞1-|力恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

18.在直三棱柱ABC-AiBCi中，A8=AC=A4t=3,60=2,。是8C的中點(diǎn)，F(xiàn)是

CCi上一點(diǎn).

（1）當(dāng)5=2時(shí)，證明：87，平面八。/；

（2）若FDLBQ,求三棱錐司-A。尸的體積.

19.某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，當(dāng)天每售出1個(gè)利潤為5元，未售出的每個(gè)

虧損3元.根據(jù)以往100天的統(tǒng)計(jì)資料，得到如下需求量表，元旦這天，此蛋糕

店制作了130個(gè)這種蛋糕.以x（單位：個(gè)，100WXW150）表示這天的市場需求

量.T（單位：元）表示這天售出該蛋糕的利潤.

需求量/個(gè)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

天數(shù)1020302515

（1）將T表示為x的函數(shù)，根據(jù)上表，求利潤T不