2.2直線的方程1|

直線的方程形式與適用條件名稱點斜式斜截式兩點式截距式方程一般式方程形式y-y0=k(x-x0)y=kx+b(y2-y1)(x-x1)-

(x2-x1)·(y-y1)=

0

=

(x2≠x1且y2≠y1)

+

=1(ab≠0)Ax+By+C=0

(A,B不同時

為0)已知條件直線上一定

點(x0,y0),斜

率k

斜率k,直線在y軸上的截距b直線上兩點(x1,y1),(x2,y2)直線在x軸上的非零截距a,直線在y軸上的非零

截距b系數A,B,C適用范圍不垂直于x軸的直線不垂直于x

軸的直線過任意兩點

的直線不平行于x

軸和y軸的

直線不平行于x

軸和y軸,且

不過原點的

直線任何位置的

直線1.與直線平行、垂直的非零向量分別稱為該直線的方向向量、法向量,直線的方

向向量和法向量不唯一.2.斜率為k的直線的方向向量為(1,k)的非零實數倍,直線Ax+By+C=0的法向量可取

(A,B).2

|

直線的方向向量、法向量1.方程k=

與y-y0=k(x-x0)表示的意義相同嗎?不相同.方程k=

表示的圖形中不含點(x0,y0).2.直線y-3=k(x+1)是否恒過定點?是.恒過定點(-1,3).3.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸交點到原點的距離嗎?不是.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸交點的縱坐標,而不是距離.4.直線y=kx+b一定是一次函數y=kx+b的圖象嗎?不一定.當k≠0時,y=kx+b為一次函數;當k=0時,y=b,不是一次函數,所以只有直線

方程y=kx+b中的k≠0時,該直線才是一次函數的圖象.知識辨析5.直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程在任何情況下都可以與一般式方程進行互化嗎?不是.直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程均可以化為一般式方程,但

一般式方程轉化為其他形式時,必須要在適用范圍內.直線方程的幾種常見設法(1)若已知一點的坐標,則一般選用點斜式,再由其他條件確定直線的斜率.(2)若已知直線的斜率,則一般選用斜截式,再由其他條件確定直線在y軸上的截距.(3)若已知兩點坐標,則一般選用兩點式或點斜式,當兩點是直線與坐標軸的交點

時,選用直線的截距式方程.無論選用怎樣的直線方程,都要注意各自方程的適用范圍,對特殊情況下的

直線要單獨討論.1直線方程的選擇和求解

典例寫出滿足下列條件的直線的方程:(1)經過點(2,-3),傾斜角是直線y=

x的傾斜角的2倍;(2)經過點(5,-2),且與y軸平行;(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點;(4)過點A(3,4),且在兩坐標軸上的截距互為相反數.解析

(1)∵直線y=

x的斜率為

,∴直線y=

x的傾斜角為30°,∴所求直線的傾斜角為60°,∴所求直線的斜率為

.∴所求直線方程為y+3=

(x-2),即

x-y-2

-3=0.(2)與y軸平行的直線,其斜率不存在,但直線上點的橫坐標均為5,故直線方程為x=

5.(3)解法一:所求直線方程為

=

,整理得x+y-1=0.解法二:kPQ=

=

=-1.∵直線過點P(-2,3),∴所求直線方程為y-3=-(x+2),即x+y-1=0.(4)①當直線在兩坐標軸上的截距互為相反數且不為0時,可設直線方程為

+

=1.又直線過點A(3,4),所以

+

=1,解得a=-1.所以直線方程為

+

=1,即x-y+1=0.②當直線在兩坐標軸上的截距互為相反數且為0,即直線過原點時,設直線方程為

y=kx,因為直線過點(3,4),所以4=k·3,解得k=

,所以直線方程為y=

x,即4x-3y=0.綜上,直線方程為x-y+1=0或4x-3y=0.易錯警示

若題目中出現直線在兩坐標軸上的“截距相等”“截距互為相反

數”“在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上截距的m(m>0)倍”等條件時,可采用

直線的截距式方程,但一定要注意考慮截距為0的情況.1.對于含參數的直線方程,可將方程整理成點斜式或斜截式,利用系數的幾何意

義,結合圖形探求和證明過定點問題.2.根據斜截式中k,b的幾何意義,可確定對應函數的大致圖象.2如何利用直線方程中系數的幾何意義解決相關問題

典例已知直線l:5ax-5y-a+3=0.(1)求證:無論a為何值,直線l總經過第一象限;(2)為使直線l不經過第二象限,求a的取值范圍.解析

(1)證明:將直線l的方程整理為y-

=a

,∴直線l的斜率為a,且過定點

,設為A,又點A在第一象限,∴無論a為何值,直線l總經過第一象限.(2)由(1),知k