（人教版）七年級上冊數學期末復習重要考點06《實際應用解答題》四大重要考點題型【題型1有理數的實際應用】1．（2023秋?濱湖區期中）無錫地鐵4號線北起惠山區劉潭站，南至濱湖區博覽中心站，大致呈南北走向．如圖為地鐵4號線部分站點，李明同學利用假期參加地鐵志愿服務，從西園弄站出發，到A站時，本次志愿服務結束．若規定向南為正，向北為負，李明當天的乘車站點數按先后順序依次記錄如下（單位：站）：+4，﹣3，﹣4，+9，﹣8，+7，﹣4，﹣1．（1）在本次志愿服務過程中，李明到達的離西園弄站最遠的站點是；（填寫車站名稱）（2）請通過計算說明A站是哪一站？（3）地鐵4號線全長24.1千米，設車站18座，相鄰兩站之間的平均距離約為1.4千米，求本次李明志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程是多少千米？【分析】（1）通過依次計算每相鄰兩站的代數和，找出最大是數就是李明到達的離西園弄站最遠的站點；（2）求出這些數的和，根據和的符號和絕對值判斷A站的位置；（3）計算所有站數絕對值的和，再乘以1.4即可．【解答】解：（1））∵+4+（﹣3）＝+1，1+（﹣4）＝﹣3，﹣3+（+9）＝+6，6+（﹣8）＝﹣2，﹣2+（+7）＝+5，5+（﹣4）＝+1，1+（﹣1）＝0，∴在本次志愿服務過程中，李明到達的離西園弄站最遠的站點是周新苑．故答案為：周新苑；（2）+4﹣3﹣4+9﹣8+7﹣4﹣1＝0，∴A站是西園弄站；（3）|+4|+|﹣3|+|﹣4|+|+9|+|﹣8|+|+7|+|﹣4|+|﹣1|＝40，40×1.4＝56（千米）．答：本次李明志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程是56千米．【點評】此題主要考查正數和負數以及有理數的混合運算，正確列出算式并掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．2．（2022秋?安鄉縣期中）出租車一天下午以家為出發地在東西方向營運，向東為正方向，向西為負方向，行車里程（單位：km）依先后載客次序記錄如下：+8，﹣9，﹣7，+6，﹣3，﹣14，+5，+12（1）該出租車師傅將最后一名乘客送達到目的地，出租車離家有多遠？（2）該出租車師傅下午離家最遠有多少千米？（3）若汽車耗油量為0.2升/千米，這天下午接送乘客，出租車共耗油多少升？（4）若出租車起步價為10元，起步里程為3km（包括3km），超過部分每千米1.2元，問這天下午該出租車師傅的營業額是多少元？【分析】（1）根據有理數的加法，可得答案；（2）根據有理數的加法，有理數的大小比較，可得答案；（3）根據單位耗油量乘以行駛路程，可得答案；（4）根據起步價加超過部分的價格，可得答案．【解答】解答：（1）（+8）+（﹣9）+（﹣7）+（+6）+（﹣3）+（+5）+（﹣14）+（+12）＝8﹣9﹣7+6﹣3+5﹣14+12＝（8+6+5+12）+（﹣9﹣7﹣3﹣14）＝31﹣33＝﹣2，答：該出租車師傅將最后一名乘客送達到目的地，出租車在家的西方，離家有2km；（2）第一次8千米，第二次8﹣9＝﹣1千米，第三次﹣1+（﹣7）＝﹣8千米，第四次﹣8+6＝﹣2千米，第五次﹣2﹣3＝﹣5千米，第六次﹣5﹣14＝﹣19千米，第七次﹣19+5＝﹣14千米，第八次﹣14+12＝﹣2千米，答：該出租車師傅下午離家最遠有19km；（3）8+|﹣9|+|﹣7|+6+|﹣3|+5+|﹣14|+12＝8+9+7+6+3+5+14+12＝64（km），0.2×64＝12.8（升）答：這天下午出租車共耗油12.8升；（4）10×8+（64﹣3×8）×1.2＝80+48＝128（元），答：這天下午該出租車師傅的營業額是128元．【點評】本題考查了正數和負數，利用有理數的運算是解題關鍵．3．（2023秋?平涼期末）某種袋裝奶粉標明標準凈含量為400克，現抽檢其中8袋，并形成了如下質量檢驗記錄（“+”表示超出標準凈含量，“﹣”表示不足標準凈含量）：編號12345678差值（克）+6+4+5﹣4+7﹣2﹣5+3根據以上檢驗記錄表，解答下列問題：（1）凈含量最接近標準凈含量的奶粉袋編號為；（2）凈含量最多的比最少的袋裝奶粉多克；（3）求這8袋奶粉的總凈含量．【分析】（1）比較差值中，誰的絕對值小，誰最接近標準凈含量；（2）差值中最大正值與最小負值的差便是結果；（3）先算出8個差值的總和，再算8袋標準凈含量的總和，最后相加即可．【解答】解：（1）|+6|＝6，|+4|＝4，|+5|＝5，|﹣4|＝4，|+7|＝7，|﹣2|＝2，|﹣5|＝5，|+3|＝3，編號6：|﹣2|＝2最小，故答案為：6；（2）|+7|+|﹣5|＝12（克），故答案為：12；（3）（+6）+（+4）+（+5）+（﹣4）+（+7）+（﹣2）+（﹣5）+（+3）＝14（克），400×8＝3200（克），3200+14＝3214（克），答：這8袋奶粉的總凈含量3214克．【點評】本題考查了有理數的混合運算和正負數表示的意義，關鍵用正負數表示的意義來解決問題．4．（2023秋?城固縣期中）某工廠修建了一個倉庫，聘請工人用5天時間對該倉庫的墻面進行了粉刷，預計每天粉刷50平方米，實際粉刷的面積和預計的有所出入，實際粉刷情況如下表：（超過50m2記為正，少于50m2記為負）時間第1天第2天第3天第4天第5天粉刷面積（m2）﹣2+3+5﹣1.5+2.5（1）工人粉刷墻面最多的一天比最少的一天多粉刷多少平方米？（2）這5天一共粉刷墻面多少平方米？（3）在結算工錢時，有以下兩種方案：方案一：按每天600元結算；方案二：按粉刷面積，每平方米12元結算，該工廠選擇哪種方案結算比較省錢？【分析】（1）根據表格中的數據可得出粉刷最多的是第3天，最少的一天是第1天，再作差即可；（2）根據題意列出有理數混合運算的式子，再進行計算即可；（3）分別算出兩種方案結算時需要的錢數，再比較大小即可．【解答】解：（1）∵表格中的數據可得出粉刷最多的是第3天，最少的一天是第一天，∴5﹣（﹣2）＝7（平方米）．答：工人粉刷墻面最多的一天比最少的一天多粉刷7平方米；（2）50×5+（﹣2+3+5﹣1.5+2.5）＝250+7＝257（平方米）．答：這5天一共粉刷墻面257平方米；（3）方案一：按每天600元結算，5天需要的錢數是：600×5＝3000（元）；方案二：按粉刷面積，每平方米12元結算，5天需要的錢數是：257×12＝3084（元），∵3000＜3084，∴選擇第一種方案結算比較省錢．【點評】本題考查的是有理數的混合運算、正數與負數，熟知正數與負數表示的意義是解題的關鍵．5．（2023秋?鎮海區校級期中）某水果店以每箱90元的價格從水果批發市場購進20箱櫻桃，若以每箱凈重5千克為標準，超過的千克數記為正數，不足的千克數記為負數，稱重的記錄如表：與標準重量的差值（單位：千克）﹣0.5﹣0.2500.20.250.5箱數2245n3（1）求n的值及這20箱櫻桃的總重量；（2）該水果店第一天以每千克25元的價格銷售了這批櫻桃的70%，第二天因為害怕剩余櫻桃腐爛，決定降價把剩余的櫻桃以第一天零售價的60%全部售出．水果店在銷售這批櫻桃過程中是盈利還是虧損，盈利或虧損多少元？【分析】（1）由20箱櫻桃及表格可得n＝20﹣2﹣2﹣4﹣5﹣3＝4；根據表格數據可得櫻桃的總重量為2×（﹣0.5）+2×（﹣0.25）+0×4+0.2×5+0.25×4+0.5×3+20×5＝102（千克）；（2）用銷售額減去進價即可得到答案．【解答】解：（1）n＝20﹣2﹣2﹣4﹣5﹣3＝4；2×（﹣0.5）+2×（﹣0.25）+0×4+0.2×5+0.25×4+0.5×3+20×5＝﹣1﹣0.5+0+1+1+1.5+100＝102（千克），∴n的值為4，這20箱櫻桃的總重量是102千克；（2）水果店在銷售這批櫻桃過程中盈利，理由如下：25×102×70%+25×60%×102×（1﹣70%）﹣90×20＝1785+459﹣1800＝444（元），答：水果店在銷售這批櫻桃過程中盈利444元．【點評】本題考查有理數混合運算的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出算式．6．（2023秋?寶應縣期中）在某次抗險救災中，消防官兵的沖鋒舟沿東西方向的河流營救災民，早晨從A地出發，晚上到達B地，約定向東為正方向，當天的航行路程記錄如下（單位：km）：+14、﹣9、+8、﹣7、+13、﹣6、+10、﹣5．（1）通過計算說明：B地在A地的（選填“東邊”或“西邊”）方向，與A地相距千米．（2）救災過程中，最遠處離出發點A是km；（3）若沖鋒舟每千米耗油0.5L，油箱容量為29L，求途中還需補充多少升油？【分析】（1）對當天的行駛路程求和后，根據結果的符號和絕對值可確定此題的結果；（2）逐一求出每次行程后離A的距離即可；（3）用該沖鋒舟每千米耗油量乘以所有行程絕對值的和的乘積，再減去該沖鋒舟油箱的容量即可．【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+10﹣5＝18＞0，∴B地在A地的東邊18千米，故答案為：東邊，18；（2）∵路程記錄中各點離出發點的距離分別為：14千米；14﹣9＝5（千米）；14﹣9+8＝13（千米）；14﹣9+8﹣7＝6（千米）；14﹣9+8﹣7+13＝19（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+10＝23（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+10﹣5＝18（千米）．又∵5＜13＜14＜18＜19＜23，∴最遠處離出發點23千米，故答案為：23；（3）∵0.5×（14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+10+|﹣5|）﹣29＝0.5×72﹣29＝36﹣29＝7（升），答：途中還需補充7升油．【點評】此題考查了有理數的正負數、絕對值及混合運算的應用能力，關鍵是能準確理解有理數的相關知識，根據實際問題正確列出算式并計算．7．（2023秋?潢川縣期中）小尚的媽媽在某玩具廠工作，廠里規定每周工作五天，該廠實行工資“日結算制”：每天的基本工資為200元，每天基本任務量為40個，若超額完成任務，則超出部分每個按7元獎勵；若未完成任務，則未完成部分每個按8元扣除．由于種種原因，實際每天生產量與計劃量相比有出入，下表是小尚媽媽某周的生產情況（超產記為正、減產記為負）：星期一二三四五增減產值+5﹣2﹣10+4（1）根據記錄的數據可知小尚媽媽星期三生產玩具個；本周實際生產玩具個；（2）小尚媽媽本周的工資總額是多少元？（3）若將工資“日結算制”改為“周結算制”，即每周的基本工資為1000元，每周基本任務為200個；若超額完成任務，則超出部分每個按7元獎勵；若未完成任務，則未完成部分每個按8元扣除，在此方式下小尚媽媽本周的工資與“日結算制”的工資哪一個更多？請說明理由．【分析】（1）根據記錄可知，小尚媽媽星期三生產玩具40﹣1＝39（個）；先把增減的量都相加，然后根據有理數的加法運算法則進行計算，再加上計劃生產量即可；（2）先計算每天的工資，再相加即可求解；（3）用基本工資加上獎勵工資即可求出“周結算制”工資，然后再比較即可．【解答】解：（1）小尚媽媽星期三生產玩具40﹣1＝39（個），本周實際生產玩具：40×5+（+5﹣2﹣1+0+4）＝206（個），故答案為：39；206；（2）200×5+（5+4）×7﹣（2+1）×8＝1000+63﹣24＝1039（元），故小尚媽媽本周的工資總額是1039元；（3）“周結算制”工資為：1000+（206﹣200）×7＝1042（元），1039＜1042，∴“周結算制”的工資更多．【點評】本題考查了正數與負數，有理數的混合運算，讀懂表格數據，根據題意準確列式是解題的關鍵．8．（2023秋?河東區期中）股民李明星期五買進某公司股票1000股，每股16.80元，如表為第2周周一至周五每日該股票的漲跌情況（單位：元）：星期一二三四五每日漲跌+0.4+0.45﹣0.1﹣0.25﹣0.4（1）星期三收盤時每股多少元？（2）這一周內此公司股票的最高價是每股多少元？最低價是每股多少元？（3）已知李明買進股票時付了成交額0.15%的手續費，賣出時付成交額0.15%的手續費和成交額0.1%的交易稅，如果李明在星期五收盤前將全部股票賣出，他的收益是多少元？【分析】（1）根據表格求出周三收盤時的股價即可；（2）求出本周每天的股價，即可做出判斷；（3）先算出剛買股票后去掉手續費剩余的錢是多少，然后再算出周五賣出股票后所剩的錢，最后再減去當時的錢，剩下的錢就是所收益的．【解答】解：（1）根據題意得16.80+0.4+0.45﹣0.1＝17.55（元），答：星期三收盤時每股17.55元；（2）星期一16.80+0.4＝17.2（元），星期二17.20+0.45＝17.65（元），星期三17.65﹣0.1＝17.55（元），星期四17.55﹣0.25＝17.30（元），星期五17.30﹣0.40＝16.9（元），答：這一周內此公司股票的最高價是每股17.65元，最低價是每股16.9元；（3）16.9×1000﹣16.8×1000﹣16.8×1000×0.15%﹣16.9×1000×0.15%﹣16.9×1000×0.1%＝100﹣50.55﹣16.9＝32.55（元），答：他的收益是32.55元．【點評】本題考查了正數和負數，利用有理數的加法計算出每股的價格是解題關鍵，注意收益等于交易額減成本，減交易費、手續費等于收益．9．（2023秋?東港區期中）某自行車廠一周計劃生產700輛自行車，平均每天生產自行車100輛，由于各種原因，實際每天生產量與計劃每天生產量相比有出入．如表是某周的自行車生產情況（超過計劃生產量為正，不足計劃生產量為負，單位：輛）：星期一二三四五六日增減+8﹣2﹣3+16﹣9+10﹣11（1）根據記錄可知前三天共生產自行車輛．（2）產量最多的一天比產量最少的一天多生產輛．（3）若該廠實行按生產的自行車數量的多少計工資，即計件工資制．如果每生產一輛自行車就可以得到人民幣60元，一周超額完成任務，每超一輛可多得15元；不足計劃數的，每少生產一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【分析】（1）利用表格中前三個的數據和加上100×3，進行求解即可；（2）表格中的最大數據減去最小數據，即可；（3）計算出生產自行車的總額，根據工資規則，進行計算即可．【解答】解：（1）100×3+（+8﹣2﹣3）＝303（輛）．故答案為：303；（2）+16﹣（﹣11）＝27（輛）．故答案為：27；（3）8﹣2﹣3+16﹣9+10﹣11＝9，（700+9）×60+（8+16+10）×15+（﹣2﹣3﹣9﹣11）×20＝42540+510﹣500＝42550（元）．答：該廠工人這一周的工資總額是42550元．【點評】本題考查的是有理數的混合運算及正數和負數，解題的關鍵是讀懂題意，正確的列出算式．10．（2022秋?大荔縣期末）某中學飯堂出售一種成本價為每塊3.5元的“桃李手撕面包”，售價為每塊6元，為了吸引顧客，于是張貼出了宣傳海報：“桃李手斯面包”大酬賓，第一周每塊4.5元，第二周每塊5元，第三周每塊5.5元，從第四周開始每塊恢復為6元．月末結算時，以每周銷售200塊為標準，多賣的記為正，少賣的記為負，這四周的銷售情況如表：周次一二三四銷售量2816﹣4﹣12（1）這四周中，最大銷售量比最小銷售量多塊，第三周銷售額是元，這四周的總盈利是元．（盈利＝銷售額﹣成本）（2）為了拓展學生消費群體，第四周后，該飯堂又決定實行兩種優惠方案：方案一：凡來飯堂購買該面包者，每塊面包附贈一包成本為0.3元的紙巾；方案二：凡一次性購買3塊以上者，其中3塊按照原價銷售，超過3塊以上的部分可直接打九折．若有人一次性購買5塊，且只能選擇其中一種方案購買，該飯堂更希望以哪種方案賣出？【分析】（1）根據正數和負數的定義進行求解，再由盈利＝銷售額﹣成本運算即可；（2）分別求出兩種方案的利潤，即可得解．【解答】解：（1）最大銷售量比最小銷售量多：28﹣（﹣12）＝40（塊），第三周的銷售量為：200+（﹣4）＝196（塊），則其銷售額為：196×5.5＝1078（元），四周的總盈利為：（4.5﹣3.5）×（200+28）+（5﹣3.5）×（200+16）+（5.5﹣3.5）×（200﹣4）+（6﹣3.5）×（200﹣12）＝228+324+392+470＝1414（元），故答案為：40，1078，1414；（2）方案一利潤為：（6﹣3.5﹣0.3）×5＝11（元），方案二利潤為：3×6+（5﹣3）×6×0.9﹣3.5×5＝11.3（元），則飯堂更希望方案二賣出．【點評】本題主要考查有理數的混合運算，正數與負數，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用．【題型2整式加減的實際應用】1．（2023秋?沂水縣期中）甲三角形的周長為3a2﹣6b+8，乙三角形的第一條邊長為a2﹣2b，第二條邊長為a2﹣3b，第三條邊比第二條邊短a2﹣2b﹣5．（1）求乙三角形第三條邊的長；（2）甲、乙兩三角形的周長哪個大？試說明理由；（3）a、b都為正整數，甲、乙兩三角形的周長在數軸上表示的點分別為A、B，若A、B兩點之間恰好有18個“整數點”（點表示的數為整數），求a的值．【分析】（1）根據第二條邊長為a2﹣3b，第三條邊比第二條邊短a2﹣2b﹣5．可求出第三條邊，（2）求出乙三角形的周長，再利用作差法，和非負數的意義做出判斷即可，（3）由A、B兩點之間恰好有18個“整數點”，可知A、B兩點所表示的數的差等于19，進而求出a的正整數值．【解答】解：（1）由題意得，（a2﹣3b）﹣（a2﹣2b﹣5）＝﹣b+5，答：乙三角形第三條邊的長為﹣b+5，（2）乙三角形的周長為：（a2﹣2b）+（a2﹣3b）+（﹣b+5）＝2a2﹣6b+5，甲、乙三角形的周長的差為：（3a2﹣6b+8）﹣（2a2﹣6b+5）＝a2+3＞0，∴甲三角形的周長較大，答：甲三角形的周長較大．（3）由題意得，a2+3＝19，∵a為正整數，∴a＝4，答：a的值為4．【點評】考查整式的加減，不等式的應用即解法，利用作差法和非負數的意義，是比較兩個代數式的值的大小常用方法．2．（2022秋?南潯區期末）小林房間窗戶的窗簾如圖1所示，它是由兩個半徑相同的四分之一圓組成的．（1）用代數式表示窗戶能射進陽光的面積．（結果保留π）（2）出于美觀考慮，小林重新將房間的窗簾設計成如圖2所示（由兩個半徑相同的四分之一圓和一個半圓組成），請用代數式表示該種設計下窗戶能射進陽光的面積．（結果保留π）（3）當a＝10時，比較哪種設計射進陽光的面積更大，大多少．（π取3）【分析】（1）長方形面積減去半圓的面積；（2）長方形的面積減去一個大半圓的面積和一個小半圓的面積；（3）利用（1）（2）的代數式，代入數據求值并比較大小．【解答】解：（1）窗戶能射進陽光的面積為：6a?12π×32＝6a?（2）重新設計后窗戶能射進陽光的面積為：6a?12π×22?12π×12＝6（3）當a＝10時，原來窗戶能射進陽光的面積為：6a?92重新設計后窗戶能射進陽光的面積為：6a?52重新設計后窗戶能射進陽光的面積﹣原來窗戶能射進陽光的面積＝（6a?52π）﹣（6a?＝2π≈6，∴設計后射進陽光的面積更大，大6．【點評】本題考查了列代數式，代數式的化簡求值，解題的關鍵是讀懂題意，列出正確的代數式．3．（2023秋?阿城區期中）某市有甲、乙兩種出租車，他們的服務質量相同．甲的計價方式為：當行駛路程不超過3千米時收費10元，每超過1千米則另外收費1.3元（不足1千米按1千米收費）；乙的計價方式為：當行駛路程不超過3千米時收費8元，每超過1千米則另外收費1.7元（不足1千米按1千米收費）．某人到該市出差，需要乘坐的路程為x千米（x＞3）．（1）用代數式表示此人分別乘坐甲、乙出租車各所需要的費用；（2）假設此人乘坐的路程為15.2千米，請問他乘坐哪種車較合算？【分析】（1）根據題意可以用代數式分別表示出兩種出租車的費用；（2）根據題意可以分別求得此人乘坐的路程為15.2千米，兩種車的費用，然后比較大小即可解答本題．【解答】解：（1）由題意可得，此人乘坐甲種出租車的費用為：10+（x﹣3）×1.3＝（1.3x+6.1）元，此人乘坐乙種出租車的費用為：8+（x﹣3）×1.7＝（1.7x+2.9）元；（2）由題意可得，甲種出租車的費用為：1.3×16+6.1＝26.9（元），乙種出租車的費用為：1.7×16+2.9＝30.1（元），∵26.9＜30.1，∴此人選擇甲種出租車．【點評】本題考查列代數式，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式．4．（2023秋?二道區校級期末）為弘揚傳統文化，力旺中學組織全校師生“扭秧歌”迎接新年．七年級某班主任老師為學生們準備秧歌服，他對比了“線下租用”和“線上購買”兩種方案：線下租用：租金30元每套，還需支付共100元的同城跑腿費．線上購買：價格35元每套，購買數量不超過30套時，原件銷售，購買數量超過30套時，超過的部分在原價的基礎上打八折銷售，無論購買數量，商家均提供包郵服務．（1）線下租用10套秧歌服，總費用為元；（2）設線上購買x套秧歌服，用含有x的代數式表示總費用；（3）班主任需要準備50套秧歌服，應選擇哪種方案比較合算？說明理由．【分析】（1）根據線下租金費用＝100元的同城跑腿費+套數×單價即可求解；（2）根據線上購買方案分兩種情況可以解答；（3）分別根據兩種方案計算費用，比較大小可解答．【解答】解：（1）100+10×30＝400（元），故答案為：400；（2）當0＜x≤30時，總費用＝35x；當x＞30時，總費用＝35×30+35×0.8（x﹣30）＝28x+210；（3）線下租用合算，理由如下：線下租用費用＝30×50+100＝1600（元），線上購買費用＝28×50+210＝1610（元），∵1600＜1610，∴線下租用合算．【點評】本題考查了列代數式，根據題意列出代數式是解題的關鍵．5．（2022秋?荊門期末）公司改革實行每月考核再獎勵的新制度，大大調動了員工的積極性.2013年一名員工每月獎金的變化如下表：（正數表示比前一月多的錢數，負數表示比前一月少的錢數）單位：（元）月份一月二月三月四月五月六月七月錢數變化+300+220﹣150﹣100+330+200+280（1）若2012年底12月份獎金為a元，用代數式表示2013年二月的獎金；（2）請判斷七個月以來這名員工得到獎金最多是哪個月？最少是哪個月？它們相差多少元？（3）若2013年這七個月中這名員工最多得到的獎金是2800元，請問2012年12月份他得到多少獎金？【分析】（1）根據表格及2012年12月的錢數表示出二月份的獎金即可；（2）分別表示出各月的獎金，得出最多與最少的月份，相減即可得到結果；（3）由（2）表示出的最多的錢數等于2800求出a的值，即可求出2012年12月份他得到獎金．【解答】解：（1）根據題意得：a+300+220＝a+520，則2013年二月的獎金為（a+520）元；（2）一月獎金：（a+300）元；二月獎金：（a+520）元；三月獎金：a+520﹣150＝a+370（元）；四月獎金：a+370﹣100＝a+270（元）；五月獎金：a+270+330＝a+600（元）；六月獎金：a+600+200＝a+800（元）；七月獎金：a+800+280：a+1080（元），最多的是七月份獎金為（a+1080）元；最少的是四月份獎金為（a+270）元，相差：（a+1080）﹣（a+270）＝810（元）；（3）由題意知a+1080＝2800，解得a＝1720，所以2012年12月份他得到獎金1720元．【點評】此題考查了整式加減，以及列代數式，弄清題意是解本題的關鍵．6．（2022秋?美蘭區校級期中）新學期，兩摞規格相同的數學課本整齊的疊放在講臺上，請根據圖中所給出的數據信息，解答下列問題：（1）每本書的高度為cm，課桌的高度為cm．（2）當課本數為x（本）時，請寫出同樣疊放在桌面上的一摞數學課本高出地面的距離（用含x的代數式表示）．（3）桌面上有55本與題（1）中相同的數學課本，整齊疊放成一擺，若有16名同學各從中取走1本，求余下的數學課本高出地面的距離．【分析】（1）讓高摞書距離地面的距離減去低摞書距離地面的距離后除以3即為每本數的高度；讓低摞書的高度減去3本書的高度即為課桌的高度；（2）高出地面的距離＝課桌的高度+x本書的高度，把相關數值代入即可；（3）把x＝55﹣18代入（2）得到的代數式求值即可．【解答】解：（1）書的厚度為：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；課桌的高度為：86.5﹣3×0.5＝85cm．故答案為：0.5；85；（2）∵x本書的高度為0.5x，課桌的高度為85，∴高出地面的距離為85+0.5x（cm）．故答案為：（85+0.5x）cm；（3）當x＝55﹣16＝39時，85+0.5x＝104.5cm．故余下的數學課本高出地面的距離是104.5cm．【點評】考查列代數式及代數式求值問題；得到課桌的高度及每本書的厚度是解決本題的突破點，也是解題的關鍵．7．（2023秋?深圳校級期中）如圖，長為y（cm），寬為x（cm）的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為5cm．（1）從圖可知，每個小長方形的較長邊的長是cm（用含y的代數式表示）．（2）求陰影A和陰影B的周長和（用含x的代數式表示）．（3）當y＝30時，用含x的代數式分別表示陰影A，B的面積，并比較A，B面積的大小．【分析】（1）觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為（y﹣15）cm；（2）由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為2（2x+5）cm；（3）利用長方形的面積公式分別求得陰影A，B的面積，將y＝30代入計算陰影A，B的面積，比較大小即可得出結論．【解答】解：（1）從圖可知，每個小長方形的較短邊的長是5cm，∴每個小長方形的較長邊的長是：y﹣5×3＝（y﹣15）cm．故答案為：（y﹣15）；（2）由圖形可知，陰影A的長為（y﹣15）cm，寬為（x﹣10）cm，陰影B的長為15cm，寬為x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，∴陰影A和陰影B的周長和為：2（y﹣15+x﹣10）+2（15+x﹣y+15）＝（4x+10）cm．（3）由（2）知：陰影A的長為（y﹣15）cm，寬為（x﹣10）cm，陰影B的長為15cm，寬為x﹣（y﹣15）＝（x﹣y+15）cm，則陰影A的面積為（y﹣15）（x﹣10）cm2，陰影B的面積為15（x﹣y+15）cm2，當y＝30時，陰影A的面積為15（x﹣10）cm2，陰影B的面積為15（x﹣15）cm2，∵15（x﹣10）﹣15（x﹣15）＝15x﹣150﹣15x+225＝75＞0，∴陰影A＞陰影B面積．【點評】本題主要考查了列代數式，求代數式的值，矩形的周長與面積，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．8．（2022秋?東臺市期中）民諺有云：“不到廬山辜負目，不食螃蟹辜負腹．”，又到了食蟹的好季節啦！某經銷商去水產批發市場采購太湖蟹，他看中了A、B兩家的某種品質相近的太湖蟹．零售價都為120元/千克，批發價各不相同．A家規定：當批發數量不超過100千克時，所購蟹均按零售價的92%優惠；當批發數量超過100千克但不超過200千克時，所購蟹均按零售價的90%優惠；當批發量超過200千克時，所購蟹均按零售價的88%優惠．B家的規定如下表：數量范圍（千克）0～50部分（含50）50以上～150部分（含150，不含50）150以上～250部分（含250，不含150）250以上部分（不含250）價格（元）零售價的95%零售價的85%零售價的75%零售價的70%（1）如果他批發80千克太湖蟹，則他在A家批發需要元，在B家批發需要元；（2）如果他批發x千克太湖蟹（150＜x＜200），則他在A家批發需要元，在B家批發需要元（用含x的代數式表示）；（3）現在他要批發180千克太湖蟹，你能幫助他選擇在哪家批發更優惠嗎？請說明理由．【分析】（1）根據A、B兩家的優惠辦法分別求出兩家購買需要的費用就可以了．（2）根據題意列出式子分別表示出購買x千克太湖蟹所相應的費用就可以了．（3）當x＝180分別代入（2）的表示A、B兩家費用的兩個式子，然后再比較其大小就可以．【解答】解：（1）由題意，得：A：80×120×92%＝8832元，B：50×120×95%+30×120×85%＝8760元．（2）由題意，得A：120×90%x＝108x，B：50×120×95%+100×120×85%+（x﹣150）×120×75%＝90x+2400．（3）選擇在B家批發更優惠理由：A：108×180＝19440B：90×180+2400＝1860019440＞18600∴選擇在B家批發更優惠．故答案為：（1）8832；8760（2）108x，90x+2400【點評】本題考查代數式問題，關鍵是根據列代數式和求代數式的值以及數學實際問題中的方案設計及實惠問題解答．9．（2023秋?婁底期中）某商場銷售一種西裝和領帶，西裝每套定價800元，領帶每條定價100元．“國慶節”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優惠方案．方案一：買一套西裝送一條領帶；方案二：西裝和領帶都按定價的90%付款．現某客戶要到該商場購買西裝20套，領帶x條（x＞20）．（1）若該客戶按方案一購買，需付款元．（用含x的式子表示）若該客戶按方案二購買，需付款元．（用含x的式子表示）（2）若x＝30，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？（3）如果客戶購物時可以同時選擇兩種優惠方案，當x＝30時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．【分析】（1）根據兩種方案，利用西裝的費用+領帶的費用列代數式；（2）當x＝30時，分別求解兩方案的費用，即可求解；（3）根據x＝30可列出更為省錢的方案，列式計算可求解．【解答】解：（1）方案一費用：800×20+100×（x﹣20）＝（100x+14000）元，方案二費用：800×20×90%+100x×90%＝（90x+14400）元，故答案為：（100x+14000）；（90x+14400）；（2）當x＝30時，方案一費用：100×30+14000＝17000（元）；方案二費用：90×30+14400＝17100（元）；∵17000＜17100，∴按方案一購買較為合算；（3）先按方案一購買20套西裝贈20條領帶，再按方案二購買10條領帶，800×20+100×90%×10＝16900（元），故此方案需要付款16900元．【點評】本題考查列代數式，求代數式的值，根據題意列代數式是解題的關鍵．10．（2022秋?渠縣校級期末）某單位在五月份準備組織部分員工到北京旅游，現聯系了甲、乙兩家旅行社，兩家旅行社報價均為2000元/人，兩家旅行社同時都對10人以上的團體推出了優惠舉措：甲旅行社對每位員工七五折優惠；而乙旅行社是免去一位帶隊管理員工的費用，其余員工八折優惠．（1）如果設參加旅游的員工共有a（a＞10）人，則甲旅行社的費用為元，乙旅行社的費用為元；（用含a的代數式表示，并化簡．）（2）假如這個單位現組織包括管理員工在內的共20名員工到北京旅游，該單位選擇哪一家旅行社比較優惠？請說明理由．（3）如果計劃在五月份外出旅游七天，設最中間一天的日期為a，則這七天的日期之和為．（用含a的代數式表示，并化簡．）（4）假如這七天的日期之和為63的倍數，則他們可能于五月幾號出發？（寫出所有符合條件的可能性，并寫出簡單的計算過程．）【分析】（1）由題意得，甲旅行社的費用＝2000×0.75a；乙旅行社的費用＝2000×0.8（a﹣1），再對兩個式子進行化簡即可；（2）將a＝20代入（1）中的代數式，比較費用較少的比較優惠；（3）設最中間一天的日期為a，分別用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可；根據前面求得七天的日期之和的求得最中間的那個日期，然后分別求得當為63的1倍，2倍，3倍時，日期分別是什么即可．【解答】解：（1）由題意得，甲旅行社的費用＝2000×0.75a＝1500a；乙旅行社的費用＝2000×0.8（a﹣1）＝1600a﹣1600；故答案為1500a．（1600a﹣1600）．（2）將a＝20代入得，甲旅行社的費用＝1500×20＝30000（元）；乙旅行社的費用＝1600×20﹣1600＝30400（元）∵30000＜30400元∴甲旅行社更優惠；（3）設最中間一天的日期為a，則這七天分別為：a﹣3，a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2，a+3∴這七天的日期之和＝（a﹣3）+（a﹣2）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a+2）+（a+3）＝7a（4）①設這七天的日期和是63，則7a＝63，a＝9，所以a﹣3＝6，即6號出發；②設這七天的日期和是63的2倍，即126，則7a＝126，a＝18，所以a﹣3＝15，即15號出發；③設這七天的日期和是63的3倍，即189，則7a＝189，a＝27，所以a﹣3＝24，即24號出發；所以他們可能于五月6號或15號或24號出發．【點評】解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系．【題型3一元一次方程的實際應用】1．（2023秋?慶陽期末）慶陽市把足球運球作為中考體育考試選考項目，而足球標志桿是足球運球項目的主要道具，足球標志桿分為底座和桿兩部分（如圖），某學校欲購買一批足球標志桿供同學們練習使用．（1）第一次購買了25個底座和40根桿（桿容易斷，所以購買的多），底座的單價比桿的單價多5元，共花費了450元，本次購買底座和桿的單價各是多少元？（2）第二次又購買了底座和桿共計80個（根），且（1）中底座和桿的單價分別下降了30%和20%，第二次按變化后的價格購買，共花費了380元，第二次購買底座和桿各是多少？【分析】（1）設第一次購買桿的單價是x元，則底座的單價是（x+5）元，利用總價＝單價×數量，可列出關于x的一元一次方程，解之可求出第一次購買桿的單價，再將其代入（x+5）中，可求出第一次購買底座的單價；（2）設第二次購買底座y個，則購買桿（80﹣y）根，利用總價＝單價×數量，可列出關于y的一元一次方程，解之可求出第二次購買底座的數量，再將其代入（80﹣y）中，可求出第二次購買桿的數量．【解答】解：（1）設第一次購買桿的單價是x元，則底座的單價是（x+5）元，根據題意得：40x+25（x+5）＝450，解得：x＝5，∴x+5＝5+5＝10（元）．答：第一次購買底座的單價是10元，桿的單價是5元；（2）設第二次購買底座y個，則購買桿（80﹣y）根，根據題意得：10×（1﹣30%）y+5×（1﹣20%）（80﹣y）＝380，解得：y＝20，∴80﹣y＝80﹣20＝60（根）．答：第二次購買底座20個，桿60根．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．2．（2023秋?涼州區校級期末）列一元一次方程解決實際問題（兩問均需用方程求解）第19屆亞洲夏季運動會于2023年9月23日在杭州舉行，象征杭州三大世界文化遺產的吉祥物“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”通過不同色彩、不同紋飾向世界講述“江南憶”的美麗故事．現有工廠生產吉祥物的盲盒，分為A、B兩種包裝，該工廠共有1000名工人．（1）若該工廠生產盲盒A的人數比生產盲盒B的人數的2倍少200人，請求出生產盲盒A的工人人數；（2）為了促銷，工廠按商家要求生產盲盒大禮包，該大禮包由2個盲盒A和3個盲盒B組成．已知每個工人平均每天可以生產20個盲盒A或10個盲盒B，且每天只能生產一種包裝的盲盒．該工廠應該安排多少名工人生產盲盒A，多少名工人生產盲盒B才能使每天生產的盲盒正好配套？【分析】（1）設生產盲盒B的工人人數為x人，則生產盲盒A的工人人數為（2x﹣200）人，根據該工廠共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；（2）設安排m人生產盲盒A，則安排（1000﹣m）人生產盲盒B，根據盲盒大禮包由2個盲盒A和3個盲盒B組成．列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）設生產盲盒B的工人人數為x人，則生產盲盒A的工人人數為（2x﹣200）人，由題意得：（2x﹣200）+x＝1000，解得：x＝400，∴2x﹣200＝2×400﹣200＝600，答：生產盲盒A的工人人數為600人；（2）設安排m人生產盲盒A，則安排（1000﹣m）人生產盲盒B，由題意得：3×20m＝2×10（1000﹣m），解得：m＝250，∴1000﹣m＝1000﹣250＝750，答：該工廠應該安排250名工人生產盲盒A，750名工人生產盲盒B才能使每天生產的盲盒正好配套．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．3．（2023秋?弋陽縣期末）一項工程需要甲、乙兩隊完成，已知甲隊單獨完成需要48天，乙隊單獨完成需要60天．甲隊先做12天，然后甲、乙兩隊合作完成剩下的工作．（1）甲、乙兩隊合作還需要多少天完成此項工作？（2）已知甲隊每天的勞務費比乙隊多30元，完成這項工程共需支付勞務費7200元．則甲、乙兩隊每天的勞務費各是多少元？【分析】（1）設甲、乙兩隊合作還需要x天完成此項工作，根據甲隊單獨完成需要48天，乙隊單獨完成需要60天．甲隊先做12天，然后甲、乙兩隊合作完成剩下的工作．列出一元一次方程，解方程即可；（2）設甲隊每天的勞務費是y元，則乙隊每天的勞務費是（y﹣30）元，根據完成這項工程共需支付勞務費7200元．列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）設甲、乙兩隊合作還需要x天完成此項工作，由題意得：148（12+x）+1解得：x＝20，答：甲、乙兩隊合作還需要20天完成此項工作；（2）設甲隊每天的勞務費是y元，則乙隊每天的勞務費是（y﹣30）元，由題意得：（12+20）y+20（y﹣30）＝7200，解得：y＝150，∴y﹣30＝150﹣30＝120，答：甲隊每天的勞務費是150元，乙隊每天的勞務費是120元．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．4．（2023秋?西和縣期末）目前，成都市城市“一戶一表”居民用電實行階梯電價，具體收費標準如下．一戶居民一個月用電量（單位：度）電價（單位：元/度）第1檔不超過180度的部分0.5第2檔超過180度的部分0.6（1）若我市某戶12月用電量為200度，該戶應交電費元．（2）若我市某戶12月用電量為x度，請用含x的代數式分別表示0≤x≤180和x＞180時該戶12月應交電費多少元．（3）若我市某戶12月應交電費126元，則該戶12月用電量為多少度？【分析】（1）根據總價＝單價×數量結合階梯電價收費標準，即可求出結論；（2）分0≤x≤180及x＞180兩種情況，用含x的代數式表示出該戶12月應交電費；（3）由（1）可得出x＞200，結合（2）的結論即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：（1）0.5×180+0.6×（200﹣180），＝0.5×180+0.6×20，＝90+12，＝102（元）．故答案為：102．（2）當0≤x≤180時，該戶12月應交電費為0.5x元；當x＞180時，該戶12月應交電費為0.5×180+0.6（x﹣180），＝90+0.6x﹣108，＝（0.6x﹣18）（元）．（3）∵102＜126，∴x＞200，∴0.6x﹣18＝126，∴x＝240．答：該戶12月用電量為240度．【點評】本題考查了一元一次方程的應用、列代數式以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）根據各數量之間的關系，列式計算；（2）根據各數量之間的關系，用含x的代數式表示出該戶12月應交電費；（3）找準等量關系，正確列出一元一次方程．5．（2023秋?光山縣校級期末）某學校七年級學生組織步行到郊外旅行，701班學生組成前隊，速度為每小時4千米，702班同學組成后隊，速度為每小時6千米，前隊出發1小時后，后隊才出發，同時，后隊派出一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不斷地來回進行聯絡，騎車的速度是每小時12千米（隊伍長度忽略不計）．（1）后隊出發后多長時間可以追上前隊？（2）后隊剛好追上前隊時，聯絡員共騎行了多少千米？（3）聯絡員出發到他第一次追上前隊的過程中，何時聯絡員離前隊的距離與他離后隊的距離相等？【分析】（1）根據后隊追上前隊所走路程一樣可列方程；（2）當后隊剛好追上前隊時，聯絡員共騎行的時間為后隊剛好追上前隊的時間，根據（1）追及時間可知，聯絡員共騎行的距離也即可求出；（3）用前面隊伍所走的路程減去聯絡員所騎行的距離等于聯絡員騎行的距離減去后面隊伍所走的路程，列式求解即可．【解答】解：（1）設后隊追上前隊所用時間為t小時，則前隊被追上時所走時間為（t+1）小時，根據“路程＝時間×速度”，兩隊伍追上時路程一樣，可列方程為：6t＝4（t+1）解得，t＝2．∴后隊出發后兩小時可以追上前隊．（2）∵當后隊剛好追上前隊時，聯絡員共騎行的時間等于后隊剛好追上前隊的時間，t＝2，∴聯絡員騎行距離為：s＝vt＝12×2＝24（km）．∴聯絡員共騎行了24km．（3）設聯絡員出發后t小時與前隊和后隊的距離相等為skm，聯絡員出發后t小時，前隊所走的路程為：4（t+1）km；后隊所走的路程為：6tkm；聯絡員所走的路程為：12tkm，聯絡員與前隊距離為：4（t+1）﹣12t；聯絡員與后隊距離為：12t﹣6t，根據聯絡員與前后隊距離相等得到，s＝12t﹣6t＝4（t+1）﹣12t，解得：t=2∴聯絡員騎行27【點評】本題主要考查一元一次方程的實際應用，解答本題的關鍵在于找到題目中的等量關系列式求解．6．（2023秋?瀘縣校級期末）某商場從廠家購進了A，B兩種品牌足球共80個，已知購進A品牌足球比購進B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每個進價是40元，B品牌足球每個進價是60元．（1）購進A，B兩種品牌足球各多少個？（2）在銷售過程中，A品牌足球每個售價是80元，很快全部售出；B品牌足球每個按進價加價25%銷售，售出一部分后出現滯銷，商場決定打九折出售剩余的B品牌足球，兩種品牌足球全部售出后共獲利1400元，有多少個B品牌足球打九折出售？【分析】（1）設購進A種品牌足球x個，那么購進B種品牌足球（80﹣x）個，根據題意列出方程解答即可．（2）設有y個B品牌足球打九折出售，根據題意列出方程解答即可．【解答】解：（1）設購進A種品牌足球x個，那么購進B種品牌足球（80﹣x）個，根據題意得：60（80﹣x）﹣40x＝2800，4800﹣60x﹣40x＝2800，﹣60x﹣40x＝2800﹣4800，﹣100x＝﹣2000，x＝20，80﹣20＝60，答：購進A種品牌足球20個，購進B種品牌足球60個．（2）設有y個B品牌足球打九折出售，根據題意得：20（80﹣40）+[60（1+25%）﹣60]（60﹣y）+[60（1+25%）×0.9﹣60]y＝1400整理得：800+15（60﹣y）+7.5y＝1400，﹣7.5y＝﹣300，y＝40，答：有40個B品牌足球打九折出售．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，列出方程并解答．7．（2022秋?劍閣縣期末）某工廠需將產品分別運送至不同的倉庫，為節約運費，考察了甲、乙兩家運輸公司．甲、乙公司的收費標準如下表：運輸公司起步價（單位：元）里程價（單位：元/千米）甲10005乙50010（1）倉庫A距離該工廠120千米，應選擇哪家運輸公司？（2）倉庫B，C，D與該工廠的距離分別為60千米、100千米、200千米，運送到哪個倉庫時，可以從甲、乙兩家運輸公司任選一家？（3）根據以上信息，你能給工廠提供選擇甲、乙公司的標準嗎？【分析】（1）由收費方式分別求出甲、乙運輸公司的收費，然后再比較大小即可．（2）設當運輸距離為x千米時，兩家公司的收費相同，由兩家公司的收費方式列方程，然后解出即可；（3）根據（1）、（2）可以得出結論．【解答】解：（1）甲運輸公司收費為1000+5×120＝1600（元），乙運輸公司收費為500+10×120＝1700（元）．∵1600＜1700，∴該工廠選擇甲運輸公司更劃算；（2）設當運輸距離為x千米時，甲、乙兩家運輸公司收費相同，根據題意，得1000+5x＝500+10x，解得x＝100，答：運送到C倉庫時，甲、乙兩家運輸公司收費相同，可以任選一家；（3）當倉庫與工廠的距離大于100千米時，選擇甲公司；當倉庫與工廠的距離等于100千米時，可以從甲、乙公司中任選一家；當倉庫與工廠的距離小于100千米時，選擇乙公司．【點評】本題考查了一元一次方程的實際應用等知識點，依據題意，正確建立方程是解題關鍵．8．（2023秋?弋陽縣期末）某書店預購進A、B兩類學生書刊．若購買300本A書刊和200本B書刊共需要4400元，其中A、B兩類書刊的進價和售價如下表：AB進價（元/本）xx+2售價（元/本）1520（1）求A、B兩類書刊的進價各是多少元？（2）若書店第一次購進A、B兩類書刊共600本，全部售完后總利潤（利潤＝售價﹣進價）為4950元，求該書店第一次分別購進A、B兩類書刊各多少本？（3）若第二次購進時兩類書刊的進價都比上次優惠了10%，購進同樣數量的兩類書刊，再次銷售時書店對A類書刊售價不變，B類書刊進行打折出售，全部售完后總利潤比上次還多30元，求B類書刊打了幾折？【分析】（1）根據購買300本A書刊和200本B書刊共需要4400元列方程，解方程即可求解；（2）設A類書刊購進m本，則B類書刊購進（600﹣m）本，由全部售完后總利潤（利潤＝售價﹣進價）為4950元可列方程，解方程結可求解；（3）設B類書刊打了a折，分別求解600本書的進價和售價，根據600本書的利潤列方程，解方程即可求解．【解答】（1）由題意得：300x+200（x+2）＝4400，解得：x＝8．∴x+2＝8+2＝10（元）．答：A類書刊的進價是8元，B類書刊的進價是10元．（2）設A類書刊購進m本，則B類書刊購進（600﹣m）本，由題意得：（15﹣8）m+（20﹣10）（600﹣m）＝4950，解得：m＝350．∴600﹣m＝600﹣350＝250（本）．答：A類書刊購進350本，B類書刊購進250本．（3）設B類書刊打了a折，600本書的售價為：350×15×+250×20×a10=進價為：（350×8×+250×10）×（1﹣10%）＝4770（元）．利潤為：500a+5250﹣4770＝4950+30．解得：a＝9答：B類書刊打了9折．【點評】本題主要考查一元一次方程的應用，找準等量關系是解題的關鍵．9．（2023秋?合川區期末）學校計劃組織七年級600名師生租車進行研學活動．現已知租車公司有32座和45座兩種客車，1輛32座客車和2輛45座客車的租金共為2800元，每輛45座客車的租金剛好為每輛32座客車租金的1.25倍．（1）求每輛32座客車和每輛45座客車的租金各為多少元？（2）若單獨租用這兩種車輛中的一種（全體師生都能乘坐，只有1輛車可能未坐滿），各需多少元？（3）若學校同時租用這兩種客車共14輛（全體師生都能乘坐，只有1輛車可能未坐滿），請直接寫出兩種客車各多少輛時，租車費用最少，并求出此時的租車費用．【分析】（1）設每輛32座客車的租金為x元，則每輛45座客車的租金為1.25x元，根據1輛32座客車和2輛45座客車的租金共為2800元，可列出關于x的一元一次方程，解之可得出每輛32座客車的租金，再將其代入1.25x中，即可求出每輛45座客車的租金；（2）分別求出單獨租用這兩種車輛中的一種所需輛數，再利用總租金＝每輛客車的租金×租車數量，即可求出結論；（3）根據師生總數及同時租用這兩種客車共14輛，找出各組成方案，再求出各方案所需租車費用，比較后即可得出結論（此處無法使用一元一次不等式，一元一次不等式是七下的內容）．【解答】解：（1）設每輛32座客車的租金為x元，則每輛45座客車的租金為1.25x元，根據題意得：x+2×1.25x＝2800．解得：x＝800，∴1.25x＝1.25×800＝1000（元）．答：每輛32座客車的租金為800元，每輛45座客車的租金為1000元；（2）∵600÷32＝18.75（輛），18+1＝19（輛），∴若單獨租用32座客車需19輛，所需租金為800×19＝15200（元），∵600÷45＝1313∴若單獨租用45座客車需14輛，所需租金為1000×14＝14000（元）．答：若單獨租用32座客車需15200元，若單獨租用45座客車需14000元；（3）當租用14輛45座客車時，所需租車費用為1000×14＝14000（元）；當租用13輛45座客車時，剩余師生600﹣45×13＝15（人），∵15＜32，∴可以再租用1輛32座客車，所需租車費用為1000×13+800×1＝13800（元）；當租用12輛45座客車時，剩余師生600﹣45×12＝60（人），∵60＜32×2＝64，∴可以再租用2輛32座客車，所需租車費用為1000×12+800×2＝13600（元）；當租用11輛45座客車時，剩余師生600﹣45×11＝105（人），∵105＞32×3＝96，∴再租用3輛32座的客車無法乘載剩余師生．∵14000＞13800＞13600，∴租用2輛32座客車和12輛45座客車時，租車費用最少，此時租車費用為13600元．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）根據各數量之間的關系，列式計算；（3）根據師生總數及租車總數量，找出符合題意的租車方案．10．（2023秋?普寧市期末）春節即將來臨，甲、乙兩公司準備組織退休職工到某風景區游玩．甲、乙兩公司共102人，其中甲公司的退休職工人數在51﹣100人之間，乙公司的退休職工人數在1﹣50人之間．經了解，該風景區的門票價格如下表：數量（張）1﹣5051﹣100101張及以上單價（元/張）60元50元40元如果兩公司分別單獨購買門票，一共應付5500元．（1）如果甲、乙兩公司聯合起來購買門票，那么比各自購買門票共可以節省多少錢？（2）甲、乙兩公司各有多少名退休職工準備參加游玩？（3）如果甲公司有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，小明由此設計了下面三種購票方案：①兩公司分別單獨購買門票；②兩公司聯合購買90張門票；③兩公司聯合購買101張門票，請你通過計算，選出最省錢的購票方案．【分析】（1）運用分別購票的費用和﹣聯合購票的費用就可以得出結論；（2）設甲單位有退休職工x人，則乙單位有退休職工（102﹣x）人，根據“如果兩單位分別單獨購買門票，一共應付5500元”建立方程求出其解即可；（3）分別求出三種方案的付費，比較即可．【解答】解：（1）甲、乙兩公司聯合起來購買門票的費用為：102×40＝4080（元），∵5500﹣4080＝1420（元），答：甲、乙兩公司聯合起來購買門票，比各自購買門票共可以節省1420元錢；（2）設甲公司有x名退休職工準備參加游玩，則乙公司有（102﹣x）名退休職工準備參加游玩，根據題意得：50x+60（102﹣x）＝5500，解得x＝62，此時102﹣62＝40（名），答：甲公司有62名退休職工準備參加游玩，乙公司有40名退休職工準備參加游玩；（3）根據題意知，甲公司有62﹣12＝50（名）退休職工準備參加游玩，方案①：50×60+40×60＝5400（元）；方案②：90×50＝4500（元）；方案③：101×40＝4040（元）；∵5400＞4500＞4040，∴按方案③購買門票更省錢．【點評】本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一元一次方程的解法的運用，有理數大小比較的運用，設計方案的運用，解答時建立方程求出各單位人數是關鍵．【題型4與數軸有關的應用問題】1．（2022秋?汾陽市期末）綜合與探究如圖，數軸上有一點O從原點開始出發，先向左移動3cm（1個單位長度表示1cm）到達A點，再向左移動2cm到達B點，然后向右移動8cm到達C點．（1）請在題中所給的數軸上表示出A，B，C三點的位置．（2）把點C到點A的距離記為CA，則CA＝cm；若數軸上的點M表示的數為x，點N表示的數為y（x＜y），則MN＝cm．（3）若點B以每秒2cm的速度向左移動，同時點A，C分別以每秒3cm、8cm的速度向右移動，設移動時間為t（t＞0）秒，試探究CA﹣AB的值是否會隨著t的變化而變化，請說明理由．【分析】（1）根據運動規律“左減右加”，在數軸上表示出A、B、C三點的位置即可．（2）根據兩點的距離公式即可求解．（3）根據題意用含t的式子表示出CA和AB，再相減即可得到結論．【解答】解：（1）如圖，（2）由（1）可知點C表示的數為3，點A表示的數為﹣3，∴CA＝3﹣（﹣3）＝6（cm）；∵數軸上的點M表示的數為x，點N表示的數為y（x＜y），∴MN＝（y﹣x）cm．故答案為：6；（y﹣x）．（3）CA﹣AB的值不會隨著t的變化而變化，理由如下：∵點B以每秒2cm的速度向左移動，同時點A，C分別以每秒3cm、8cm的速度向右移動，∴點B表示的數為﹣5﹣2t，點A表示的數為﹣3+3t，點C表示的數為3+8t，∴CA＝3+8t﹣（﹣3+3t）＝5t+6，AB＝﹣3+3t﹣（﹣5﹣2t）＝5t+2，∴CA﹣AB＝5t+6﹣（5t+2）＝4，∴CA﹣AB的值不會隨著t的變化而變化．【點評】本題考查了數軸上兩點的距離、整式的加減，熟練掌握數軸上兩點間的距離公式是解題關鍵．2．（2023秋?鳳山縣期末）如圖，在數軸上點A表示的數是4，點B位于點A的左側，與點A的距離是10個單位長度．（1）求點B表示的數，并在數軸上將點B表示出來；（2）動點P從點B出發，沿著數軸的正方向，以每秒2個單位長度的速度運動，求經過多少秒，點P與點A的距離是2個單位長度？（3）在（2）的條件下，點P出發的同時，點Q從點A出發，沿著數軸的負方向，以每秒4個單位長度的速度運動．當點Q與點B的距離是6個單位長度時，直接寫出此時點P與點Q的距離．【分析】（1）由算式4﹣10求得點B表示的數是﹣6，在數軸上表示出點B即可；（2）設運動的時間是t秒，則點P表示的數是﹣6+2t，于是列方程得4﹣（﹣6+2t）＝2或﹣6+2t﹣4＝2，解方程求出t的值即可；（3）根據題意，點Q表示的數是4﹣4t，則4﹣4t﹣（﹣6）＝6或﹣6﹣（4﹣4t）＝6，求得t＝1或t＝4，再求出當t＝1時，點P和點Q表示的數分別為﹣4和0，則PQ＝4；當t＝4時，點P和點Q表示的數分別是2和﹣12，則PQ＝14．【解答】解：（1）∵4﹣10＝﹣6，∴點B表示的數是﹣6，如圖所示．（2）設運動的時間是t秒，則點P表示的數是﹣6+2t，根據題意得4﹣（﹣6+2t）＝2或﹣6+2t﹣4＝2，解得t＝4或t＝6，答：經過4秒或6秒，點P與點A的距離是2個單位長度．（3）根據題意，點Q表示的數是4﹣4t，∴4﹣4t﹣（﹣6）＝6或﹣6﹣（4﹣4t）＝6，解得t＝1或t＝4，∴經過1秒或4秒，點Q與點B的距離是6個單位長度，當t＝1時，﹣6+2t＝﹣6+2×1＝﹣4，4﹣4t＝4﹣4×1＝0，∴PQ＝0﹣（﹣4）＝4；當t＝4時，﹣6+2t＝﹣6+2×4＝2，4﹣4t＝4﹣4×4＝﹣12，∴PQ＝2﹣（﹣12）＝14，答：此時點P與點Q的距離是4個單位長度或14個單位長度．【點評】此題重點考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應用題、數軸上的動點問題的求解等知識與方法，正確地用代數式表示點P和點Q所對應的數是解題的關鍵．3．已知數軸上有A、B兩個點．（1）如圖1，若AB＝a，M是AB的中點，C為線段AB上的一點，且ACCB則AC＝，CB＝，MC＝（用含a的代數式表示）；（2）如圖2，若A、B、C三點對應的數分別為﹣40，﹣10，20．①當A、C兩點同時向左運動，同時B點向右運動，已知點A、B、C的速度分別為8個單位長度/秒、4個單位長度/秒、2個單位長度/秒，點M為線段AB的中點，點N為線段BC的中點，在B、C相遇前，在運動多少秒時恰好滿足：MB＝3BN．②現有動點P、Q都從C點出發，點P以每秒1個單位長度的速度向終點A移動；當點P移動到B點時，點Q才從C點出發，并以每秒3個單位長度的速度向左移動，且當點P到達A點時，點Q也停止移動（若設點P的運動時間為t）．當PQ兩點間的距離恰為18個單位時，求滿足條件的時間t值．【分析】（1）根據題意計算即可；（2）根據題意列方程即可得到結論；由點P、Q的運動規律找出點P、Q表示的數，分三種情況考慮，根據兩點間的距離公式結合PQ＝18即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：（1）∵AB＝a，C為線段AB上的一點，且ACCB∴AC=33+4AB=37a，CB=∵M是AB的中點，∴MC=12AB?37故答案為：37a，47a，1（2）①∵若A、B、C三點對應的數分別為﹣40，﹣10，20，∴AB＝BC＝30，設x秒時，C在B右邊時，恰好滿足MB＝3BN，∵BM=12（8x+4x+30），BN=12（30﹣4∴當MB＝3BN時，12（8x+4x+30）＝3×12（30﹣4x解得：x＝2，∴2秒時恰好滿足MB＝3BN；②點P表示的數為20﹣t，點Q表示的數為20﹣3（t﹣30），Ⅰ、當點P移動18秒時，點Q沒動，此時，PQ兩點間的距離恰為18個單位；Ⅱ、點Q在點P的右側，∴20﹣3（t﹣30）﹣（20﹣t）＝18，解得：t＝36，Ⅲ、當點Q在點P的左側，∴20﹣t﹣[20﹣3（t﹣30）]＝18，解得：t＝54；綜上所述：當t為18秒、36秒和54秒時，P、Q兩點相距18個單位長度．【點評】本題考查了一元一次方程的應用、數軸、兩點間的距離公式、絕對值以及偶次方的非負性，根據兩點間的距離公式結合點之間的關系列出一元一次方程是解題的關鍵，本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，細心仔細是得分的關鍵．4．（2023秋?南開區期末）已知數軸上點O表示的數是0，A，B兩點表示的數分別是a，b，且滿足|a+6|+|b﹣15|＝0．動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向點B運動，設運動時間為t秒，點P運動到點B時停止．（Ⅰ）填空：①a＝，b＝．②點P表示的數為（用含有t的式子表示）；③當t的值為時，點P停止運動．（Ⅱ）當點P在線段AO上運動時，若M為PA的中點，N為PO的中點，試判斷在點P運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化．如果發生變化，請說明理由，如果不發生變化，請求出線段MN的值．（Ⅲ）當點P運動到點O時，動點Q開始從點A出發，以每秒32個單位長度的速度在A，B兩點之間往返運動．動點P仍按照原來的速度運動，直至點P停止運動，點Q也停止運動．當P，Q兩點之間的距離為54時，直接寫出的【分析】（Ⅰ）①根據非負數的性質求解；②根據向右運動用加法列式表示；③根據“時間＝路程÷速度”計算；（Ⅱ）根據兩點之間的距離公式求解；（Ⅲ）根據兩點之間的距離公式求解．【解答】解：（Ⅰ）①由題意得：a＝﹣6，b＝15，故答案為：﹣6，15；②點P表示的數為：﹣6+t，故答案為：﹣6+t；③t＝15﹣（﹣6）＝21，故答案為：21；（Ⅱ）線段MN的長度不發生變化，為3；理由：M表示的數為：?6+(?6+t)2=?6+12t，N表示的數為：?6+t∴MN＝|（﹣6+12t（Ⅲ）當6≤t≤20時，|t?32（t﹣6）|解得：t＝15.5或t＝20.5（不合題意，舍去），當20＜t≤21，|15?32（t﹣20）﹣（﹣6+t）|解得：t＝20.9或t＝19.9（不合題意，舍去），所以當t＝15.5或20.9時，P、Q相距54【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找到相等關系是解題的關鍵．5．（2023秋?下城區校級期中）已知實數a，b，c在數軸上所對應的點分別為A，B，C，其中b是最小的正整數，且a，b，c滿足（c﹣4）2+|a+b|＝0．兩點之間的距離可用這兩點對應的字母表示，如：點A與點B之間的距離可表示為AB．（1）a＝，b＝，c＝；（2）點A，B，C開始在數軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B以每秒2個單位長度的速度向右運動，點C以每秒5個單位長度的速度向右運動，假設運動時間為1秒，則點B對應為，AB＝，BC＝（結果用含t的代數式表示）這種情況下，BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．（3）若A，C兩點的運動和（2）中保持不變，點B變為以每秒n（n＞0）個單位長度的速度向右運動，當t＝2時，AC＝3BC，求n的值．【分析】（1）b是最小的正整數，a，b，c滿足（c﹣4）2+|a+b|＝0，可得a、b、c；（2）分別寫出a、b、c對應的點的代數式，可得AB、BC，以BC﹣AB是否為常數判斷BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變；（3）t＝2，可得A、C兩點的坐標，以及B點坐標的代數式，根據AC＝3BC列式子，可得n的值．【解答】解：（1）∵b是最小的正整數，∴b＝1，∵（c﹣4）2+|a+b|＝0，∴c﹣4＝0，a+b＝0，解得：c＝4，a＝﹣1，故答案為：﹣1，1，4；（2）點B以每秒2個單位長度的速度向右運動，點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，點C以每秒5個單位長度的速度向右運動，∴運動t秒后，點B對應的點為（1+2t），點A對應的點為（﹣1﹣t），點C對應的點為（4+5t），∴AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝2+3t，BC＝4+5t﹣（1+2t）＝3+3t，BC﹣AB＝|3+3t﹣（2+3t）|＝1，∴這種情況下，BC﹣AB的值不會隨著時間t的變化而改變，BC﹣AB＝1，故答案為：1+2t，2+3t，3+3t；（3）t＝2，點A對應的點為﹣3，點C對應的點為14，點B變為以每秒n（n＞0）個單位長度的速度向右運動，∴點B對應的點為（1+2n），∵AC＝3BC，∴14﹣（﹣3）＝3[14﹣（1+2n）]，解得：n=11【點評】本題考查了實數與數軸，關鍵是準確寫出對應點坐標．6．（2023秋?雁塔區校級期中）如圖1，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AC＝2BC時，則稱點C是線段AB的內二倍分割點；如圖2，如果BC＝2AC時，則稱點C是線段BA的內二倍分割點．例如：如圖3，數軸上，點A、B、C、D分別表示數﹣1、2、1、0，則點C是線段AB的內二倍分割點，點D是線段BA內二倍分割點．（1）若M、N為數軸上兩點，點M所表示的數為﹣3，點N所表示的數為9．MN的內二倍分割點表示的數是；NM的內二倍分割點表示的數是．（2）數軸上，點A所表示的數為﹣20，點B所表示的數為10．點P從點B出發，以2個單位每秒的速度沿數軸向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒．①線段BP的長為；（用含t的式子表示）②求當t為何值時，P、A、B三個點中恰有一個點為其余兩點的內二倍分割點．【分析】（1）畫數軸分析，可求；（2）①點P從點B出發，以2個單位每秒的速度沿數軸向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒，求得線段BP的長，②分情況討論．【解答】解：（1）由題意得，MN＝12，MB＝2NB，點B是線段MN的內二倍分割點，即MN的內二倍分割點表示的數是5，NA＝2MA，點A是線段NM的內二倍分割點，即NM的內二倍分割點表示的數是1，故答案為：5，1；（2）①∵點P從點B出發，以2個單位每秒的速度沿數軸向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒，∴線段BP的長為2t，故答案為：2t，②當P是AB的內二倍分割點時，AP＝2BP，AB﹣BP＝2BP，30﹣2t＝2×2t，解得：t＝5，當P是BA的內二倍分割點時，BP＝2AP，BP＝2（AB﹣BP），2t＝2（30﹣2t），解得：t＝10，當A是BP的內二倍分割點時，BA＝2PA，BA＝2（PB﹣BA），30＝2（2t﹣30），解得：t＝22.5，當A是PB的內二倍分割點時，PA＝2BA，（PB﹣BA）＝2BA，2t﹣30＝2×30，解得：t＝45，∴t為5、10、22.5或45時，P、A、B三個點中恰有一個點為其余兩點的內二倍分割點．【點評】本題考查了實數與數軸的應用、解一元一