一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù),

那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列,這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差,公差通常用d表示.在等差數(shù)列

{an}中,始終有an+1-an=d.4.2

等差數(shù)列知識點1

等差數(shù)列的概念4.2.1

等差數(shù)列的概念4.2.2

等差數(shù)列的通項公式1.等差數(shù)列的通項公式一般地,對于等差數(shù)列{an}的第n項an,有an=a1+(n-1)d.這就是等差數(shù)列{an}的通項公式,其中a1

為首項,d為公差.2.等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其圖象是直線y=dx+(a1-d)上的一

些等間隔的點,其中,點的橫坐標是正整數(shù),a1-d是直線在y軸上的截距,公差d是該直線的斜率,

即自變量每增加1,函數(shù)值增加d.知識點2

等差數(shù)列的通項公式

如果a,A,b這三個數(shù)成等差數(shù)列,那么A=

,我們把A=

叫作a和b的等差中項.知識點3

等差中項性質(zhì)1:若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則an=am+(n-m)d(n,m∈N*,m≠n),d=

.性質(zhì)2:若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an,特別地,若k+l=2p,則ak+al=2ap.性質(zhì)3:若{an}是等差數(shù)列,其公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,其公差為2d.性質(zhì)4:若{an},{bn}分別是以d1,d2為公差的等差數(shù)列,則{pan+qbn}是以pd1+qd2為公差的等差數(shù)列.性質(zhì)5:若{an}是等差數(shù)列,其公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列.性質(zhì)6:若{an}是等差數(shù)列,其公差為d,則當d>0時,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當d<0時,數(shù)列{an}為遞

減數(shù)列;當d=0時,數(shù)列{an}為常數(shù)列.知識點4

等差數(shù)列的常用性質(zhì)知識辨析1.若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?2.等差數(shù)列的定義用符號可以表示成an-an-1=d或an+1-an=d,這兩個關(guān)系式在任何條件下都適用

嗎?3.等差數(shù)列的通項公式一定是關(guān)于n的一次函數(shù)嗎?4.等差數(shù)列{an}中必有a2+a3=a5嗎?一語破的1.不一定.差是同一個常數(shù)時才是等差數(shù)列.2.不是.使用關(guān)系式an-an-1=d時,要保證n∈N*且n≥2,使用關(guān)系式an+1-an=d時,要保證n∈N*.3.不一定.等差數(shù)列的通項公式中變量n的系數(shù)d可以等于0,且變量n∈N*.4.不是.在使用等差數(shù)列的性質(zhì):若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an時,要注意等式兩邊項

的個數(shù)必須相同,一般情況下,a2+a3=a1+a4≠a5.判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列,注意要保證條件中

最小的n值滿足a2-a1=d這一關(guān)鍵條件.(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法:數(shù)列{an}的通項公式形如an=pn+q(p,q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列(注意此

方法一般不用作證明).定點1等差數(shù)列的判定(證明)?關(guān)鍵能力定點破典例1已知數(shù)列{an}滿足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.證明

(等差中項法)由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,兩式相減并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N*).由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1,因此an是an-1與an+1的等差中項,故數(shù)列{an}為等差數(shù)列.典例2在數(shù)列{an}中,a1=

,2an+1an=an-an+1.(1)求a2,a3;(2)證明數(shù)列

為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式.思路點撥

(1)把n=1,2分別代入數(shù)列的遞推公式即可求出a2,a3.(2)把遞推公式變形,通過兩邊同除以an+1an,得到后一項與前一項的差為同一個常數(shù),進而得證,

再寫出通項公式.解析

(1)因為2an+1an=an-an+1,所以當n=1時,2a2a1=a1-a2,則2a2×

=

-a2,即

a2=

,解得a2=

,當n=2時,2a3a2=a2-a3,則2a3×

=

-a3,即

a3=

,解得a3=

.(2)因為2an+1an=an-an+1,所以

-

=2,又

=3,所以數(shù)列

是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,故

=3+(n-1)×2=2n+1,則an=

(n∈N*).1.求等差數(shù)列通項公式的常見方法(1)基本量法:設(shè)出基本量a1與d,利用條件構(gòu)建方程組,求出a1,d,即可得出數(shù)列的通項公式;(2)待定系數(shù)法:設(shè)通項公式為an=An+B,利用條件構(gòu)建方程組,求出A,B,即可得數(shù)列的通項公

式;(3)利用等差數(shù)列的性質(zhì):若{an}為等差數(shù)列,則可利用d=

(n,m∈N*,m≠n)求出公差d,即可得出數(shù)列的通項公式,一般已知數(shù)列中的兩項時用這種方法較簡便.2.利用遞推關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,構(gòu)造等差數(shù)列,常見的轉(zhuǎn)化形式如下(1)轉(zhuǎn)化為(an+2-an+1)-(an+1-an)=常數(shù),則數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.(2)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列

是等差數(shù)列.定點2等差數(shù)列通項公式的求解及應(yīng)用?(3)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列

是等差數(shù)列,其中c為常數(shù).(4)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列{

}是等差數(shù)列.(5)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列{

}是等差數(shù)列.典例1(1)已知等差數(shù)列{an}中,公差d>0,a1+a4+a7=-6,a2a4a6=24,求數(shù)列{an}的通項公式;(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,(n-1)an=nan-1+n(n-1)(n≥2),求{an}的通項公式.解析

(1)解法一:由題意得

解得

或

∵d>0,∴a1=-8,d=2,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-10.解法二:由題意得a1+a4+a7=3a4=-6,解得a4=-2,則

解得

或

又d>0,∴a2=-6,a6=2,∴d=

=2,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-6+(n-2)×2=2n-10.解法三:由解法二知a4=-2,則a2a4a6=(a4-2d)·a4·(a4+2d)=(-2)×(4-4d2)=24,解得d=±2.∵d>0,∴d=2,∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-2+(n-4)×2=2n-10.(2)當n≥2時,

-

=1,又

=2,∴

是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,∴

=2+(n-1)×1=n+1,∴an=n(n+1).∴{an}的通項公式為an=n(n+1).典例2已知各項均不為零的數(shù)列{an}滿足

=

an+1(n∈N*),a1=1.證明:數(shù)列

為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式.思路點撥

觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,等式兩邊取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列,進而求通項公式.解析

由

=

an+1兩邊取倒數(shù)得

=

,∴

=

+

,即

-

=

,∴

是首項為

=1,公差為

的等差數(shù)列,∴

=1+(n-1)×

=

,∴an=

.技巧點撥

構(gòu)造等差數(shù)列求通項公式時,需要認真觀察給定式子的結(jié)構(gòu),記住常見的構(gòu)造類

型,做到熟能生巧,如本題中所給遞推公式為分式形式,則考慮用取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列.借助等差數(shù)列{an}的性質(zhì):若m+n=p+q=2w,則am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整數(shù))可以

解決有關(guān)項的問題,可以簡化計算,但不一定每道題都能用,能用此性質(zhì)的題都應(yīng)具有一定的

特征,所以解決等差數(shù)列的有關(guān)問題時,應(yīng)先考慮性質(zhì),若不能應(yīng)用性質(zhì),再利用基本量求解.定點3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用典例已知等差數(shù)列{an}的公差d大于零,且a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=

,是否存在非零實數(shù)c,使數(shù)列{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出實數(shù)c的值;若不存在,請說明理由.解析

(1)因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a3+a4=a2+a5=22.聯(lián)立

解得

或

因為公差d>0,所以a3<a4,所以

所以d=a4-a3=4,所以數(shù)列{an}的通項公式為a