2025屆北京市延慶區市級名校高三最后一次模擬考試數學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的值域為，函數，則的圖象的對稱中心為（）A． B．C． D．2．已知定義在R上的函數（m為實數）為偶函數，記，，則a，b，c的大小關系為()A． B． C． D．3．用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形4．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．若等差數列的前項和為，且，，則的值為（）．A．21 B．63 C．13 D．846．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員?面向全社會的優質平臺，現日益成為老百姓了解國家動態?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰答題”四個答題模塊?某人在學習過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4327．設為非零實數，且，則（）A． B． C． D．8．設點，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件9．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．10．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是3，點是上的動點，滿足到的距離與到點的距離相等，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．11．設是虛數單位，復數（）A． B． C． D．12．某人用隨機模擬的方法估計無理數的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內投入粒豆子，并統計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數的估計值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于空間兩條不同直線m、n，兩個不同平面、，有下列四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號為______.14．函數在區間內有且僅有兩個零點，則實數的取值范圍是_____.15．函數的單調增區間為__________.16．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設為等差數列的前項和，且，．（1）求數列的通項公式；（2）若滿足不等式的正整數恰有個，求正實數的取值范圍．18．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為為參數)，直線的參數方程(為參數)，若直線的交點為，當變化時，點的軌跡是曲線（1）求曲線的普通方程；（2）以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，設射線的極坐標方程為，，點為射線與曲線的交點，求點的極徑.19．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．求的值；設的平分線與邊交于點，已知，，求的值.20．（12分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面積的最大值．21．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，現沿對角線將折起，使點A到達點P，點M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點共面.（1）求證：；（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知數列和滿足，，，，.（Ⅰ）求與；（Ⅱ）記數列的前項和為，且，若對，恒成立，求正整數的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由值域為確定的值，得，利用對稱中心列方程求解即可【詳解】因為，又依題意知的值域為，所以得，，所以，令，得，則的圖象的對稱中心為.故選：B本題考查三角函數的圖像及性質，考查函數的對稱中心，重點考查值域的求解，易錯點是對稱中心縱坐標錯寫為02．B【解析】

根據f（x）為偶函數便可求出m＝0，從而f（x）＝﹣1，根據此函數的奇偶性與單調性即可作出判斷.【詳解】解：∵f（x）為偶函數；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故選B．本題考查偶函數的定義，指數函數的單調性，對于偶函數比較函數值大小的方法就是將自變量的值變到區間[0，+∞）上，根據單調性去比較函數值大小．3．C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點：平面的基本性質及推論．4．B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.5．B【解析】

由已知結合等差數列的通項公式及求和公式可求，，然后結合等差數列的求和公式即可求解．【詳解】解：因為，，所以，解可得，，，則．故選：B．本題主要考查等差數列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎題．6．C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數為．故選：C．本題考查排列組合的應用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．7．C【解析】

取，計算知錯誤，根據不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.8．C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數量積的運算，結合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.9．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數據求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.10．D【解析】

建立平面直角坐標系，將問題轉化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程，得到，進而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價于在直角坐標系中，點，是第一象限內的動點，滿足到軸的距離等于點到點的距離，求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值．設，則，化簡得：，則，解得：，即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選：.本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關鍵是能夠準確求得動點軌跡方程，進而根據軌跡方程構造不等關系求得最值.11．D【解析】

利用復數的除法運算，化簡復數，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，復數，故選D．本題主要考查了復數的除法運算，其中解答中熟記復數的除法運算法則是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．12．D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【詳解】在函數的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區域的面積，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．③④【解析】

由直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關系是平行、相交或異面，①錯；②若且，則或者，②錯；③若，設過的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．本題考查直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關系，掌握空間線線、線面、面面位置關系是解題基礎．14．【解析】

對函數零點問題等價轉化，分離參數討論交點個數，數形結合求解.【詳解】由題：函數在區間內有且僅有兩個零點，，等價于函數恰有兩個公共點，作出大致圖象：要有兩個交點，即，所以.故答案為：此題考查函數零點問題，根據函數零點個數求參數的取值范圍，關鍵在于對函數零點問題恰當變形，等價轉化，數形結合求解.15．【解析】

先求出導數，再在定義域上考慮導數的符號為正時對應的的集合，從而可得函數的單調增區間.【詳解】函數的定義域為.，令，則，故函數的單調增區間為：.故答案為：.本題考查導數在函數單調性中的應用，注意先考慮函數的定義域，再考慮導數在定義域上的符號，本題屬于基礎題.16．（或寫成）【解析】

設與的夾角為，通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】設與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.本題主要考查向量的數量積運算，向量垂直轉化為數量積為0是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，分析能力及計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）．【解析】

（1）設等差數列的公差為，根據題意得出關于和的方程組，解出這兩個量的值，然后利用等差數列的通項公式可得出數列的通項公式；（2）求出，可得出，可知當為奇數時不等式不成立，只考慮為偶數的情況，利用數列單調性的定義判斷數列中偶數項構成的數列的單調性，由此能求出正實數的取值范圍．【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，整理得，解得，，因此，；（2），滿足不等式的正整數恰有個，得，由于，若為奇數，則不等式不可能成立.只考慮為偶數的情況，令，則，．.當時，，則；當時，，則；當時，，則.所以，，又，，，，.因此，實數的取值范圍是.本題考查數列的通項公式的求法，考查正實數的取值范圍的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18．（1）；（2）【解析】

（1）將兩直線化為普通方程，消去參數，即可求出曲線的普通方程；（2）設Q點的直角坐標系坐標為,求出，代入曲線C可求解.【詳解】（1）直線的普通方程為,直線的普通方程為聯立直線,方程消去參數k,得曲線C的普通方程為整理得.（2）設Q點的直角坐標系坐標為,由可得代入曲線C的方程可得，解得（舍），所以點的極徑為.本題主要考查了直線的參數方程化為普通方程，普通方程化為極坐標方程，極徑的求法，屬于中檔題.19．；.【解析】

利用正弦定理化簡求值即可；利用兩角和差的正弦函數的化簡公式，結合正弦定理求出的值.【詳解】解：，由正弦定理得：，，，，，又，為三角形內角，故，，則，故，；（2）平分，設，則,,，，則，，又，則在中，由正弦定理：，.本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數的化簡公式，二倍角公式，考查運算能力，屬于基礎題.20．（1）（2）【解析】

(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】（1），，所以，所以，，，，．（2）由余弦定理得.，，當且僅當時取等，.所以的面積的最大值為.本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.21．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質定理，//，最后可得結果.（2）根據二面角平面角大小為，可知N為的中點，然后利用建系，計算以及平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，可得結果.【詳解】（1）不妨設，則，在中,，則，因為，所以，因為//，且A、B、M、N四點共面，所以//平面.又平面平面，所以//.而，.（2）因為平面平面，且，所以平面，，因為，所以平面，，因為，平面與平面夾角為，所以，在中，易知N為的中點，如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則由，令，得.設與平面所成角為，則.本題考查線面平行的性質定理以及線面角，熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題，將幾何問題代數化，化繁為簡，屬中檔題.22．（Ⅰ）,；（Ⅱ