【創新設計】-版高中數學1.2.2.2異面直線所成角同步訓練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時15分鐘)1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，則異面直線AC與A1B1所成的角為________．解析∵過點A的直線AB∥A1B1，∴異面直線AC與A1B1所成的角，即為相交直線AC與AB所成的角，并且易知AC與AB所成的角為45°.因此，也可知異面直線AC與A1B1所成的角為45°.答案45°2．若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直線為“理想異面直線對”，在連結正方體各頂點的所有直線中，“理想異面直線對”的對數為________對．解析如圖，在連接正方體各頂點的所有直線中，只有相鄰面上的面對角線才能構成“理想異面直線對”，并且只有2對，則所有的“理想異面直線對”的對數為4×2×2(上下面與四個相鄰側面的對數)＋4×2(四個側面的對數)＝24(對)．故填24.答案243．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1B1與BC解析異面直線A1B1與BC所成的角，即為相交直線AB與BC所成的角．∵AB與BC所成的角為90°.∴異面直線A1B1與BC所成的角也為90°.答案90°4．已知正方體ABCD－A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為________；(2)AD與BC′所成的角為________．解析連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.答案(1)60°(2)45°5．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結論中正確結論的序號為________．解析把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案①③6．如圖，已知不共面的直線a，b，c相交于點O，M、P是直線a上兩點，N、Q分別是b，c上的點．求證：MN和PQ是異面直線．證明假設MN和PQ不是異面直線，則MN與PQ在同一平面內，設為α.∵M、P∈α，M、P∈a，∴a?α.∵O∈α，N∈α且O∈b，N∈b，∴b?α.同理c?α，∴a，b，c共面于α，與a、b、c不共面矛盾．∴MN、PQ是異面直線．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時30分鐘)7．A是△BCD所在平面外一點，AD＝BC，E、F分別是AB，CD的中點．若EF＝eq\f(\r(2),2)AD，則異面直線AD與BC所成的角為________．解析如圖所示，設G是AC的中點，連結GE，FG.∵E，F分別是AB，CD的中點，∴FG∥AD且FG＝eq\f(1,2)AD，EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC.∴GE與GF所成的銳角(或直角)為AD與BC所成的角．∵AD＝BC，∴EG＝FG＝eq\f(1,2)AD.又∵EF＝eq\f(\r(2),2)AD，則在△EFG中，EG2＝eq\f(1,4)AD2，FG2＝eq\f(1,4)AD2，EF2＝eq\f(1,2)AD2，∴EF2＝EG2＋FG2.∴∠EGF＝90°，即AD與BC所成的角為90°.答案90°8．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長都相等，M是側棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM答案90°9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1解析延長CA至點M，使AM＝CA，則A1M∥C1A，∠MA1B或其補角為異面直線BA1與AC1所成的角，連結BM，易知△BMA1為等邊三角形，因此，異面直線BA1與AC1所成的角為60°.答案60°10．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點．求異面直線A1M和C1D解析因為C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角或其補角．因為A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，故tan∠MA1B1＝eq\f(B1M,A1B1)＝eq\r(2).即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為eq\r(2).答案eq\r(2)11．在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，對角線BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角．解取AB，CD，AD的中點E，G，F，連接EF，FG，GE，則∠EFG(或其補角)為BD與AC所成的角，且EF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(13),4)，FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),4).再取AC的中點H，連接EH、HG，則EH∥BC，HG∥AD.EH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，HG＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2).∵AD⊥BC，∴EH⊥HG，∴EG2＝EH2＋HG2＝1.在△EFG中，EG2＝EF2＋FG2＝1，∴∠EFG＝90°，∴AC與BD所成的角為90°.12．已知正四棱錐S－ABCD(底面為正方形，頂點在底面的射影為底面的中心)的側棱長與底面邊長都相等，E為SB的中點，求AE、SD所成角的余弦值．解如圖所示，連接AC、BD，設其交點為O，連接EO，依題意，EO綉eq\f(1,2)SD，∴∠AEO或其補角為AE，SD所成的角，設AB＝SA＝2a，在正△SAB中，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(3)a，∵AE＝CE，且O為AC中點∴EO⊥AC.在Rt△AEO中，∠AOE＝90°，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3).∴AE與SD所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).13．(創新拓展)如圖所示，E，F分別是三棱錐A－BCD所在棱上的點，已知AB＝CD＝3，eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(5)，求AB和CD所成角的大小．解取BD上點G，使eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，則由eq\f(AE,ED)＝eq\f(BG,GD)＝eq\f(BF,FC)可得EG∥AB，GF∥CD，所以∠EGF即為AB和CD所成的角或其補角．因為eq\f(EG,