考研數學三（解答題）專項練習試卷1（共9套）（共90題）考研數學三（解答題）專項練習試卷第1套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設y=sin3x，求y(n)．標準答案：于是知識點解析：用三角函數積化和差公式，可將sin3x化成形如sinax與cosbx的函數之和差，并用(sinax)(n)及(cosbx)(n)的公式．2、設且f(x)處處可導，求f[g(x)]的導數．標準答案：若已求得g’(x)，則由復合函數求導法得故只需求g’(x)．當x≠0時，當x=0時，按定義有因此，知識點解析：暫無解析3、設f(x)在(一∞，+∞)上二階導數連續，1)確定a使g(x)在(一∞，+∞)上連續；2)證明對以上確定的a，g(x)在(一∞，+∞)上有連續一階導數．標準答案：a=f’(0)知識點解析：暫無解析4、設有兩箱同種零件：第一箱內裝50件，其中10件一等品；第二箱內裝30件，其中18件一等品。現從兩箱中隨機挑出一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零件(取出的零件均不放回)。試求(1)先取出的零件是一等品的概率p；(2)在先取出的是一等品的條件下，后取出的零件仍然是一等品的條件概率q。標準答案：記A=(取的是第1箱)，B1={從該箱中先取出的是一等品}，B2={從該箱后取出的是一等品}。知識點解析：本題主要考查全概率公式。引記號時，注意避免用諸如“A={取的是第1箱中的一等品}”(2個事件用1個字母表示)、“B={取一個箱子}”(不是隨機事件)這類說法。解中P(B1B2|A)=可以從P(B1B2|A)=P(B2|AB1)P(B1|A)這種推廣的乘法公式得到，也可直接用古典概型求出(后者更簡便些)。5、設f(x，y)在點O(0，0)的某鄰域U內連續，且試討論f(0，0)是否為f(x，y)的極值?是極大值還是極小值?標準答案：由知識點解析：暫無解析6、求微分方程x2y’+xy=y2滿足初始條件y(1)=1的特解．標準答案：由x2y’+xy=y2得兩邊積分得因為y(1)=1，所以C=一1，再把u==Cx2得原方程的特解為y=知識點解析：暫無解析7、求微分方程xy’+y=xex滿足y(1)=1的特解．標準答案：由通解公式得當x=1，y=1時，得C=1，所以特解為知識點解析：暫無解析8、設向量組α1，…，αn為兩兩正交的非零向量組，證明：α1，…，αn線性無關，舉例說明逆命題不成立．標準答案：令k1α1+…+knαn=0，由α1，…，αn兩兩正交及(α1，k1α1+…+knαn)=0，得k1(α1，α1)=0，而(α1，α1)=|α1|2＞0，于是k1=0，同理可證k2=…=kn=0，故α1，…，αn線性無關．令顯然α1，α2線性無關，但α1，α2不正交．知識點解析：暫無解析設總體X的概率密度為其中θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，是樣本均值．9、求參數θ的矩估計量；標準答案：先求E(X)得到矩估計方程，即將E(X)用樣本均值替換即得θ的矩估計量知識點解析：暫無解析10、判斷是否為θ2的無偏估計量，并說明理由．標準答案：通過計算判斷是否等于為此先計算E(X2)，進而求出故知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第2套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、已知齊次線性方程組(Ⅰ)的基礎解系為考ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，－1]T，ξ3=[0，2，1，－1]T，添加兩個方程后組成齊次線性方程組(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基礎解系．標準答案：方程組(Ⅰ)的通解為k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=代入添加的兩個方程，得得解：η1=[2，－3，0]T，η2=[0，1，－1]T，故方程組(Ⅱ)的基礎解系為ξ1=2ξ1－3ξ2=[－4，－3，2，5]T，ξ2=ξ2－ξ3=[2，－1，－1，0]T．知識點解析：暫無解析2、求和n=0，1，2，3，…標準答案：于是當n≥2時得遞推公式應用這一遞推公式，當n為偶數時，就有當n為奇數時，就有其中(Ⅱ)由于所以，令則有這說明Jn與In有相同公式．知識點解析：暫無解析3、大炮以仰角α、初速vo發射炮彈，若不計空氣阻力，求彈道曲線．標準答案：知識點解析：暫無解析4、計算標準答案：知識點解析：暫無解析5、設函數z＝z(x，y)由方程xy＋yz＋zx＝1確定，求標準答案：知識點解析：暫無解析6、計算I＝ydxdy，其中D由曲線＝1及x軸和y軸圍成，其中a＞0，b＞0．標準答案：知識點解析：暫無解析7、設隨機變量X服從(0，1)上的均勻分布，求下列函數的密度函數：(Ⅰ)Y1=ex；(Ⅱ)Y2=一2lnX；(Ⅲ)Y3=；(Ⅳ)Y4=X．標準答案：依題意，X的概率密度為fX(x)=(Ⅰ)y=ex在(0，1)內是x的單調可導函數，其反函數x=h(y)=lny的定義域為(1，e)，x=h’(y)=≠0，用公式(2．16)即得Y的概率密度為(Ⅱ)y=一2lnx在(0，1)內單調可導，其反函數x=h(y)=的定義域為(0，+∞)，h’(y)=一[1691*]≠0，根據公式(2．16)，Y3的概率密度為(Ⅲ)y=在(0，1)內單調可導，其反函數x=h(y)=的定義域為(1，+∞)，當y＞1時，其導數h’(y)=，應用公式(2．16)，Y3的概率密度為(Ⅳ)y=x2在(0，1)內單調可導，其反函數x=h(y)=的定義域亦為(0，1)，且h’(y)=≠0．應用公式(2．16)，Y4的概率密度為知識點解析：暫無解析8、判別級數的斂散性．標準答案：由泰勒公式，收斂，故原級數發散．知識點解析：這是交錯級數，但不易判別|un|≥|un+1|，因此不能使用萊布尼茨判別法．為了能確定一般項的級別，需使用泰勒公式．一電子儀器由兩個部件構成，以X和Y分別表示兩個部件的壽命(單位：千小時)．已知X和Y的聯合分布函數為9、問X與Y是否相互獨立?標準答案：解一設X，Y的分布函數分別為FX(x)，FY(y)，則故當x≥0，y≥0時，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而當x＞0或y＜0時，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以對任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，則X與Y獨立．解二先求出(X，Y)的聯合概率密度函數f(x，y)及邊緣密度fX(x)，fY(y)．當x≥0，y≥0時，有于是有因而同理，可求得易驗證對x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．對x<0或y<0，也有f(x，y)=fX(x)·fY(y)=0，故對任意x，y均有f(x，y)=fX(x)fY(y)，由命題3．3．5．1(1)知，X與Y相互獨立．注：命題3．3．5．1(1)對任意二維隨機變量(X，Y)，有X，Y相互獨立對任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互獨立對任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．知識點解析：暫無解析10、求兩個部件的壽命都超過100小時的概α．標準答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)(因X，Y相互獨立)=[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)]=e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互獨立，故解三由上題的解一知，X，Y相互獨立，且均服從參數為λ=0．5的指數分布．利用命題3．2．3．2(4)即得α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)=e－λx．eλx=(e－0.5×0.1)2=e－0.5×2e－0.1．上述三種求法都用到了X，Y的獨立性．下述兩種算法可以不用．解四由得所求概率為解五利用下述結論求之．對任意(x1，y1)，(x2，y2)，x12，y12，有P(x12，y12)=F(x2，y2)－F(x1，y2)－Fx2，y1)+F(x1，y1)．于是α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(0．1－0.05)－(1－e－0.05)+1－e－0.05－e-0.05+e－0.1=e－0.1．注：命題3．2．3．2(4)若X服從參數為λ的指數分布，其中λ>0，a>0，則P(X>a)=e－λa，P(X－λa．知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第3套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、標準答案：令f(t)=et，由微分中值定理，知識點解析：暫無解析2、設有n元實二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+α1x2)2+(x2+x2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)為實數。試問：當a1，a2，…，an滿足何種條件時，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型。標準答案：由題設條件知，對任意的x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)≥0其中等號成立當且僅當方程組(*)僅有零解的充分必要條件是其系數行列式不為零，即所以，當1+(一1)n+1a1，a2…an≠0時，對于任意的不全為零的x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)＞0，即當a1a2…，an≠(一1)n時，二次型，為正定二次型。知識點解析：本題綜合考查二次型的正定性、齊次方程組僅有零解的條件、行列式的展開法則等知識及其靈活應用。注意，本題將f正定歸結為齊次方程組(*)僅有零解，是求解的關鍵。本題f是平方和，所以也可以考慮用標準形來作：若矩陣就可將f化成規范形f=y12+y22+…+yn2。因此，由|A|≠0，就可得a1a2…an≠(一1)n，此時，f正定。3、設，求y’；標準答案：兩邊取對數，得兩邊同時對x求導，得知識點解析：暫無解析4、設二階常系數線性微分方程y’’+αy’+βy=γex的一個特解為y=e2x+(1+x)ex，試確定常數α，β，γ，并求該方程的通解．標準答案：將y=e2x+(1+x)ex代入方程可得(4+2α+β)e2x+(3+2α+β一γ)ex+(1+α+β)xex=0，因e2x，ex與xex線性無關(證明見評注)，故于是所求方程是y’’一3y’+2y=一ex，因特征方程為λ2一3λ+2=0即特征根為λ1=2，λ2=1，則對應齊次微分方程的通解為C1e2x+C2e2x，由所給特解y=ex+(1+x)ex可見非齊次方程有一個特解為y*=xex．綜合即得所求通解為y=C1e2x+C2ex+xex．知識點解析：暫無解析5、計算標準答案：知識點解析：暫無解析6、標準答案：知識點解析：暫無解析7、證明：標準答案：一方面，有知識點解析：暫無解析8、若隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…滿足條件證明：{Xn}服從大數定律．標準答案：由切比雪夫不等式，對任意的ε＞0有故{Xn}服從大數定律．知識點解析：暫無解析設隨機變量X與Y獨立同分布，且X的概率分布為記U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．9、求(U，V)的概率分布；標準答案：易知U，V的可能取值均為1，2，因X，y獨立且同分布，故P(U=1，V=1)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=1)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=4／9，P(U=1，V=2)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=2)=P()=0．P(U=2，V=1)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=P(X=2)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=2)=2／9+2／9=4／9．P(U=2，V=2)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=2)=P(X=2，Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=1／9．于是(U，V)的概率分布為知識點解析：暫無解析10、求U與V的協方差cov(U，V)．標準答案：下用同一表格法先求出E(U)，E(V)及E(UV)．由所以E(U)=1×(4／9)+2×(5／9)=14／9，E(V)=1×(8／9)+2×(1／9)=10／9，E(UV)=1×(4／9)+2×(4／9)+4×(1／9)=16／9，故cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=16／9－(14／9)×(10／9)=4／81．知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第4套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、求下列函數的導數y’：標準答案：知識點解析：暫無解析2、討論方程2x2一9x2+12x—a=0實根的情況．標準答案：令f(x)=2x3一9x2+12x一a，討論方程2x3一9x2+12x一a=0實根的情況，即是討論函數f(x)零點的情況．顯然，所以，應求函數f(x)=2x3一9x2+12x一a的極值，并討論極值的符號．由f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)得駐點為x1=1，x2=2，又f"(x)=12x一18，f"(1)＜0，f"(2)＞0，得x1=1為極大值點，極大值為f(1)=5一a；x2=2為極小值點，極小值為f(2)=4一a．(1)當極大值f(1)=5一a＞0，極小值f(2)=4一a＜0，即4＜a＜5時，f(x)=2x3—9x2+12x—a有三個不同的零點，即方程2x3—9x2+12x—a=0有三個不同的實根．(2)當極大值f(1)=5一a=0或極小值f(2)=4一a=0，即a=5或a=4時，f(x)=2x3—9x2+12x—a有兩個不同的零點，即方程2x3一9x2+12x一a=0有兩個不同的實根．(3)當極大值f(1)=5一a＜0或極小值f(2)=4一a＞0，即a＞5或a＜4時，f(x)=2x3—9x2+12x一a有一個零點，即方程2x3一9x2+12x一a=0有一個實根．知識點解析：暫無解析3、設函數f(x)在(－∞，+∞)內二階可導，且f(x)和fˊˊ(x)在(－∞，+∞)內有界．證明：fˊ(x)在(－∞，+∞)內有界．標準答案：存在正常數M0，M2，使得對x∈(－∞，+∞)，恒有｜f(x)｜≤M0，｜fˊˊ(x)｜≤M2．由泰勒公式，有f(x+1)=f(x)+fˊ(x)+fˊˊ(ξ)，其中ξ介于x與x+1之間，整理得fˊ(x)=f(x+1)－f(x)－fˊˊ(ξ)，所以｜fˊ(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+｜fˊˊ(ξ)｜≤2M0+故函數fˊ(x)在(－∞，+∞)內有界．知識點解析：暫無解析4、設＝2，求a，b的值．標準答案：則a＝2，b＋1＝2，即a＝2，b＝1．知識點解析：暫無解析5、當a，b取何值時．方程組，有唯一解，無解，有無窮多解?當方程組有解時，求其解．標準答案：對增廣矩陣作初等行變換，有(Ⅰ)當a≠0，且b≠3時，方程組有唯一解(，1，0)T．(1I)當a=0時，b方程組均無解．(11I)當a≠0，b=3時，方程組有無窮多解(，1，0)T+k(0，一3，2)T．知識點解析：暫無解析6、解齊次方程組標準答案：對系數矩陣作初等行變換化為階梯形矩陣由n-r(A)=4-2=2，基礎解系由2個向量組成，每個解中有2個自由變量．令x2=1，x4=0，解得x3=0，x1=2；令x2=0，x4=2，解得x3=15，x1=-22．于是得到η1=(2，1，0，0)T，η2=(-22，0，15，2)T，通解是k1η1+k2η2．知識點解析：暫無解析7、乘有20位旅客的民航送客車自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數，求EX(設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅客是否下車是相互獨立的)．標準答案：引入隨機變量Xi=則X=X1+X2+…+X10，由知識點解析：暫無解析8、設X，Y相互獨立同分布，均服從幾何分布P{X=k}=qk-1p，k=1，2，…，求E(max{X，Y})．標準答案：知識點解析：暫無解析已知是矩陣的一個特征向量．9、試確定參數a，b及特征向量ξ所對應的特征值；標準答案：設ξ是屬于特征值λ0的特征向量，由定義得到解之得λ0=－1，a=－3，b=0．知識點解析：暫無解析10、問A能否相似于對角矩陣?并說明理由．標準答案：因為故A的特征值為λ1=λ2=λ3=－1．因所以秩(E－A)=2，從而A的屬于三重特征根λ=－1的線性無關的特征向量只有n－秩(－E－A)=3－2=1個，由命題2．5．3．2(3)知，A不能相似對角化．注：命題2．5．3．2(3)n階矩陣A可相似對角化的另一充要條件是A的ni重特征值對應的線性無關的特征向量的個數等于其重數ni，即n－秩(λiE－A)=ni，亦即秩(riE－A)=n－ni，其中ni為特征值λi的重數，從而將A是否可相似對角化的問題轉化為特征矩陣riE－A的秩的計算問題．知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第5套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設f(x)在[0，1]上有定義，且exf(x)與e-f(x)在[0，1]上單調增加．證明：f(x)在[0，1]上連續．標準答案：對任意的x∈[0，1]，因為ex(x)與e-f(x)在[0，1]上單調增加，令x→x0，由夾逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故f(x0一0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0處連續，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上連續．知識點解析：暫無解析2、標準答案：知識點解析：暫無解析3、設k為常數，方程在(0，+∞)內恰有一根，求k的取值范圍．標準答案：令x∈(0，+∞)(1)若k＞0，由所以原方程在(0，+∞)內恰有一個實根；(2)若k=0，所以原方程也恰有一個實根；(3)若k＜0，知識點解析：暫無解析4、證明曲線上任一點的切線的橫截距與縱截距之和為2．標準答案：對兩邊關于x求導得，切線方程為Y－y＝(X－x)，令Y＝0得X＝x＋；令X＝0得Y＝y＋，則X＋Y＝x＋2＋y＝＝2．知識點解析：暫無解析5、設昆蟲產k個卵的概率為，又設一個蟲卵能孵化成昆蟲的概率為p，若卵的孵化是相互獨立的，問此昆蟲的下一代有L條的概率是多少?標準答案：設A=｛下一代有L條｝，Bk=｛產k個卵｝，k=L，L+1，…，則知識點解析：暫無解析6、設f(x)在[a，b]上滿足｜f’’(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)內取到最小值．證明：｜f’(a)｜＋｜f’(b)｜≤2(b－a)．標準答案：因為f(x)在(a，b)內取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)為f(x)在[a，b]上的最小值，從而f’(c)＝0．由微分中值定理得其中ξ∈(a,c)，η∈(c,b)，兩式取絕對值得兩式相加得｜f’(a)｜＋｜f’(b)｜≤2(b－a)．知識點解析：暫無解析7、設L：y=e—x(x≥0)．(1)求由y=e—x、x軸、y軸及x=a(a＞0)所圍成平面區域繞x軸一周而得的旋轉體的體積V(a)．(2)設V(c)=，求c．標準答案：知識點解析：暫無解析設隨機變量X在區間(0，1)上服從均勻分布，在X=x(0＜x＜1)的條件下，隨機變量Y在區間(0，x)上服從均勻分布．求：8、隨機變量X和Y的聯合概率密度；標準答案：X的概率密度為因在X=x(0＜x＜1)條件下，Y在區間(0，x)上服從均勻分布，故Y的條件密度fY|X(y|x)為當0＜y＜x＜1時，X和Y的聯合概率密度為f(x，y)=fX(x)fY|X(y|x)=1／x，在其他點(x，y)處，有f(x，y)=0，即知識點解析：暫無解析9、Y的概率密度；標準答案：當0＜y＜1時，如圖3．3．2．3所示，Y的概率密度為當y≤0或y≥1時，fY(y)=0．因此知識點解析：暫無解析10、概率P(X+Y＞1)．標準答案：所求概率為知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第6套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、計算反常二重積分，D是第一象限內，且位于曲線y=4x2和y=9x2之間的區域。標準答案：由題意知，積分區域，則知識點解析：暫無解析2、（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，6）內可導，則存在ξ∈（a，b），使得f（b）—f（A）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）證明：若函數f（x）在x=0處連續，在（0，δ）（δ＞0）內可導，且f’（x）=A，則f+’（0）存在，且f+’（0）=A。標準答案：（Ⅰ）作輔助函數φ（x）=f（x）一f（a）一（x—a），易驗證φ（x）滿足：φ（a）=φ（b）；φ（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，且根據羅爾定理，可得在（a，b）內至少有一點ξ，使φ’（ξ）=0，即所以f（b）—f（A）=f’（ξ）（b—a）。（Ⅱ）任取x0∈（0，δ），則函數f（x）滿足在閉區間[0，x0]上連續，開區間（0，x0）內可導，因此由拉格朗日中值定理可得，存在故f+’（0）存在，且f+’（0）=A。知識點解析：暫無解析3、設y=y(x)是由sin(xy)=確定的隱函數，求y’(0)和y"(0)的值．標準答案：在方程中令x=0可得，0=故y(0)=e2．將方程兩邊對x求導數，得將x=0，y(0)=e2代入①式，有即y’(0)=e—e4．將①式兩邊再對x求導數，得一sin(xy).(y+xy’)2+cos(xy).(2y’+xy")=將x=0，y(0)=e2和y’(0)=e—e4代入上式，有故y"(0)=e3(3e3一4)．知識點解析：暫無解析4、將函數在點x0=1處展開成冪級數，并求f(n)(1)．標準答案：將f(x)視為即可．因為利用公式(5．14)，并以代替其中的x，則有于是由于f(x)的冪級數所以知識點解析：暫無解析5、設A=當a，b為何值時，存在矩陣C使得AC—CA=B，并求所有矩陣C。標準答案：該方程組是四元非齊次線性方程組，如果C存在，此線性方程組必須有解。對系數矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得當a=—1，b=0時，線性方程組有解，即存在C，使AC—CA=B。此時增廣矩陣變換為（其中c1，c2為任意常數）。知識點解析：暫無解析6、設總體X服從正態分布N(μ，σ2)(σ＞0)．從該總體中抽取簡單隨機樣本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令的數學期望．標準答案：令Y1=X1+Xn+i(i=1，2，…，，2)，則Y1，Y2，…，Yn為正態總體N(2μ，2σ2)的簡單隨機樣本，=(n一1)S2，其中S2為樣本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以統計量U=的數學期望為E(U)=E[(n一1)S2]=2(n一1)σ2．知識點解析：暫無解析7、判別下列級數的斂散性：標準答案：知識點解析：暫無解析8、設總體X服從正態分布N(μ，σ2)(σ＞0)．從該總體中抽取簡單隨機樣本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令求統計量的數學期望．標準答案：令Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，…，n)，則Y1，Y2，…，Yn為正態總體N(2μ，2σ2)的簡單隨機樣本，(n一1)S2，其中S2為樣本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以統計量U=的數學期望為E(U)=E[(n一1)S2]一2(n一1)σ2．知識點解析：暫無解析設三階實對稱矩陣A的特征值是1，2，3，矩陣A的屬于特征值1，2的特征向量分別為α1=[－1，－1，1]T，α2=[1，－2，－1]T．9、求A的屬于特征值3的特征向量；標準答案：設A的屬于特征值3的特征向量為α3=[x1，x2，x3]T．因實對稱矩陣的不同特征值的特征向量相互正交，故α1Tα3=0，α2Tα3=0，即[x1，x2，x3]T為下列齊次方程組的非零解：由得到基礎解系為ξ=[1，0，1]T．因此α的屬于特征值3的特征向量為α3=k[1，0，1]T(k為任意非零常數)．知識點解析：暫無解析10、求矩陣A．標準答案：解一令矩陣則P-1AP=diag(1，2，3)，即A=Pdiag(1，2，3)P-1，易求得故解二由于α1，α2，ξ兩兩正交，為求正交矩陣Q只需將其單位化，即因此可取正交矩陣Q代替可逆矩陣P，即則有Q-1AQ=QTAQ=diag(1，2，3)，A=Pdiag(1，2，3)P-1=Qdiag(1，2，3)Q-1=Qdiag(1，2，3)QT=解二比解一雖然多了單位化的步驟，但免去了求逆的計算(因Q為正交矩陣，有Q-1=QT)．知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第7套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、求證：當x＞0時，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．標準答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，則有f(x)在[0，+∞)三階可導且f(0)=0，f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0，于是f"(x)當x≥0時單調增加，又f"(0)=0，所以當x＞0時f"(x)＞f"(0)=0．從而f’(x)當x≥0時單調增加，又f’(0)=0，故當x＞0時f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)當x≥0時單調增加，又f(0)=0，所以當x＞0時f(x)＞f(0)=0．原不等式得證．知識點解析：暫無解析2、設z＝z(χ，y)由方程χ2－6χy＋10y2－2yz－z2＋18＝0確定的函數，求z＝z(χ，y)的極值點和極值．標準答案：點(9，3)為z＝z(χ，y)的極小值點，極小值為z(9，3)＝3；點(－9，－3)為z＝z(χ，y)的極大值點，極大值為z(－9，－3)＝－3．知識點解析：暫無解析3、設f(x)＝求f(x)并討論其連續性．標準答案：當x＞0時，f’(x)＝，當x＜0時，f’(x)＝cosx，由f’－＝＝1，f’＋(0)＝＝1，得f’(0)＝1，則容易驗證f’(x)＝1＝f’(0)，所以f’(x)連續．知識點解析：暫無解析4、計算其中D是由圓心在點(a，a)、半徑為a且與坐標軸相切的圓周的較短一段弧和坐標軸所圍成的區域．標準答案：區域D如圖4．35，區域D的上邊界是方程為(x－a)2+(y－a)2=a2的下半圓上的一段弧，它的方程為下邊界方程為y=0，故區域D可表示為知識點解析：暫無解析5、設X和Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為其中λ＞0，μ＞0是常數，引入隨機變量求E(Z)和D(Z)．標準答案：由于Z為0—1分布，故E(Z)=P{Z=1}，D(Z)=P{Z=1}.P{Z=0}．而知識點解析：暫無解析6、設隨機變量X～E(λ)，令求P(X+Y=0)及FY(y)．標準答案：P(X+Y=0)=P(Y=－X)=P(｜X｜＞1)=P(X＞1)+P(X＜－1)=P(X＞1)=1－P(X≤1)=1－FX(1)=e－λFY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y，｜X｜≤1)+P(Y≤y，｜X｜＞1)=P(X≤Y，｜X｜≤1)+P(－X≤y，X＞1)+P(－X≤Y，X＜－1)=P(X≤Y，0＜X≤1)+P(X≥－y，X＞1)當y＜－1時，FY(y)=P(X＞－y)=eλy；當－1≤y<0時，FY(y)=P(X＞1)=e－λ；當0≤y≤1時，FY(y)=P(X≤Y)+P(X＞1)=1－e－λy+e－λ；當y＞1時，FY(y)=P(0＜X≤1)+P(X＞1)=1，故知識點解析：暫無解析7、設總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn為取自正態總體X的簡單隨機樣本，且，求E(X1Sn2)．標準答案：由于X1，X2，…，Xn相互獨立且同分布，故E(X1Sn2)=E(X2Sn2)=…=E(XnSn2)．知識點解析：暫無解析8、求冪級數的和函數S(x)及其極值．標準答案：令得唯一駐點x=0，當x＜0時，S′(x)＞0，當x>0時，S′(x)＜0，則x=0為S(x)的極大值點，極大值為S(0)=1．知識點解析：暫無解析某保險公司對多年來的統計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20％，以X表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數．[附表]設Φ(x)是標準正態分布函數．9、寫出X的概率分布；標準答案：設事件A={被抽查到被盜索賠戶}，則p=p(A)=0．2．由題意知，X～B(100，0．2)．因此，分布律P(X=k)=C100k0．2k0．8100-k(k=0，1，…，100)．知識點解析：暫無解析10、利用棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值．標準答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1－p)=16．根據棣莫弗一拉普拉斯定理知，則知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第8套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設u＝a＋b－2c，v＝－a－3b＋C，試用n、b、c來表示2u－3v．標準答案：2u－3v＝2(a＋b－2c)－3(－a－3b＋c)＝5a＋11b－7c．知識點解析：暫無解析2、求下列積分標準答案：(1)本題考查的知識點是不定積分的分部積分法，關鍵是選好u和dv．=－cotx.ln(sinx)+∫(csc2x－1)dx=－cotx.ln(sinx)－cotx－x+C．(2)本題考查典型的有理函數的不定積分，首先湊微分，然后將分母配方．(3)因x=－[(1－x)－1]，從而可用湊微分法．(4)本題考查定積分的性質和定積分的計算，由于是對稱區間上的定積分，一般利用奇函數，偶函數在對稱區間上積分性質簡化計算，本題還用到了華里士公式．(5)此題計算量大些，考慮用分部積分法．然后分部積分，留arccosx，移到d后面，即(6)由于(x－lnx)ˊ≠1－lnx，分子分母同時除以xˊ得I=，注意到(7)一般會想到如下解法：用牛頓—萊布尼茨公式，令t=tanx，則x=arctant，dx=，則這當然是錯的，錯在哪里呢?因為當t∈[－1，0]時，x=arctant之值不落在原積分區間上．事實上，補救的辦法是將積分區間拆開，知識點解析：暫無解析3、已知A=，A*是A的伴隨矩陣，求A*的特征值與特征向量．標準答案：因為A==B-E，而r(B)=1，且有｜λE-B｜=λ3-6λ2，所以矩陣B的特征值是6，0，0．故矩陣A的特征值是5，-1，-1．又行列式｜A｜=5，因此A*的特征值是1，-5，-5．矩陣曰屬于λ=6的特征向量是α1=(1，1，1)T，屬于λ=0的特征向量是α2=(-1，1，0)T和α3=(-1，0，1)T．因此A*屬于λ=1的特征向量是k1α1(k1≠0)，屬于λ=-5的特征向量是k2α2+k3α3(k2，k3不全為0)．知識點解析：暫無解析4、標準答案：知識點解析：暫無解析5、設PQ為拋物線y＝的弦，它在此拋物線過P點的法線上，求PQ長度的最小值．標準答案：令P(a，)，因為y＝關于y軸對稱，不妨設a＞0．y’(a)＝，過P點的法線方程為y－(x－a)，設Q(b，)，因為Q在法線上，所以(b－a)，解得b＝－a－．PQ的長度的平方為L(a)＝(b－a)2＋(b2－a2)]2＝4a2(1＋)3，由L’(a)＝8a(1＋＝0得a＝為唯一駐點，從而為最小點，故PQ的最小距離為．知識點解析：暫無解析6、求函數f(x，y)=xy(a一x—y)的極值．標準答案：知識點解析：暫無解析7、設X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，其均值和方差分別為X與S2，且X～B(1，p)，0＜P＜1．(I)試求：X的概率分布；(Ⅱ)證明：標準答案：(I)由于X～B(1，P)，故X的概率分布為其中，因為Xi取值0或1，故Xi2=Xi．知識點解析：暫無解析8、設η1，，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個解，k1，…，ks為實數，滿足k2+k2+…+ks=1。證明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程組的解。標準答案：由于η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個解，故有Aηi=b（i=1，…，s）。因為k1+k2+…+ks=1，所以Ax=A（k1η1+k2η2+…+ksηs）=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b（k1+…+ks）=b，由此可見x也是方程組的解。知識點解析：暫無解析設隨機變量X與Y獨立同分布，且X的概率分布為記U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．9、求(U，V)的概率分布；標準答案：易知U，V的可能取值均為1，2，因X，y獨立且同分布，故P(U=1，V=1)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=1)=P(X=1，Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=4／9，P(U=1，V=2)=P(max(X，Y)=1，min(X，Y)=2)=P()=0．P(U=2，V=1)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=P(X=2)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=2)=2／9+2／9=4／9．P(U=2，V=2)=P(max(X，Y)=2，min(X，Y)=2)=P(X=2，Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=1／9．于是(U，V)的概率分布為知識點解析：暫無解析10、求U與V的協方差cov(U，V)．標準答案：下用同一表格法先求出E(U)，E(V)及E(UV)．由所以E(U)=1×(4／9)+2×(5／9)=14／9，E(V)=1×(8／9)+2×(1／9)=10／9，E(UV)=1×(4／9)+2×(4／9)+4×(1／9)=16／9，故cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=16／9－(14／9)×(10／9)=4／81．知識點解析：暫無解析考研數學三（解答題）專項練習試卷第9套一、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、已知矩陣且矩陣X滿足AXA＋BXB＝AXB＋BXA＋E，求矩陣X．標準答案：(A－B)X(A－B)＝EX＝(A－B)-1(A－B)-1＝知識點解析：暫無解析2、設f（x）=∫—1xt|t|dt（x≥一1），求曲線y=f（x）與x軸所圍封閉圖形的面積。標準答案：因為t|t|為奇函數，可知其原函數f（x）=∫—1xt|t|dt=∫—10|t|t|dt+∫0xt|t|dt為偶函數，因此由f（—1）=0，得f（1）=0，即y=f（x）與x軸有交點（—1，0），（1，0）。又由f’（x）=x|x|，可知x＜0時，f’（x）＜0，故f（x）單調減少，從而f（x）＜f（—1）=0（—1＜x≤0）；當x＞0