第七章測評

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.下列事件是必然事件的是（）

A.連續兩次擲一枚硬幣,兩次都出現正面向上

B.異性電荷相互吸引

C.在標準大氣壓下，水在1℃時結冰

D.任意擲一枚骰子朝上的點數是偶數

H麗四個選項都是隨機事件,根據定義可知B選項是必然事件.故選B.

ggB

2.（2020河北高二期末）將紅、黑、藍、白5張紙牌（其中白紙牌有2張）隨機分發給甲、乙、丙、丁4

個人,每人至少分得1張，則下列兩個事件為互斥事件的是（）

A.事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得1張紅牌”

B.事件“甲分得1張紅牌”與事件“乙分得1張藍牌”

C.事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得2張白牌”

D.事件“甲分得2張白牌”與事件“乙分得1張黑牌”

解相對于A,事件“甲分得1張白牌”與事件“乙分得1張紅牌”可以同時發生，不是互斥事件;對于B,事

件“甲分得1張紅牌”與事件“乙分得1張藍牌”可能同時發生，不是互斥事件;對于D,事件“甲分得2張

白牌”與事件“乙分得1張黑牌”能同時發生，不是互斥事件;但C中的兩個事件不可能同時發生，是互

斥事件，故選C.

H]c

3.一個容量100的樣本，其數據的分組與各組的頻數如下表：

組(0,(10,(20,(30,(40,(50,(60,

別10]20]30]40]50]60]70]

頻

1213241516137

數

則樣本數據落在（10,40]上的頻率為（）

A.0.13B.0.39C.0.52D.0.64

解麗由題意可知頻數在（10,40]的有13+24+15=52,由頻率=頻數r總數可得0.52.故選C.

H]c

4.某大學外語系有6名志愿者，其中志愿者422。只通曉英語,志愿者BI,BZ,B3只通曉俄語.現從這6

名志愿者中選出2名，組成一個能通曉兩種語言的小組，則C被選中的概率為（)

|解析|從這6名志愿者中選出2名組成通曉兩種語言的小組的樣本點為

(4,BI),(AI,&),(4I,&),(A2,8I),(A2,&),(A2,B3),(C,BI),(C,&),(C,B3),共有9個.其中C被選中的樣本點有

Q1

(C,BI),(C,B2),(C,B3),^3個，所以所求概率為怖=今故選C.

H]c

5.(2020吉林實驗高二期末)已知隨機事件A,8,C中鼻與8互斥,8與C對立，且P(A)=0.3,尸(0=0.6,則

尸(A+B)=()

A.0.3B,0.6C.0.7D.0.9

解析|因為尸(。=0.6,事件B與C對立，所以P(B)=0.4,又尸(A)=0.3,A與B互斥，所以

尸(A+B)=尸(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故選C.

H]c

6.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件4="第一枚硬幣正面向上"，事件8="第二枚硬幣正面向上“，則

()

A.事件A與事件B互為對立事件

B.事件A與事件B為互斥事件

C.事件A與事件B相等

D.事件A與事件B相互獨立

畫拋擲兩枚質地均勻的硬幣，事件A發生與否與事件B無關，事件8發生與否與事件A無關，所以

事件A與事件8相互獨立.故選D.

H]D

7.法國有個名人叫作布萊爾?帕斯卡，他認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出一個問題，他們說,他們下

賭金之后,約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金700法郎，賭了半天,甲贏了4局,乙贏了3局,時間很

晚了，他們都不想再賭下去了.假設每局兩賭徒輸贏的概率各占今每局輸贏相互獨立,那么這700法郎

如何分配比較合理()

A.甲400法郎，乙300法郎

B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲525法郎，乙175法郎

D.甲350法郎，乙350法郎

隆麗假定再賭一局，甲獲勝的概率為《若再賭兩局，甲才獲勝的概率為：x=',所以甲獲勝的概率為

；+：=所以甲應分得700x)=525(法郎)，乙應分得700x；=175(法郎).故選C.

42444

ggc

8.設甲、乙兩人每次射擊命中目標的概率分別為，和士且各次射擊相互獨立，若按甲、乙、甲、乙的

次序輪流射擊，直到有一人擊中目標就停止射擊,則停止射擊時，甲射擊了兩次的概率是()

A?B—C—D19

202580400

解機擊中目標時甲射擊了兩次包括甲乙第一次均未擊中、甲第二次擊中，及甲前兩次均未擊中、乙

第二次才擊中，所以其概率為尸=3卜|+卜/也拉磊+焉=懸故選D.

居D

二'多項選擇題(每小題5分，共20分)

9.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，則下列不是對立事件的為()

A.恰有1名男生和恰有2名男生

B.至少有1名男生和至少有1名女生

C.至少有1名男生和全是男生

D.至少有1名男生和全是女生

WgA是互斥事件,不是對立事件，理由:在所選的2名同學中,“恰有1名男生”實質選出的是“1名男

生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時發生,所以是一對互斥事件，但其并事件不是必然事

件，所以不是對立事件.B不是互斥事件，從而也不是對立事件.理由“至少有1名男生”包括“1名男

生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是

女生”兩種結果，它們可同時發生.C不是互斥事件，從而也不是對立事件,理由廣至少有1名男生”包括

“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，這與“全是男生”可同時發生.D是互斥事件,也是對立事件.理

由廣'至少有1名男生”包括T名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結果，它與“全是女生”不可能

同時發生，且其并事件是必然事件，所以是對立事件.故選ABC.

答案|ABC

10.(2020遼寧高一期末)下面結論正確的是()

A.若P(A)+P(B)=1,則事件A與B互為對立事件

B.若尸(AB)=P(A)尸(B),則事件A與B是相互獨立事件

C.若事件A與B是互斥事件，則A與互也是互斥事件

D.若事件A與B是相互獨立事件，則A與耳也是相互獨立事件

解析|對于A選項，要使A,B為對立事件，除尸(4)+尸(8)=1還需滿足尸(A8)=0,也即A,B不能同時發生，

所以A選項錯誤.對于B選項，根據相互獨立事件的知識可知,B選項正確.對于C選項2包含于瓦所

以A與耳不是互斥事件，所以C選項錯誤.對于D選項，根據相互獨立事件的知識可知,D選項正確.故

選BD.

答案|BD

11.下列概率模型是古典概型的為()

A.從6名同學中選出4人參加數學競賽，每人被選中的可能性大小

B.同時擲一次兩枚質地均勻的骰子，點數和為6的概率

C.近三天中有一天降雨的概率

D.10人站成一排，其中甲,乙相鄰的概率

解祠古典概型的特點:⑦■-次試驗中，可能出現的結果只有有限個，即有限性;算個樣本點發生的可

能性是均等的，即等可能性.顯然A,B,D符合古典概型的特征，所以A,B,D是古典概型;C選項,每天是

否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性,不是古典概型.故選ABD.

|答案［BD

12.從甲袋中摸出一個紅球的概率是《從乙袋中摸出一個紅球的概率是今從兩袋各摸出一個球,下列結

論正確的是()

A.2個球都是紅球的概率為:

B.2個球不都是紅球的概率為爭

C.至少有1個紅球的概率為|

D.2個球中恰有1個紅球的概率為2

廨函設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件4,“從乙袋中摸出一個紅球”為事件4,則P(4)=指尸(4尸今

111

且44獨立.在A中,2個球都是紅球為44,其概率為3x：=正確;在B中,“2個球不都是紅球”

D2O

是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為各B錯誤;在C中,2個球中至少有1個紅球的概率為1-

O

——91911911

尸⑷尸(B)=l《x|=j,C正確;2個球中恰有1個紅球的概率為右x1+|xj=1,D正確.故選ACD.

|答案|ACD

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產中出現乙級品的概率為0.04,出現丙

級品的概率為0.01,則對成品抽查一件抽得正品的概率為.

隧麗記事件A=｛抽得甲級品｝,2=｛抽得乙級品｝,C=｛抽得丙級品｝，因為事件A,3,C互為互斥事件，且三

個事件對立，所以抽得正品即為抽得甲級品的概率為尸(A)=l-P(8)-P(O=0.95.

答案|。95

14.(2020江蘇高三專題練習)電視臺組織中學生知識競賽，共設有5個版塊的試題，主題分別是:立德樹

人、社會主義核心價值觀、依法治國理念、中國優秀傳統文化、創新能力.某參賽隊從中任選2個

主題作答，則“立德樹人”主題被該隊選中的概率是.

解畫從5個版塊中任選2個主題共有10個樣本點，而“立德樹人”主題被該隊選中包含4個樣本點，故

所求概率為4=0.4.

gg0.4

15.某學校進行足球選拔賽,有甲、乙、丙、丁四個球隊，每兩隊要進行一場比賽,開始記分規則為:勝

一場得3分，平一場得1分，負一場得。分，甲勝乙、丙、丁的概率分別是050.6,0.8,甲負乙、丙、丁

的概率分別是0.3,020.1,最后得分大于等于7勝出，則甲勝出的概率為.

解相兩隊比賽，一隊勝、平、負是互斥事件，因此由題意甲平乙、丙、丁的概率分別是0.2,020.1,所

以甲勝的概率為尸=0.5x0.6x0.8+0.5x0.6x0.1+0.5x0.2x0.8+0.2x0.6x0.8=0.446.

答案0.446

16.某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試,否則即被淘汰.已

知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為之且各輪問題能否正確回答互不影響,

則該選手被淘汰的概率為.

暖麗記“該選手能正確回答第i輪的問題”為事件A(i=l,2,3),則尸(AI)="(A2)=|,尸(&)=|.

則該選手被淘汰的概率為P=P(W+4灰+44灰尸尸(不)+P(4)P(五)+P(4)P(A2)尸(五)="+gx

2.433101

5+5X5X5=n5'

L^^25

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)(2020山西高一期末)從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個數的概率如

下表所示:

遇到6個及

紅6

012345

燈個個以

數上

概率0.020.1a0.350.20.10.03

⑴求表中字母a的值；

(2)求至少遇到4個紅燈的概率；

(3)求至多遇到5個紅燈的概率.

回⑴由題意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.

(2)設事件A為遇到紅燈的個數為4,事件B為遇到紅燈的個數為5,事件C為遇到紅燈的個數為

6個及以上，則事件“至少遇到4個紅燈”為AUBUC,因為事件A,B,C互斥,所以尸(AUBU

O=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+(M+0.03=0.33,即至少遇到4個紅燈的概率為0.33.

(3)設事件。為遇到6個及6個以上紅燈，則至多遇到5個紅燈為事件萬.則P(萬)=1-尸(0)=1-

0.03=0.97.

18.(12分)盒子里放有外形相同且編號為1,2,3,4,5的五個小球，其中1號與2號是黑球,3號、4號與5

號是紅球，從中有放回地每次取出1個球，共取兩次.

(1)求取到的2個球中恰好有1個是黑球的概率；

(2)求取到的2個球中至少有1個是紅球的概率.

版由題知，共有25個樣本點，

12

(1)2個球中恰好1個黑球為13,14,15,23,24,25,再交換一下，共有12個樣本點,故概率

(2)取到的2個球中至少有1個是紅球的對立事件為沒有一個紅球,即全是黑球為11,12,21,22,共

4個樣本點，即尸

19.(12分)(2020全國1,文17)某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品(單位:件)按標準分為

A,B,C,D四個等級.加工業務約定:對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元,50

元,20元;對于D級品,廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲

分廠加工成本費為25元/(牛,乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業務，在

兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統計了這些產品的等級，整理如下：

甲分廠產品等級

的頻數分布表

等

ABCD

級

頻

40202020

數

乙分廠產品等級

的頻數分布表

等

ABCD

級

頻

28173421

數

(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承

接加工業務？

m(1)由試加工產品等級的頻數分布表知，

甲分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為編=0.4;

乙分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為需=0.28.

(2)由數據知甲分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為

-

利

潤6525-5

75

頻

40202020

數

因此甲分廠加工出來的100件產品的平均利潤為

65x40+25x20-5x20-75x20--

--------------W0--------------=15.

由數據知乙分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為

利

70300

潤70

頻

28173421

數

因此乙分廠加工出來的100件產品的平均利潤為

70x28+30x17+0x34-70x211八

---------135---------=10-

比較甲、乙兩分廠加工的產品的平均利-潤,應選甲分廠承接加工業務.

20.(12分)某單位開展崗前培訓期間，甲、乙2人參加了5次考試，成績統計如下:

lr第二第三第四第五

1次次次次

甲的成

8282799587

績

乙的成

9575809085

績

(1)根據有關統計知識回答問題:若從甲、乙2人中選出1人上崗，你認為選誰合適?請說明理由；

(2)根據有關概率知識解答以下問題:若一次考試兩人成績之差的絕對值不超過3分，則稱該次考試兩

人“水平相當”.由上述5次成績統計，任意抽查兩次考試，求至少有一次考試兩人“水平相當”的概率.

回⑴甲的平均成績為元甲=82+82+^+95+87=85,乙的平均成績為元乙=95+75+弋+90+85=85,

故甲、乙二人的平均水平一樣.

-15

甲的成績的方差為4=g￡(加亞申)2=316

甲5』甲

-15

乙的成績的方差為s；=微￡。廣元乙)2=50,

?：s備＜sL，故應派甲合適.

(2)從5次考試的成績中，任意取出2次，所有的樣本點有10個，其中，滿足至少有一次考試兩人“水

平相當”的有:(79,80)和(87,85)、(79,80)和(82,95)、(79,80)和(82,75)、(79,80)和(95,90)、(87,85)和

7

(82,95)、(87,85)和(82,75)、(87,85)和(95,90),共有7個樣本點，故所求事件的概率等于行

21.(12分)(2020遼寧高一期末)某中學為了豐富學生的業余生活，開展了一系列文體活動，其中一項是

同學們最感興趣的3對3籃球對抗賽，現有甲、乙兩隊進行比賽,甲隊每場獲勝的概率為方且各場比

賽互不影響.

(1)若采用三局兩勝制進行比賽，求甲隊獲勝的概率；

(2)若采用五局三勝制進行比賽，求乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概率.

解設4(i=l,2,3,4,5)表示甲隊在第i場比賽獲勝.

⑴所求概率為尸(A1A2)+P(A而4)+「(狠2A3)=(|"+|x(1)2x2=各

--------------------------91^1162

(2)所求概率為P^A^A^+P^A^A^+P^A2A3A4)=^X1,3*3=黑.

22.(12分)(2020內蒙古高二期末)在全國第五個“扶貧日”到來之前，某省開展“精準扶貧，攜手同行”的

主題活動，某貧困縣調查基層干部走訪貧困戶數量.甲鎮有基層干部60人，乙鎮有基層干部60人，丙鎮

有基層干部80人，每人都走訪了若干貧困戶，按照分層隨機抽樣，從甲、乙、丙三鎮共選20名基層干

部,統計他們走訪貧困戶的數量，并將走訪數量分成［5,15),［15,25),［25,35),［35,45),［45,55］5組，繪制成如

圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

W

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

51525354555走訪數量/戶

(1)求這20人中有多少人來自丙鎮，并估計甲、乙、丙三鎮的基層干部走訪貧困戶戶數的中位數(精

確到整數位)；

(2)如果把走訪貧困戶達到或超過35戶視為工作出色，求選出的20名基層干部中工作出色的人數，并

從中選2人做交流發言，求這2人中至少有一人走訪的貧困戶在［45,55］的概率.

覦(1)20人中來自丙鎮的有RI%X80=8(人).

11OU十OU十。U

設中位數為入戶.

r(0.015+0.025)xl0=0.4<0.5,0.4+0.030xl0=0.7>0.5,

.：估計中位數工￡［25,35).

(x-25)x0.030=0.1,.328.33=28.

(2)20名基層干部中工作出色的人數為(0.020+0.010)x10x20=6,其中，走訪戶數在［35,45)的有

0.02x10x20=4(人)，設為〃力,c,d,走訪戶數在［45,55］的有0.01x10x20=2人，設為e工從6人中抽取2人

有3力),(％),3,歐31),33,(瓦。,(仇公(仇6),30(4公(6以(。沿,3?),(弱),(6力共15個樣本點，其中2人

走訪貧困戶都在［35,45)的有(〃力),(〃,o),3/),(九0),(46?),3/),共6個樣本點.故所求概率「二與怖=|-

第八章數學建模活動(一)

§1走近數學建模§2數學建模的主要步驟

§3數學建模活動的主要過程

【內容概述】

數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問

題的過程.主要包括:在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、構建模型、確定

參數、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.數學建模活動是基于數學思維運用模型

解決實際問題的一類綜合實踐活動.

【數學建模】

數學建模的基本過程如下：

?實^■情境?

T

?提出問題?

---------

?建模型?

I

?求解模型?

不合乎實際

?實隔果I

數學建模活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具

體表現為:發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案,通過自

主探索、合作研究論證數學結論.

【建模案例】測量學校內、外建筑物的高度

【目的】運用所學知識解決實際測量高度問題，體驗數學建模活動的完整過程.組織學生通過分

組、合作等形式，完成選題、開題、做題、結題四個環節.

【情境】給出下面的測量任務：

（1）測量本校的一座教學樓的高度；

（2）測量本校的旗桿的高度；

（3）測量學校院墻外的一座不可及，但在學校操場上可以看得見的物體的高度.

可以每2?3個學生組成一個測量小組，以小組為單位完成，并填寫測量報告表.

測量課題報告表

項目名稱：完成時間:

1.成員與分工

姓名|分工

2.測量對象

例如,某小組選擇的測量對象是:旗桿、教學樓、校外

的大廈.________________________________________

3.測量方法（請說明測量原理、測量工具、創新點等）

4.測量數據、計算過程或結果（可以另外附圖或附頁）

5.研究結果（包括誤差分析）

6.簡述工作感受

【活動過程】

教師可以對學生的工作流程提出如下要求和建議:

(1)成立項目小組，確定工作目標，準備測量工具；

(2)小組成員查閱有關資料,進行討論交流，尋求測量效率高的方法,設計測量方案(最好設計兩套

測量方案)；

(3)分工合作，明確責任.例如，測量、記錄數據、計算求解、撰寫報告的分工等；

(4)撰寫報告，討論交流.可以用照片、模型、PPT等形式展現獲得的成果.

根據上述要求，每個小組要完成以下工作：

⑴選題

⑵開題

可以在課堂上組織開題交流，讓每一個項目小組陳述初步測量方案,教師和其他同學可以提出質

疑例如:

如果有學生提出要通過測量仰角計算高度，教師可以追問:怎么測量?用什么工具測量？目的是提

醒學生，事先設計出有效的測量方法和選用實用的測量儀器.

如果有學生提出要通過測量太陽的影長計算高度，教師可以追問:幾時測量比較好?如果學生提出

比較測量物和參照物的影長時，教師可以追問:是同時測量好，還是先后測量好？目的是提醒學生注意

測量的細節.

如果有學生提出用照相機拍一張測量對象和參照物(如一個已知身高的人)的合影，通過參照物的

高度按比例計算出樓的高度.教師可以追問:參照物應該在哪里?與測量對象是什么位置關系？目的是

提醒學生注意現實測量與未來計算的關聯.

在討論的基礎上，項目小組最終形成各自的測量方案.討論的目的是讓學生仔細想清楚測量過程

中將使用的數學模型，這樣可以減少實踐過程中的盲目性，培養學生良好的思維習慣;同時可以讓學生

意識到，看似簡單的問題,也有許多認真思考、認真對待的東西，促進科學精神的形成.

(3)做題

依據小組的測量方案實施測量,盡量安排各個小組在同一時間進行測量，這樣有利于教師的現場

觀察和管理.老師需要提醒學生:要有分工、合作、責任落實到個人.

在測量過程中，老師要認真巡視,記錄那些態度認真、合作默契、方法恰當的測量小組和個人，供

講評時使用.特別要注意觀察和發現測量中出現的問題，避免因測量方法不合理產生較大誤差,當學生

出現類似問題時,教師要把問題看做極好的教育契機，啟發學生分析原因，引導他們發現出問題的原

因，尋求解決問題的辦法.

(4)結題

在每一位學生都完成了“測量報告，，后，可以安排一次交流講評活動,遴選的交流報告最好有鮮明

的特點，如測量結果準確,過程完整清晰，方法有創意，誤差處理得當，報告書寫規范等;或者測量的結果

出現明顯誤差，使用的方法不當.交流講評往往是數學建模活動中最為重要的環節，可以使學生在這一

過程中相互借鑒，共同提高.

【建立模型】

測量不可及“理想大廈”的方法

L兩次測角法

(1)測量并記錄測量工具距離地面hm-

(2)用大量角器，將一邊對準大廈的頂部，計算并記錄仰角a;

(3)后退am,重復(2)中的操作，計算并記錄仰角￡;

(4)樓高x的計算公式為尤=警鬻+/7,

tana-tan^

其中如圖所示.

兩次測角法示意圖

2.鏡面反射法

(1)將鏡子(平面鏡)置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到房頂的位置，測量人與鏡子的距離；

(2)將鏡子后移am,重復(1)中的操作；

(3)樓高尤的計算公式為芯=0.

其中匹。2是人與鏡子的距離,。是兩次觀測時鏡面之間的距離也是人的“眼高”，如圖所示.根據光

的反射原理，利用相似三角形的性質聯立方程組,可以得到這個公式.

鏡面反射法示意圖

【檢驗結果】

記錄實際測量數據并計算結果,測量誤差簡要分析.

(1)兩次測角法--

實際測量數據：1r1r

仰

67°52°

角

后退距離為2