第十二章統計與統計案例其次講變量間的相關關系與統計案例x12345y5tm1012練好題·考點自測1.[2024福建模擬]下列四個命題說法正確的是()①在回來分析中,R2可以用來刻畫回來效果,R2的值越大,模型的擬合效果越好;②在獨立性檢驗中,隨機變量K2的值越大,說明兩個分類變量有關系的可能性越大;③在回來方程y＾=0.2x+12中,當說明變量x每增加1個單位時,預報變量y④兩個隨機變量相關性越弱,則相關系數的肯定值越接近于1.A.①④ B.②④ C.①② D.②③2.[2024全國卷Ⅰ,5,5分][文]某校一個課外學習小組為探討某作物種子的發芽率y和溫度x(單位:℃)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發芽試驗,由試驗數據(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到如圖12-2-1所示的散點圖:圖12-2-1由此散點圖,在10℃至40℃之間,下面四個回來方程類型中最相宜作為發芽率y和溫度x的回來方程類型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx3.[2024山東,5,5分]為了探討某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,依據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系,設其回來直線方程為y＾=b^x+a＾,已知∑i=110xi=225,∑i=110yA.160 B.163 C.166 D.1704.[2024四省八校聯考]具有線性相關關系的兩個變量x,y的取值如表,其回來直線y^=b^x+a^A.t+m=13 B.t=m=6C.t=m=7 D.t=6,m=75.[2024湖南模擬]通過隨機詢問100名高校生是否愛好踢毽子,得到如下列聯表:男女總計愛好104050不愛好203050總計3070100P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635附:K2=n(ad-bc)2(a+b下列結論正確的是()A.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下,認為“愛好踢毽子與性別有關”B.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下,認為“愛好踢毽子與性別無關”C.有97.5%以上的把握認為“愛好踢毽子與性別有關”D.有97.5%以上的把握認為“愛好踢毽子與性別無關”拓展變式1.某芯片公司為制訂下一年的研發投入安排,需了解年研發資金投入量xi(單位:億元)對年銷售額yi(單位:億元)的影響.該公司對歷史數據進行對比分析,建立了兩個函數模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均為常數,e為自然對數的底數.現該公司收集了近12年的年研發資金投入量xi和年銷售額yi的數據,i=1,2,…,12,并對這些數據作了初步處理,得到了如圖12-2-3所示的散點圖及一些統計量的值.圖12-2-3令ui=x2,vi=lnyi(i=1,2,…,12),經計算得如下數據:xy∑i=112(xi-∑i=112(yi-uv20667702004604.20∑i=112(ui-∑i=112(ui(yi-y∑i=112(vi-∑i=112(xi(vi-v3125000215000.30814(1)設{ui}和{yi}的相關系數為r1,{xi}和{vi}的相關系數為r2,請從相關系數的角度,選擇一個擬合程度更好的模型.(2)①依據(1)的選擇及表中數據,建立y關于x的回來方程(系數精確到0.01);②若下一年銷售額y需達到90億元,預料下一年的研發資金投入量x是多少億元?附:相關系數r=∑i回來直線y＾=a＾+b參考數據:308=4×77,90≈9.4868,e4.4998≈90.2.[2024全國卷Ⅲ,18,12分][文]某學生愛好小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園熬煉的人次,整理數據得到下表(單位:天):熬煉人次空氣質量等級[0,200](200,400](400,600]1(優)216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表);(3)若某天的空氣質量等級為1或2,則稱這天“空氣質量好”;若某天的空氣質量等級為3或4,則稱這天“空氣質量不好”.依據所給數據,完成下面的2×2列聯表,并依據列聯表,推斷是否有95%的把握認為一天中到該公園熬煉的人次與該市當天的空氣質量有關?人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283.在紅外線照耀下,組織溫度上升,毛細血管擴張,血流加快,物質代謝增加,組織細胞活力及再生實力提高,因此紅外線治療儀對某些疾病的治療有著很好的作用.某藥店兼營某紅外線治療儀,經過近5個月的營銷,對銷售狀況進行相關數據分析,發覺月銷售量與銷售價格有關,統計數據如下表:每臺紅外線治療儀的銷售價格x/元140150160170180紅外線治療儀的月銷售量y/臺6455453526(1)依據表中數據求y關于x的線性回來方程.(2)(i)每臺紅外線治療儀的價格為165元時,預料紅外線治療儀的月銷售量;(四舍五入為整數)(ii)若該紅外線治療儀的成本為120元/臺,要使每月獲得最大的純收益,利用(1)中結論,問每臺紅外線治療儀的銷售價格應定為多少?(四舍五入,精確到1元)參考公式:回來直線方程y＾=b^x+a＾4.[2024廣州二模]全民健身旨在全面提高國民體質和健康水平,提倡全民做到每天參與一次以上健身活動,學會兩種以上健身方法,每年進行一次體質測定(簡稱體測).為響應全民健身號召,某單位在職工體測后就某項健康指數(百分制)隨機抽取了30名職工的體測數據作為樣本,詳細圖12-2-7數據的莖葉圖如圖12-2-7所示,其中有1名女職工的健康指數的數據模糊不清(用x表示),已知這30名職工的健康指數的平均數為76.2.(1)依據莖葉圖,求樣本中男職工健康指數的眾數和中位數;(2)依據莖葉圖,按男、女用分層抽樣的方法從這30名職工中隨機抽取5人,再從抽取的5人中隨機抽取2人,求抽取的2人都是男職工的概率;(3)經計算,樣本中男職工健康指數的平均數為81,女職工現有數據(即剔除x)健康指數的平均數為69,方差為190,求樣本中全部女職工的健康指數的平均數和方差(結果精確到0.1).答案第十二章統計與統計案例其次講變量間的相關關系與統計案例1.C由R2與K2的公式及性質可知,①②正確;在回來方程y＾=0.2x+12中,當說明變量x每增加1個單位時,預報變量y＾平均增加0.2個單位,③錯誤;兩個隨機變量相關性越強,則相關系數的肯定2.D依據題中散點圖可知,散點圖中點的分布形態與對數函數的圖象類似,故選D.3.C由題意可知y＾=4x+a＾,又x=22.5,y=160,因此160=22.5×4+a＾,故a＾=70,因此y＾=4x+70.當x=24時,4.D由表格數據,得x=1+2+3+4+55=3,y=5+t+m+10+125=27+t+m5.因為回來直線y^=b^x+a^必經過樣本點的中心(x,y)(求回來直線方程的關鍵是抓住樣本點的中心在回來直線上),且回來直線經過點(3,8),所以點(3,8)為回來直線y^=b5.A由題意得K2的觀測值k=100×(10×30-40×20)230×70×50×50≈4.762>3.841,可得在犯錯誤的概率不超過51.(1)由題意,r1=∑i=112(ui-u-)(則|r1|<|r2|,因此從相關系數的角度,模型y=eλx+t的擬合程度更好.(2)①先建立v關于x的線性回來方程,由y=eλx+t,得lny=t+λx(兩邊同時取以e為底的對數),即v=t+λx(將非線性回來方程轉化為線性回來方程);由于λ=∑i=112t=v--λx-=4.20-0.所以v關于x的線性回來方程為v＾=0.02x+3.84(系數精確到0.01,即0.018精確為0.所以lny＾=0.02x+3.84,則y＾=e0.02x+3.②下一年銷售額y需達到90億元,即y=90,代入y＾=e0.02x+3.84,得90=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以4.4998≈0.02x+3.84,所以x≈4.4998-3.840.02=32.所以下一年的研發資金投入量約是32.99億元.【方法技巧】常見非線性回來方程的轉換方式非線性回來方程變換公式變換后的線性回來方程y=axb(a>0,b≠0)c=lnav=lnxu=lnyu=c+bvy=aebx(a>0)c=lnau=lnyu=c+bxy=aebx(c=lnav=1u=lnyu=c+bvy=a+blnxv=lnxy=a+bv2.(1)由所給數據,該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率的估計值如表:空氣質量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園熬煉的平均人次的估計值為1100(100×20+300×35+500×45)=350(3)依據所給數據,可得2×2列聯表如下:人次≤400人次>400空氣質量好3337空氣質量不好228依據列聯表得K2的觀測值k=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5由于5.820>3.841,故有95%的把握認為一天中到該公園熬煉的人次與該市當天的空氣質量有關.3.(1)x=y=∑i=15(xi-x)2=(140-160)2+(150-160)2+(160-160)2+(170-160)2+(180-160)2=1000,∑i=15(xi∴^b=∑i=15∴a＾=y-^bx=45+0∴y關于x的回來方程為y＾=-0.96x+198.6(2)(i)由(1)知,當x=165時,y＾=-0.96×165+198.6=40.2≈40,即每臺紅外線治療儀的價格為165元時,紅外線治療儀的月銷售量為40臺(ii)藥店每月獲得的純收益Q(x)=(-0.96x+198.6)(x-120)=-0.96x2+313.8x-23832,∴當x=313.82×0.96≈163時,Q(x即要使每月獲得最大的純收益,每臺紅外線治療儀的銷售價格應定為163元.4.(1)由莖葉圖可知,樣本中男職工健康指數的眾數為76,中位數為80+822=81(2)由于是分層抽樣,因此抽取的5人中男職工有5×1830=3(人),分別記為A,B,C;女職工有2人,分別記為a,b.從5人中隨機抽取2人的狀況有:(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10種.其中這2人都是男職工的狀況有:(A