2.5指數(shù)和指數(shù)函數(shù)【題型解讀】【題型一指數(shù)的運(yùn)算】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）計(jì)算=__________2.(2023·廣東深圳·高三期末）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．3.（2023·全國高三專題練習(xí)）化簡下列各式：（1）；（2）.4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡的結(jié)果為（

）A．－ B．－C．－ D．－6ab【題型二指數(shù)函數(shù)的圖像】1.(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C．D．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其中，為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3.(2023·浙江高三期末）函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．4.(2023·河南焦作·高三期末）已知函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5.(2023·全國·高三課時(shí)練習(xí)）若，，則函數(shù)的圖像一定經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限【題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．3.(2023·江蘇高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝的值域?yàn)椋ǎ〢．(0，1) B．(1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)4.(2023·開原市第二高級中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，則該函數(shù)的值域是______.5.(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.6.(2023·陜西省黃陵縣中學(xué)高三月考）若函數(shù)的值域是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．7.(2023·安徽安慶市·高三二模）設(shè)函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8.(2023·河北張家口·高三期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.9.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且），若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．10.(2023·云南高三月考）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11.(2023·海南·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【題型四指數(shù)函數(shù)綜合問題】1.(2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2.(2023·寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，求在區(qū)間上的最大值．3.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在，上有最大值，求實(shí)數(shù)的值；（2）若方程在，上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2.5指數(shù)和指數(shù)函數(shù)【題型解讀】【題型一指數(shù)的運(yùn)算】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）計(jì)算=__________答案：18【解析】原式故答案為：182.(2023·廣東深圳·高三期末）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】對A：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：，故選項(xiàng)B正確；對C：，不能化簡為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對D：因?yàn)椋裕蔬x項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.3.（2023·全國高三專題練習(xí)）化簡下列各式：（1）；（2）.答案：（1）；（2）.【解析】（1）原式（2）原式4.(2023·全國·高三專題練習(xí)）化簡的結(jié)果為（

）A．－ B．－C．－ D．－6ab答案：C【解析】原式＝.故選：C.【題型二指數(shù)函數(shù)的圖像】1.(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C．D．答案：C【解析】由函數(shù)，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故排除AB，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，故排除D.故選：C.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其中，為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：A【解析】由，可得，因?yàn)橛蓤D像可知函數(shù)是減函數(shù)，所以，所以，因?yàn)椋裕裕蔬x：A3.(2023·浙江高三期末）函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對稱，又，故選：B4.(2023·河南焦作·高三期末）已知函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】當(dāng)時(shí)，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.故選：D5.(2023·全國·高三課時(shí)練習(xí)）若，，則函數(shù)的圖像一定經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限答案：A【解析】由可得函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，且過第一、二象限，由可得把的圖像向下平移個(gè)單位可得的圖像，結(jié)合可知，圖像過第一、二、三象限．故答案為A【題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____．答案：4【解析】單調(diào)遞增，所以函數(shù)過點(diǎn)(-1,-1)和點(diǎn)(0,0)，所以無解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)過點(diǎn)(-1,0)和點(diǎn)(0,-1)，所以，解得.所以2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意得：，故，故，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．3.(2023·江蘇高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝的值域?yàn)椋ǎ〢．(0，1) B．(1，＋∞)C．(2，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)答案：D【解析】因?yàn)椋詙＝,且y>0，所以y＝值域?yàn)?0，1)∪(1，＋∞)，故選：D.4.(2023·開原市第二高級中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，則該函數(shù)的值域是______.答案：【解析】由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋瘮?shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以的值域?yàn)?故答案為：5.(2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.答案：【解析】因?yàn)椋O(shè),,在上單調(diào)遞增,所以故答案為：.6.(2023·陜西省黃陵縣中學(xué)高三月考）若函數(shù)的值域是，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．答案：A【解析】令由于的值域是，所以的值域是因此有，解得這時(shí)，由于的單調(diào)遞減區(qū)間是，在R上遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間是答案：A7.(2023·安徽安慶市·高三二模）設(shè)函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，并由解析式可知函數(shù)是增函數(shù)原不等式可化為，∴，解得，∴的取值范圍是．故選：A．8.(2023·河北張家口·高三期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.答案：【解析】因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以每段都單調(diào)遞減，即，并且在分界點(diǎn)處需滿足，即，解得：.故答案為：9.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且），若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．答案：D【解析】由于函數(shù)有最小值，則函數(shù)在區(qū)間上不為增函數(shù)，可得.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無最小值；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，①若函數(shù)在上為增函數(shù)，則，且有，即，解得，此時(shí)；②若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，且，所以，，即，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.10.(2023·云南高三月考）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，又為上的增函數(shù)，所以，即，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.11.(2023·海南·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，則，，所以最小，又由，因?yàn)椋裕裕C上可得：.故選：D.【題型四指數(shù)函數(shù)綜合問題】1.(2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：(1)證明見解析(2)【解析】(1)由已知可得的定義域?yàn)椋稳。遥瑒t，因?yàn)椋裕矗栽谏鲜菃握{(diào)遞增函數(shù)．(2)，令，則當(dāng)時(shí)，，所以．令，，則只需．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，解得，與矛盾，舍去；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，與矛盾，舍去．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．2.(2023·寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，求在區(qū)間上的最大值．答案：（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，由，可得，解得，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；（2）令，即求在區(qū)間上的最大值．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，則；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，.綜上所述，.3.(