高中數學立體幾何知識點總結大全

一、空間幾何體的結構

1.空間幾何體的結構

(1)多面體

幾何體結構特征備注

①底面互相平行.按側棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱

和直棱柱.側棱與底面不垂直的棱柱叫做斜

棱柱②側面都是平行四邊形.

棱柱，側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特

③每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行.別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.

①底面是多邊形.

三棱錐的所有面都是三角形，所以四個面都可

棱錐②側面都是三角形.

以看作底.三棱錐又稱為四面體.

③側面有一個公共頂點.

①上、下底面互相平行，且是相似圖形.

棱臺②各側棱的延長線交于一點.可用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐

③各側面為梯形.

(2)旋轉體

幾何體結構特征備注

①圓柱有兩個大小相同的底面，這兩個面互相平行，且底

面是圓面而不是圓.

②圓柱有無數條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平圓柱可以由矩形繞其任一邊所在

圓柱

行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等.直線旋轉得到.

③平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截

面（軸截面）是全等的矩形.

①底面是圓面.

②有無數條母線，長度相等且交于頂點.圓錐可以由直角三角形繞其直角

圓錐

邊所在直線旋轉得到.

③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截

面（軸截面）是全等的等腰三角形.

①圓臺上、下底面是互相平行且不等的圓面.

圓臺可以由直角梯形繞直角腰所

②有無數條母線，等長且延長線交于一點.在直線或等腰梯形繞上、下底中點

圓臺

連線所在直線旋轉得到，也可由平

③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過

行于底面的平面截圓錐得到.

軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形.

①球心和截面圓心的連線垂直于截面.

球可以由半圓面或圓面繞直徑所

球②球心到截面的距離d與球的半徑〃及截面圓的半徑r

在直線旋轉得到.

之間滿足關系式：d=-/.

二、空間幾何體的表面積與體積

1.旋轉體的表面積

圓柱（底面半徑為r,圓錐（底面半徑為r,圓臺（上、下底面半徑分別為

母線長為1）母線長為1）,r,母線長為7）

守

側面展開圖國/

1...岸

2irr

底面面積$底=兀,%-兀/5上*=兀，2,5下底=兀產

側面面積%=2兀〃s側=兀〃S便產兀/（，+〃）

=2兀/"+/)S表=兀廠（廠+/）S表=兀(r'2+，+fl4-〃)

表面積s表

一制提醒

多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積.

2.柱體、錐體、臺體的體積公式

幾何體體積

V柱體=S/7（S為底面面積，方為高）

柱體

%柱=兀r％（r為底面半徑，/;為高）

嘖體=gs/?（S為底面面積，方為高）

錐體

唳錐=；n戶八（r為底面半徑，力為高）

以、體=：(S'+Ay+S)〃(S'、S分別為上、下底面面積，力為高)，

臺體

%臺=§兀〃化2+/，+/)O'、r分別為上、下底面半徑，力為高)

非制找碑

(1)柱體、錐體、臺體體積公式間的關系

(2)一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差;

(3)等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等.

3.球的表面積和體積公式

設球的半徑為凡它的體積與表面積都由半徑彳唯一確定，是以〃為自變量的函數，其表面積公式為4兀發，

4

即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為§兀W.

井劑找碑

球的切、接問題(常見結論)

(1)若正方體的棱長為a,則正方體的內切球半徑是ga；正方體的外接球半徑是與正方體

22

所有棱相切的球的半徑是刀V2。

(2)若長方體的長、寬、高分別為b,h,則長方體的外接球半徑是從+〃2.

2

>/6V6

⑶若正四面體的棱長為。，則正四面體的內切球半徑是石。；正四面體的外接球半徑是7

與正四面體所有棱相切的球的半徑是孝。

(4)球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.

(5)球與圓臺的底面與側面均相切，則球的直徑等于圓臺的高.

三、空間點、直線、平面之間的位置關系

1.平面的基本性質

名稱圖形文字語言符號語言

如果一條直線上的兩點在同一個平Ae1,Be1,且/￡。，Be

公理1

/%/面內，那么這條直線在這個平面內。=/u。

A,B,，三點不共線=有且只

過不在同一條直線上的三點，有且

公理2有一個平面a,使a,Be

/二/只有一個平面

a,C&a

公推

經過一條直線和直線外的一點，有若點A0直線a,則4和a確

論

理

且只有一個平面定一個平面a

21

的推

經過兩條相交直線，有且只有一個a有且只有一個平

推論

平面面a,使qua,bua

論2

推

一經過兩條平行直線，有且只有一個a//b=有且只有一個平面

論

平面a,使aua,bua

3

如果兩個不重合的平面有一個公共

PGa,且ae￡=an￡=/,

公理3點，那么它們有且只有一條過該點

Pel,且/是唯一的

的公共直線

-------------71

公理4-----h平行于同一直線的兩條直線平行71/77,h//l^h//h

-----1

2.等角定理

(1)自然語言：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)符號語言：如圖(1)、(2)所示，在NAOB與NGO'B'中，OA//O'A,OB//O'B',

則ZAOB=ZAOB'或NAOB+=180°.

圖⑴圖(2)

3.空間兩直線位置關系的分類

空間中兩條直線的位置關系有以下兩種分類方式:

(1)從有無公共點的角度分類:

兩條直線有且僅有一個公共點：相交直線

直線’平行直線

兩條直線無公共點”

異面直線

(2)從是否共面的角度分類:

相交直線

共面直線

直線4平行直線

不共面直線：異面直線

4.異面直線所成的角

(1)異面直線所成角的定義

如圖，已知兩異面直線a,b,經過空間任一點0,分別作直線a'//a,b'//b,相交直線a',b'所成

的銳角(或直角)叫做異面直線a與6所成的角(或夾角).

(2)異面直線所成角的范圍

71

異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是((),一］.

2

(3)兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a,b,

記作aLb.

5.直線與平面、平面與平面位置關系的分類

(1)直線和平面位置關系的分類

①按公共點個數分類：

'直線和平面相交一有且只有一個公共點

＜直線和平面平行一沒有公共點

直線在平面內一有無數個公共點

②按是否平行分類:

直線與平面平行

直線與平面相交

直線與平面不平行

直線在平面內

③按直線是否在平面內分類:

直線在平面內

直線和平面相交

直線不在平面內(直線在平面外),

直線和平面平行

(2)平面和平面位置關系的分類

兩個平面之間的位置關系有且只有以下兩種：

(1)兩個平面平行一一沒有公共點；

(2)兩個平面相交一一有一條公共直線.

特別程碑

(1)唯一性定理

①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

②過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

③過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

④過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

（2）異面直線的判定方法

經過平面內?點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線.

四、直線、平面平行的判定及其性質

1.直線與平面平行的判定定理

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

文字語言

簡記為：線線平行二線面平行

a

圖形語言/一/

符號語言aAa,Zxza,且a〃a

作用證明直線與平面平行

2.直線與平面平行的性質定理

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直

文字語言線平行.

簡記為：線面平行=線線平行

圖形語言Qz

符號語言a//[3,a(3=bna//h

①作為證明線線平行的依據.

作用

②作為畫一條直線與已知直線平行的依據.

3.平面與平面平行的判定定理

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.

文字語言

簡記為：線面平行=面面平行

/?/

圖形語言

//

符號語言au8,buB,ab=P,a//a,

作用證明兩個平面平行

4.平面與平面平行的性質定理

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.

文字語言

簡記為：面面平行=線線平行

片

圖形語言

符號語言a//y=a,/3]/=〃=>a//h

作用證明線線平行

特別啜碑

1.平行問題的轉化關系

性質定理

分一一判定定理、二二紅七判定定理、卬=

線線L平仃、—―一線面平仃、3H.…面面平仃

|性質定理性質定理f

判定定理

2.常用結論

(1)如果兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.

(2)如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線.

(3)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.

(4)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(5)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.

(6)如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行.

(7)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行.

(8)如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行.

五、直線、平面垂直的判定及其性質

1.直線與平面垂直的定義

如果直線,與平面。內的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直.記作：/J.a.圖形

表示如下：

喘制提理

定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數條直線”不是同義語.

在應用該定理判斷一條直線和一個平面垂直時，一定要注意是這條直線和平面內的兩條煙父直線垂直,

而不是任意的兩條直線.

3.直線與平面垂直的性質定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行.

簡記為：線面垂直=線線平行

ab

圖形語言

__7

a-La

符號語言>=a//h

bLa

①證明兩直線平行；

作用

②構造平行線.

4.平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面。與平面P垂直,

記作a_L尸.圖形表示如下：

5.平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

文字語言

簡記為：線面垂直=面面垂直

1

圖形語言Z7

符號語言7±a,luf3na【B

作用判斷兩平面垂直

6.平面與平面垂直的性質定理

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

文字語言

簡記為：面面垂直=線線平行

a

a

圖形語言1

al。

af3-l

符號語言>=>Q_L夕

。ua

aLI

作用證明直線與平面垂直

7.直線與平面所成的角

（1）定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平

面的交點叫做斜足.

過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影.

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的第郛叫做這條直線和這個平面所成的角.

(2)規定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于90；一條直線和平面平行，或在平面內,

兀

我們說它們所成的角等于0.因此，直線與平面所成的角。的范圍是［0,,］.

8.二面角

(1)二面角的定義：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發

的兩個半平面所組成的圖形叫做?畫擲這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于

棱的射線，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

特―

1.垂直問題的轉化關系

2.常用結論

(1)若兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

(2)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內任何一條直線.

(3)過空間任一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

(4)過空間任一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

(5)兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直.

(6)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

(7)如果兩個平面互相垂直，那么過第一個平面內的一點且垂直于第二個平面的直線在第一個平面內.

六、空間向量與立體幾何

1.空間直角坐標系

坐標原點點0

以空間一點。為原點，具有相同的單位長度，

定

給定正方向，建立兩兩垂直的數軸：X軸、y坐標軸x軸、y軸、z軸

義

軸、z軸，建”了個空間直角坐標系。-孫z

坐標平面通過每兩個坐標軸的平面

在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正

方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系，如圖所示.

2.空間一點M的坐標

(1)空間一點"的坐標可以用有序實數組(x,y,z)來表示，記作M(x,y,z),其中“叫做點材的橫坐標,

y叫做點”的縱坐標，z叫做點材的豎坐標.

(2)建立了空間直角坐標系后，空間中的點〃與有序實數組(x,y,z)可建立一一對應的關系.

3.空間兩點間的距離公式、中點公式

(1)距離公式

①設點A(X],y,Z1),B(x2,y2,z2)為空間兩點，

則A,B兩點間的距離[4例=Ja-/A+(y+(4—2y.

②設點P(x,y,z),則點P(x,y,z)與坐標原點。之間的距離為|OP|=G77m

(2)中點公式

設點尸(x,y,z)為耳為，%zj,—(.，必必)的中點，則“.=3；”.

Zj+z

z-12

2

4.共線向量定理

對空間任意兩個向量a，6(bW0),a〃6的充要條件是存在實數4，使得a=46.

牢記兩個推論：

(1)對空間任意一點0,點尸在直線48上的充要條件是存在實數t,使OP=(1-f)0A+f03或

OP=xOA+yOB(其中x+y=l).

(2)如果/為經過已知點/且平行于己知非零向量。的直線，那么對空間任意一點。，點—在直線/上

的充要條件是存在實數3使。2=。4+柩，其中向量”叫做直線/的方向向量，該式稱為直線方程的

向量表示式.

5.共面向量定理

如果兩個向量a,6不共線，那么向量p與向量a,6共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,力，

使P=XQ+曲.

牢記推論：空間一點尸位于平面力比、內的充要條件是存在有序實數對(x,y),使AP=xA5+yAC；

或對空間任意一點。，有0P=0A+xA3+yAC.

6.空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序實數組｛x,y,z｝,使得p=xa+yb+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.

林WI提薛

(1)空間任意三個不共面的向量都可構成基底.

(2)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

(3)()不能作為基向量.

7.空間向量的運算

(1)空間向量的加法、減法、數乘及數量積運算都可類比平面向量.

(2)空間向量的坐標運算

設。=(4，。2，/)，》=(4，》2/3)，則

a±b=(ai±b^a2±b2,a3±b3),

Aa=(Aat,2a2,Aa3)(2GR),

ab=a}b}+a2b2+a3b3,

ab=b=Anob]=/I4,么=Aa2,b3=Aa3(AeR),

a工boab=她+a2b2+03b3=0,

\a\==Ja；+a；+a；,

/1y_ab口初++a3b3

x廣麗”+城+標：+36.

8.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作/,顯然一條直線的方向向量可以有

無數個.

(2)若直線則該直線/的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作。，有無數多個,

任意兩個都是共線向量.

平面法向量的求法：設平面的法向量為a=(x,y,z).在平面內找出(或求出)兩個不共線的向量

。=(4，2,生)1=色,仇,仇)，根據定義建立方程組，得到4，通過賦值，取其中一組解，得