高考2013-2016全國卷《函數與導數》試題解析匯編在解題中常用的有關結論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，切線方程為(2)若可導函數在處取得極值，則。反之，不成立。(3)對于可導函數，不等式的解集決定函數的遞增（減）區間。(4)函數在區間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立(5)函數在區間I上不單調等價于在區間I上有極值，則可等價轉化為方程在區間I上有實根且為非二重根。（若為二次函數且I=R，則有）。(6)在區間I上無極值等價于在區間在上是單調函數，進而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則;若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設與的定義域的交集為D若D恒成立則有(10)若對、，恒成立，則.若對，，使得,則.若對，，使得，則.（11）已知在區間上的值域為A,，在區間上值域為B，若對,，使得=成立，則。(12)若三次函數f(x)有三個零點，則方程有兩個不等實根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式:①②③④⑤⑥1．(2013課標全國Ⅰ，理11)已知函數f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是()．A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]答案：D解析：由y＝|f(x)|的圖象知：①當x＞0時，y＝ax只有a≤0時，才能滿足|f(x)|≥ax，可排除B，C.②當x≤0時，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.當x＝0時，不等式為0≥0成立．當x＜0時，不等式等價于x－2≤a.∵x－2＜－2，∴a≥－2.綜上可知：a∈[－2,0]．2．(2013課標全國Ⅰ，理16)若函數f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖像關于直線x＝－2對稱，則f(x)的最大值為__________．解析：∵函數f(x)的圖像關于直線x＝－2對稱，∴f(x)滿足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.易知，f(x)在(－∞，－2－)上為增函數，在(－2－，－2)上為減函數，在(－2，－2＋)上為增函數，在(－2＋，＋∞)上為減函數．∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]＝(－8－)(8－)＝80－64＝16.f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]＝(－8＋)(8＋)＝80－64＝16.故f(x)的最大值為16.3．[2014·全國卷]曲線y＝xex－1在點(1，1)處切線的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1C[解析]因為y′＝(xex－1)′＝ex－1＋xex－1，所以y＝xex－1在點(1，1)處的導數是y′|x＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲線y＝xex－1在點(1，1)處的切線斜率是2.4．[2014·全國卷]函數y＝f(x)的圖像與函數y＝g(x)的圖像關于直線x＋y＝0對稱，則y＝f(x)的反函數是()A．y＝g(x)B．y＝g(－x)C．y＝－g(x)D．y＝－g(－x)D[解析]設(x0，y0)為函數y＝f(x)的圖像上任意一點，其關于直線x＋y＝0的對稱點為(－y0，－x0)．根據題意，點(－y0，－x0)在函數y＝g(x)的圖像上，又點(x0，y0)關于直線y＝x的對稱點為(y0，x0)，且(y0，x0)與(－y0，－x0)關于原點對稱，所以函數y＝f(x)的反函數的圖像與函數y＝g(x)的圖像關于原點對稱，所以－y＝g(－x)，即y＝－g(－x)．5.設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】6.設函數.若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】7．設函數f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整數x0，使得f(x0)＜0，則a的取值范圍是A.eq\b\lc\[\rc\)(－\f(3,2e)，1)B.eq\b\lc\[\rc\)(－\f(3,2e)，\f(3,4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\f(3,2e)，\f(3,4))D.eq\b\lc\[\rc\)(\f(3,2e)，1)8.設函數f(x)=，則f(－2)+f(log212)=3（B）6（C）9（D）12答案：C9.如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，∠BOP=x。將動點P到AB兩點距離之和表示為x的函數f（x），則f（x）的圖像大致為答案:B10．(2013湖北，理10)已知a為常數，函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點x1，x2(x1＜x2)，則()．A．f(x1)＞0，f(x2)＞B．f(x1)＜0，f(x2)＜C．f(x1)＞0，f(x2)＜D．f(x1)＜0，f(x2)＞10．答案：D解析：由題意知，函數f(x)＝x(lnx－ax)＝xlnx－ax2有兩個極值點，即f′(x)＝lnx＋1－2ax＝0在區間(0，＋∞)上有兩個根．令h(x)＝lnx＋1－2ax，則h′(x)＝，當a≤0時h′(x)＞0，f′(x)在區間(0，＋∞)上遞增，f′(x)＝0不可能有兩個正根，∴a＞0.由h′(x)＝0，可得，從而可知h(x)在區間上遞增，在區間上遞減．因此需，即時滿足條件，故當時，h(x)＝0有兩個根x1，x2，且.又h(1)＝1－2a＞0，∴，從而可知函數f(x)在區間(0，x1)上遞減，在區間(x1，x2)上遞增，在區間(x2，＋∞)上遞減．∴f(x1)＜f(1)＝－a＜0，f(x2)＞f(1)＝.故選D.11.設函數f’(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf’(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(A)(－∞，－1)∪(0，1)(B)(－1，0)∪(1，＋∞)(C)(－∞，－1)∪(－1，0)(D)(0，1)∪(1，＋∞)答案：A12.函數在的圖像大致為（A）（B）（C）（D）【答案】D【詳細解答】解法1（排除法）：為偶函數，且，故選D..解法2：為偶函數，當時，，作與（如圖1），故存在實數，使得且時，，時，，12.若，則（A）（B）（C）（D）【答案】C【詳細解答】解法1（特殊值法），令，易知C正確.解法2：當時，冪函數在上遞增，故A選項錯誤；當時，越大對數函數的圖像越靠近軸，當時，，故D選項錯誤；可化為，由指數函數知，當時，在上遞增，故B選項錯誤；可化為，，故C選項正確.在上遞減，在上遞增，故選D.13．已知函數f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2﹣x），若函數y=|x2﹣2x﹣3|與y=f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則xi=（）A．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：∵函數f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2﹣x），故函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，函數y=|x2﹣2x﹣3|的圖象也關于直線x=1對稱，故函數y=|x2﹣2x﹣3|與y=f（x）圖象的交點也關于直線x=1對稱，故xi=×2=m，故選：B14．下列函數中，其定義域和值域分別與函數y=10lgx的定義域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=15．若函數f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數，則a＝＿＿＿＿＿＿.16.已知偶函數在單調遞減，.若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】12.若，則（A）（B）（C）（D）【答案】C【詳細解答】解法1（特殊值法），令，易知C正確.解法2：當時，冪函數在上遞增，故A選項錯誤；當時，越大對數函數的圖像越靠近軸，當時，，故D選項錯誤；可化為，由指數函數知，當時，在上遞增，故B選項錯誤；可化為，，故C選項正確.17.(2013課標全國Ⅰ，理21)(本小題滿分12分)設函數f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.從而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．設函數F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，則F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．由題設可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－lnk，x2＝－2.①若1≤k＜e2，則－2＜x1≤0.從而當x∈(－2，x1)時，F′(x)＜0；當x∈(x1，＋∞)時，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)單調遞減，在(x1，＋∞)單調遞增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值為F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故當x≥－2時，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，則F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．從而當x＞－2時，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)單調遞增．而F(－2)＝0，故當x≥－2時，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，則F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.從而當x≥－2時，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．綜上，k的取值范圍是[1，e2]．18.、[2014·全國卷]函數f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(ax,x＋a)(a>1)．(1)討論f(x)的單調性；(2)設a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，證明：eq\f(2,n＋2)<an≤eq\f(3,n＋2).解：(1)易知f(x)的定義域為(－1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(x[x－（a2－2a）],（x＋1）（x＋a）2).(i)當1<a<2時，若x∈(－1，a2－2a)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－1，a2－2a)是增函數；若x∈(a2－2a，0)，則f′(x)<0，所以f(x)在(a2－2a，0)是減函數；若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函數．(ii)當a＝2時，若f′(x)≥0，f′(x)＝0成立當且僅當x＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)是增函數.(iii)當a>2時，若x∈(－1，0)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－1，0)是增函數；若x∈(0，a2－2a)，則f′(x)<0，所以f(x)在(0，a2－2a)是減函數；若x∈(a2－2a，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函數．(2)由(1)知，當a＝2時，f(x)在(－1，＋∞)是增函數．當x∈(0，＋∞)時，f(x)>f(0)＝0，即ln(x＋1)>eq\f(2x,x＋2)(x>0)．又由(1)知，當a＝3時，f(x)在[0，3)是減函數．當x∈(0，3)時，f(x)<f(0)＝0，即ln(x＋1)<eq\f(3x,x＋3)(0<x<3)．下面用數學歸納法證明eq\f(2,n＋2)<an≤eq\f(3,n＋2).(i)當n＝1時，由已知eq\f(2,3)<a1＝1，故結論成立．(ii)假設當n＝k時結論成立，即eq\f(2,k＋2)<ak≤eq\f(3,k＋2).當n＝k＋1時，ak＋1＝ln(ak＋1)>lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k＋2)＋1))>eq\f(2×\f(2,k＋2),\f(2,k＋2)＋2)＝eq\f(2,k＋3)，ak＋1＝ln(ak＋1)≤lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k＋2)＋1))<eq\f(3×\f(3,k＋2),\f(3,k＋2)＋3)＝eq\f(3,k＋3)，即當n＝k＋1時，有eq\f(2,k＋3)<ak＋1≤eq\f(3,k＋3)，結論成立．根據(i)(ii)知對任何n∈N*結論都成立．19.（本小題滿分12分）已知函數=（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）設，當時，,求的最大值；（Ⅲ）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）【答案】(1) （2）2【解析】（1）（2）（3）20．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝eqx3＋ax＋\f(1,4)，g(x)＝－lnx．(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線y＝f(x)的切線；(Ⅱ)用min表示m，n中的最小值，設函數h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，討論h(x)零點的個數．21.設函數f(x)=emx＋x2－mx.(Ⅰ)證明：f(x)在（－∞，0）單調遞減，在（0，＋∞）單調遞增；（Ⅱ）若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有｜f(x1)-f(x2)｜≤e-1,求m的取值范圍22.已知函數QUOTEfx=x-2ex+(I)求a的取值范圍；(II)設是QUOTEf(x)的兩個零點，證明：.【詳細解答】（=1\*ROMANI）=1\*GB3①當時，，此時函數只有一個零點，不符合題意舍去；=2\*GB3②當時，由，由，所以在上遞減，在上遞增，，又，所以函數在上只有一個零點，當時，，此時，，所以函數在上只有一個零點此時函數QUOTEfx=x-2ex+=3\*GB3③當時，，由，由所以在和上遞增，在上遞減，，此時函數至多一個零點，不符合題意，舍去；=4\*GB3④當時，恒成立，此時函數至多一個零點，不符合題意，舍去=