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向量數量積的概念

如果一個物體在力F作用下產生位移S，那么F所做的功為:θ表示力F的方向與位移S的方向的夾角。位移SOAθFFθSW=│F││S│COSθ情景導入一：兩個向量的夾角（71頁）baOAOB給定兩個非零向量a、b，=a，=b.則稱[0，π]內的∠AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作<a，b>.并規定0≤<a，b>≤π

BOA向量的夾角

與

反向OABOA

與

同向OABB記作與

垂直，OAB注意:在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點的如果a,b是兩個非零向量，那么〈a，b〉=〈b，a〉嗎？根據向量夾角的定義可知，兩個非零向量的夾角是唯一確定的，所以〈a，b〉=〈b，a〉（1）求兩向量的夾角，應保證兩個向量有公共起點，若沒有，須平移使它們有公共起點；baBOA（2）〈a，b〉=〈b，a〉；（3）范圍0≤〈a，b〉≤π；（4）〈a，b〉=0時,a、b同向；〈a，b〉=π時，a、b反向；〈a，b〉=90°時，

a⊥b.（5）規定：在討論垂直問題時，零向量與任意向量垂直.總結：二、向量的數量積（內積）（72頁）定義：叫做向量a和b的數量積（或內積）記作：a·b

即a·b=

兩個非零向量的數量積是一個實數如果向量a,b都是非零向量，那么a·b可以是正數嗎？可以是負數嗎？可以是零嗎？通過數量積的定義可知，a·b符號由cos〈a，b〉的符號所決定；所以a·b可以是正數，可以是負數，可以是零

向量數量積的性質量的數量積為0規定零向量與任意向（3）a與b垂直的充要條件是他們的數量積為0例1已知a,b是兩個非零向量.(1)若|a|=5,|b|=4,<a·b>=120°,求a·b;(2)若|a|=3，|b|=2，a·b=3，求<a·b>練一練：三、向量的投影與向量數量積的幾何意義如果a,b都是非零向量，且a在b上的投影為，那么向量的方向、長度與<a,b>有什么關聯？如圖所示，給定平面上的一個非零向量b,設b所在的直線為l,則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影,如圖所示.OABbaOABbaθ為銳角時，|a|cosθ＞0θ為鈍角時，|a|cosθ＜0θ為直角時，|a|cosθ=0BOAba

當

=0

時，數量為|a|；當

=180

時，數量為

|a|.

一般地,如果a,b都是非零向量,則稱|a|cos<a,b>為向量a在向量b上的投影的數量.投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量可能是非負數，也可能是負數①兩個非零向量a,b的數量積a·b,等于a在向量b上的投影的數量與b的模的乘積,這就是兩個向量數量積的幾何意義.②當e為單位向量時,a·e=|a|cos<a,e>.即任意向量與單位向量的數量積,等于這個向量在單位向量e上的投影的數量.

．數量積a

b等于a的長度與b在a方向上正射影的數量|b|cos

的乘積.1.做一做:已知|a|=5,|b|=3,

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