章末檢測(二)直線和圓的方程

A卷

本試卷分第I卷和第II卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

第I卷(選擇題，共60分)

一'單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知圓C以點(diǎn)(2,-3)為圓心，半徑等于5,則點(diǎn)M(5,—7)與圓C的位置關(guān)系是()

A.在圓內(nèi)B.在圓上

C.在圓外D.無法判斷

解析：選B點(diǎn)M(5,—7)到圓心(2,一3)的距離d=.(5-2)2+(-7+3)2=5,故點(diǎn)M

在圓C上.

2.已知過點(diǎn)M(-2,a),N(a,4)的直線的斜率為一；，則|MN|=()

A.10B.180

C.6^3D.675

d—41

解析：選D由kMN=_、一=f解得a=io,即Af(-2,10),MIO,4),所以|MN|

乙a/

=^/(-2-10)2+(10-4)2=6^5,故選D.

3.若直線町+3=0在y軸上的截距為一3,且它的傾斜角是直線y=3小的

傾斜角的2倍，貝歐)

A.〃2=一小,n=lB.〃z=一n=-3

C.m=y[39〃=-3D.團(tuán)=小,n=l

解析：選D依題意得：直線6x—y=3小的斜率為小，.,.其傾斜角為60。.二一G=一

3,一￡=tan120°=一小，得，”=小，n—\.

4.經(jīng)過點(diǎn)M(2,l)作圓好+產(chǎn)=5的切線，則切線方程為()

X.y[2x+y-5=0B.Vlr+y+5=0

C.2x+y-5=0D.2x+j+5=0

解析：選C在圓上，，切線與M。垂直.

V*w=|,切線斜率為-2.又過點(diǎn)M(2,l),

...y—1=—2(x—2),即2x+j—5=0.

5.直線/過點(diǎn)A(3,4)且與點(diǎn)b(—3,2)的距離最遠(yuǎn)，那么/的方程為()

A.3x-j—13=0B.3x—y+13=0

C.3x+j-13=oD.3x+y+13=0

2—41

解析：選C由已知可知，/是過A且與AB垂直的直線，?.?=—=,,：,ki=

JJJ

—3,由點(diǎn)斜式得，j—4=_3(x_3),即3x+y—13=0.

6.若直線/：y=fcr+l(AV0)與圓C：(X+2)2+(J-1)2=2相切，則直線/與圓O：(x

-2)2+產(chǎn)=3的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

I-2A-1+Hr-

解析：選A依題意，直線/與圓C相切，則,解得&=±1.又又V0,

12+0-11V2

所以左=一1,于是直線/的方程為x+y—1=0.圓心0(2,0)到直線/的距離d=~^2~=2

＜巾，所以直線/與圓O相交，故選A.

7.已知圓C：爐+產(chǎn)-2x—2,町+”及一3=0關(guān)于直線八x—y+l=0對稱，則直線x=

一1與圓C的位置關(guān)系是()

A.相切B.相交

C.相離D.不能確定

解析：選A由已知得C:(x—1)2+。一,〃)2=4,即圓心C(l,m),半徑r=2,因?yàn)閳A

C關(guān)于直線/:x—y+l=0對稱，所以圓心(1,m)在直線/:x—y+l=0上，所以，〃=2.由

圓心C(l,2)到直線x=-1的距離d=l+l=2=z"知，直線x=-1與圓C相切.故選A.

8.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2=—2y+3,直線/經(jīng)過點(diǎn)(1,0)

且與直線x-y+l=0垂直，若直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn),則△0A8的面積為()

A.1B.y/2

C.2D.272

解析：選A由題意，得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+&+1)2=4,圓心為(0,-1),半徑r

=2.因?yàn)橹本€/經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且與直線*一了+1=0垂直，所以直線/的斜率為一1,方程為y

10—1—II

-0=-(x-l),即為x+y-1=0.又圓心(0,—1)到直線I的距離―=也,所以

弦長143|=2[/一不=244—2=2啦.又坐標(biāo)原點(diǎn)O到弦A5的距離為"簽"=古’所以

AOAB的面積為:X2gx古=1.故選A.

二'多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0

分)

9.過點(diǎn)A(l,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程可能為()

A.x-j+l=OB.x+y—3=0

C.2x—y=0D.x—j—1=0

2—0

解析：選AC當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為口=2,故直線方程為y=2x,Fp2x-y

=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為\+馬=1,代入點(diǎn)(1,2),可得［=1，解得。=

—1,直線方程為x—y+l=0,故所求直線方程為2x一y=0或x—y+l=0.故選A、C.

10.直線x—y+m=0與圓x2+y2—2x—l=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的充分不必要條件可以

是()

A.OV/nVlB.m<\

C.-2</n<lD.—3</w<l

解析：選AC圓x2+j2-2x-l=0的圓心為(1,0),半徑為也.因?yàn)橹本€x-j+m=O

與圓產(chǎn)+產(chǎn)-2*—1=。有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以直線與圓相交，因此圓心到直線的距離d

=隼瞿〈市，所以|1+，川<2,解得一3<mVl,求其充分條件，即求其子集，故由選項(xiàng)

\1+1

易得A、C符合.故選A、C.

11.已知圓C:(x—3)2+(j—3)2=72,若直線/：x+y一機(jī)=0垂直于圓C的一條直徑，

且經(jīng)過這條直徑的一個(gè)三等分點(diǎn)，則直線I的方程是()

A.x+y—2=0B.x+j—4=0

C.x+y-8=0D.x+j-10=0

解析：選AD根據(jù)題意，圓C:(x-3)2+(y-3)2=72,其圓心C(3,3),半徑r=6取,

若直線/:x+y—?i=0垂直于圓C的一條直徑，且經(jīng)過這條直徑的一個(gè)三等分點(diǎn)，則圓心

到直線的距離為2吸，則有d==2y［2,變形可得|6—，川=4,解得m=2或10,即/

yjl+1

的方程為x+j—2=0或x+y—10=0.

12.已知直線八：x—y—1=0,動(dòng)直線，2：(A+l)x+Ay+?=O(AUR),則下列結(jié)論正確

的是()

A.存在A,使得L的傾斜角為90。

B.對任意的A,6與，2都有公共點(diǎn)

C.對任意的A,八與，2都不重合

D.對任意的A,6與/2都不垂直

解析：選ABD對于動(dòng)直線機(jī)(k+l)x+ky+k=O(kGR),當(dāng)《=0時(shí)，斜率不存在,

3一,一］=0,

傾斜角為90。，故A正確；由方程組,,,可得(2A+l)x=0,對任意的上

(k+l)x+ky+k=Qf

1k1kk

此方程有解，可得公與，2有交點(diǎn)，故B正確；因?yàn)楫?dāng)兒=-5時(shí)，丁=三=三成立，此

人+1

時(shí)與，2重合，故C錯(cuò)誤；由于直線/1：X—J—1=0的斜率為1,動(dòng)直線h的斜率為二二=

故對任意的A,人與，2都不垂直，故D正確.

第II卷(非選擇題，共90分)

三'填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.若過點(diǎn)P(1—a,1+a)與點(diǎn)。(3,2a)的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

2a—(1+a)a_1

解析：k=3-(l-a)=^+2<0>得一2<"1.

答案:(-2,1)

14.若兩平行直線3x-2y-l=0,6x+aj+e=0之間的距離為喈，則中的值為

解析：由題意，得q=冬工4,所以〃=-4,cW—2.所以直線6x+ay+c=0的方程

臥1|_2而

可化為3x-2y+1=0.由兩平行線間的距離公式，得即^+1=2,解得c

行一13，

c+2

=2或一6,所以a.=_［或］?

答案：一1或1

15.若圓。：產(chǎn)+儼=5與圓。］：(x-wi)2+y2=20(niGR)相交于A,5兩點(diǎn)，且兩圓在

點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長為

解析：連接。Oi,記AB與0。1的交點(diǎn)為C,如圖所示，在

RtZiOOiA中，|04|="，|0M|=2壽，.\|00i|=5,：.\AC\=^X^

=2,：.\AB\=4.

答案：4

16.已知直線/：/nx—y=1,若直線I與直線x+m(m—l)y=2垂直,則機(jī)的值為

動(dòng)直線/：mx—y=l被圓C：*2—2x+y2-8=0截得的最短弦長為.

解析：因?yàn)橹本€mx-y=1與直線x+m(m—l)y=2垂直，所以機(jī)義1

十(—l)X/n(/n—1)=0.解得m=0或m=2.

動(dòng)直線/:mx—y=l過定點(diǎn)(0,-1),圓C:J—2x+y2—8=0化為

(X—l)2+j2=9,圓心(1,0)到直線mx—y—1=0的距離的最大值為

^(0-1)2+(-1-0)2=^2,所以動(dòng)直線/被圓C截得的最短弦長為2、/9二(啦歹=2#.

答案：0或22s

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知直線/經(jīng)過點(diǎn)P(—2,1),且與直線x+y=0垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)若直線m與直線1平行且點(diǎn)P到直線m的距離為也，求直線m的方程.

解：(1)由題意得直線/的斜率為1,

故直線/的方程為y-l=x+2,即jr~y+3=0.

(2)由直線股與直線，平行，

可設(shè)直線m的方程為x—y+c=0,

由點(diǎn)到直線的距離公式得L21+,1=6,

即|c一3|=2,解得c=l或c=5.

故直線m的方程為x—y+l=0或X—j+5=0.

18.(本小題滿分12分)已知從圓外一點(diǎn)P(4,6)作圓。：/+/=1的兩條切線，切點(diǎn)分

別為A,B.

(1)求以0尸為直徑的圓的方程；

(2)求直線AB的方程.

解：(1)；所求圓的圓心為線段。尸的中點(diǎn)(2,3),

22

半徑為翔P|=1^/(4-0)+(6-0)=V13>

...以。尸為直徑的圓的方程為(x-2產(chǎn)+(y—3/=13.

(2)\'PA,PB是圓O:x2+y=i的兩條切線，

：.OA±PA,OBJ-PB,

：.A,8兩點(diǎn)都在以。尸為直徑的圓上.

x2+j2=l,

由‘7」z得直線A8的方程為4x+6y-l=0.

l(x-2)2+O-3)2=13,

19.(本小題滿分12分)如圖，已知點(diǎn)4(2,3),8(4,1),△A8C是以43為底邊的等腰三

角形，點(diǎn)C在直線/：x-2j+2=0±.

(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程;

(2)求△ABC的面積.

解：(1)由題意可知，E為48的中點(diǎn),

.,.￡(3,2),且kcE=-=1,

.?.CE所在直線方程為：y-2=x~3,即x-y-l=O.

x-2j+2=0,

(2)由得C(4,3),：.\AC\=\BC\=2,AC±BC,

x-1=0,

：.S^ABC=^\AC\-\BC\=2.

20.(本小題滿分12分)已知過點(diǎn)4(0,1)且斜率為k的直線I與圓C：(x-2)2+(j-3)2

=1交于M,N兩點(diǎn).

(1)求々的取值范圍；

(2)若蘇?蘇=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

解：(1)由題設(shè)可知直線/的方程為y=Ax+L

因?yàn)橹本€/與圓C交于兩點(diǎn)，

解得學(xué)VAV苧.

(4-巾4+V7J

所以A的取值范圍為

(2)設(shè)M(X1,Jl),N(X2,J2).

將^=h+1代入方程(*-2)2+3-3)2=1,

整理得(1+爐)*2-4(1+#)*+7=0.

4(1+?)

所以Xl+X2=l+k2，X1X2=H-F

由題設(shè)可得4c1+8=12,解得A=l,

所以直線/的方程為y=x+l.

故圓心C在直線/上，所以|MN|=2.

21.(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2+?/x—2與x軸交于A,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),當(dāng)機(jī)變化時(shí)，解答下列問題：

(1)能否出現(xiàn)AC_LBC的情況？說明理由；

(2)證明過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.

解：(1)不能出現(xiàn)AC_L3C的情況，理由如下：

設(shè)A(Xi,O),3(X2,0),則xi,必滿足好+加X一2=0,

所以X\X2=—2.

又。的坐標(biāo)為(0,1),

故AC的斜率與BC的斜率之積為」?」=一；,

所以不能出現(xiàn)ACJL8C的情況.

(2)證明：由(1)知8c的中點(diǎn)坐標(biāo)為g,

可得BC的中垂線方程為j-1=x2(x-§).

由(1)可得Xl+X2=一機(jī)，

所以AB的中垂線方程為x=-J.

所以過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(一號(hào)，~1),半徑r=返王2

故圓在y軸上截得的弦長為24/^一倒2=3,即過A,B,C三點(diǎn)的圓在)軸上截得的

弦長為定值.

22.(本小題滿分12分)已知圓V：*2+&-4)2=%尸是直線/：*一27=0上的動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)P作圓M的切線R1,切點(diǎn)為A.

(1)當(dāng)切線尸4的長度為2小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(2)若△以M的外接圓為圓N,試問：當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求

出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

解：(1)由題可知圓M的圓心為M(0,4),半徑r=2.

設(shè)P(2b,b),因?yàn)楣菆AM的一條切線，所以NM4P=90°.

在RtZkMAP中，附尸|2=|4必2+|4川2,故|MP|=422+(25>=4.

又|MP|=y](0-2b)2+(4-b)2=\l5b2~Sb+16,

所以年5b2—85+16=4,解得b=0或也

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0)或借，

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2瓦b).

因?yàn)镹MAP=90。，所以△RUf的外接圓圓N是以MP為直徑的圓，

且MP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(力，嚀個(gè))，

所以圓N的方程為(x—4+G—號(hào)＞=些邛二空，

即(2x+y-4)萬一(好+了2-4田=0.

8

2x+v—4=0,[x=0,x=5,

由L「解得‘或4

x2+j2-4j=o,|j=4,4

所以圓N過定點(diǎn)(0,4)和《，。

B卷

本試卷分第I卷和第II卷兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

第I卷(選擇題，共60分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知直線Aax+3y+l=0,l2：2x+(a+l)y+l=0互相平行，則a的值是()

A.-3B.2

C.-3或2D.3或一2

a(a+l)=2X3,

解析：選A由直線/i與，2平行，可得"解得a=-3.

[aXl#2,

2.直線/過點(diǎn)(一3,0),且與直線y=2x—3垂直，則直線，的方程為()

A.y=一；(x—3)B.y=_g(x+3)

C.j=^(x—3)D.y=；(x+3)

解析：選B因?yàn)橹本€y=2x—3的斜率為2,所以直線I的斜率為一；.又直線I過點(diǎn)(一

3,0),故所求直線的方程為y=—；(x+3),選B.

3.已知P,。分別是直線3x+4y—5=0與6x+8y+5=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值

解析：選B由于所給的兩條直線平行，所以|PQ|的最小值就是這兩條平行直線間的距

|-10-5|_33

離.由兩條平行直線間的距離公式，得"=即IPQ的最小值為卓

,^62+822,

4.半徑長為6的圓與x軸相切，且與圓/+&-3)2=1內(nèi)切，則此圓的方程為()

A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x±4)2+(y-6)2=6

C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x±4)2+(y-6)2=36

解析：選D，.?半徑長為6的圓與x軸相切，設(shè)圓心坐標(biāo)為3,/>),則>=6.再由#)+32

=5,可以解得〃=±4,故所求圓的方程為(x±4)2+(y-6)2=36.

5.直線/i與直線b：3x+2y-12=0的交點(diǎn)在x軸上，且/」/2，則直線6在y軸上的

截距是()

A.-4B.4

8

3

3

解析：選C設(shè)直線11的斜率為ki,直線，2的斜率為k2,則k2=-^.'：h±l2,：.kxk2

1122

=—1,；?如=一記=——,設(shè)直線Zi的方程為y=~^x+b9直線，2與2軸的交點(diǎn)為(4,0),將

-2

8

點(diǎn)(4,0)代入h方程，得力=~y

6.在直三棱柱A8C-A1B1G中，BAVCA,AiA=BA=CA,點(diǎn)M,N分別是AC,AB

的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作平面a,使得a〃4",a/ZBtN,若aCZJiG=P,則潦的值為()

A,2B,3

C-4D'5

解析：選B因?yàn)锳8,AC,44兩兩垂直，

所以以4為原點(diǎn)，以45,AC,A4為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，

設(shè)48=2,則腦宓=(0,1,-2),萬方=(-1,0,-2),

設(shè)需="，則&=冠+下予

=(0,。,2)+苗(2,-2,0)=島,范,2),

因?yàn)閍〃AtM,a//BtN,所以存在實(shí)數(shù)x,y,

使得&=xE+y后百，

i+〃=p，

由向量相等的充要條件得4~2//

]+〃一占

、2=—2x-27，

消去X，y得饋+饋=2,所以〃4即需4

7.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且

都垂直于45.已知A8=4,AC=6,BO=8,CD=2y[17,則該二面角的大小為（）

A.150°B.45°

C.60°D.120°

解析：選C因?yàn)樾?"7聲=0,~AB^BD=(),

所以由詬，

兩邊平方得，Cl>2=C42+1ZB2+^2+2(C^-^+ABBP+CA-BP),

所以(2亞產(chǎn)=62+42+82+2X6X8cos(CA,~BD),

所以cos{CA,~BD}=-1,

所以〈言，BD>=120°,

因?yàn)槎娼堑拇笮殇J角，所以該二面角的大小為60°.

8.已知圓G：(*—2)2+。-3)2=1,圓C2：(*—3)2+&-4)2=9,M,N分別是圓Ci,

C2上的動(dòng)點(diǎn)，尸為》軸上的動(dòng)點(diǎn)，貝!l|PM+|PN|的最小值為（）

A.5A/2-4B.V17-1

C.6-272D.V17

解析：選A圓G,C2的圖象如圖所示.

設(shè)P是x軸上任意一點(diǎn)，則1PM的最小值為同理|PN|

的最小值為|PCz|-3,則|PM|+|PN|的最小值為|尸GI+IPC2I—4.作G

關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C'i（2,—3）,連接C'C2,與x軸交于點(diǎn)尸，

22

連接PG,可知IPC1I+IPC2I的最小值為|C'IC2|=^（3-2）+（4+3）

=5巾,則IPM+IPM的最小值為“I-4.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0

分）

9.以下四組向量是平面a,/?的法向量，則能判斷a,/?平行的是（

A.a=(l,2,l),-2,3)

B?〃=(8,4,—6),)=(4,2,—3)

C.a=(O,l,—1),辦=(0,—3,3)

D.4=(18,19,20),b=(l9-2,1)

解析：選BC因?yàn)樵谶x項(xiàng)B中Q=2瓦所以Q〃兒所以Q〃夕，選項(xiàng)C中一3a=心所

以〃〃夕，而選項(xiàng)A、D中。不平行于瓦所以a不平行于“，所以只有選項(xiàng)B、C能判斷”，

夕平行.

10.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線A：ar+y+Z>=0和直線，2：bx+y+a=0不可能

是()

解析：選ACD由題意/i：y=—ax—瓦h(yuǎn)：y=—bx—a,當(dāng)a,，同號(hào)時(shí)，li與lz的

斜率與截距也同號(hào)，此時(shí)選項(xiàng)A、C不可能正確，選項(xiàng)B正確；當(dāng)a,萬異號(hào)時(shí)，/i與L的

斜率與截距也異號(hào)，此時(shí)選項(xiàng)D不可能正確.

11.實(shí)數(shù)x,y滿足*2+爐+2*=0,則下列關(guān)于土的判斷正確的是()

的最大值為審B.告的最小值為一,

C.士■的最大值為卓D.士■的最小值為一坐

X1,JXLJ

解析：選CD由/+丁2+2%=0得(X—l)2+y2=],表示以(一1,0)為圓心、1為半徑的

圓，告表示圓上的點(diǎn)(X,y)與點(diǎn)(1,0)連線的斜率，易知，土最大值為半，最小值為一筆

12.已知正方體ABC。-481Goi的棱長為1,則下列命題中正確的是()

A.異面直線A"與80所成角的正弦值為

B.直線AOi與平面8DG平行

C.正方體外接球的表面積為3TT

D.aG與平面8OG所成角的正弦值為坐

解析：選BCD如圖所示，在正方體A3CZ)-Ai51Goi中，連接AB”BtDi,BD,ADi,

BG,AC

因?yàn)锽D//BtDi,

所以NAOiBi就是異面直線與8。所成角.

又NAOiBi=60°,

所以異面直線AS與80所成角的正弦值為坐，A錯(cuò)誤.

因?yàn)锳0i〃BG,AD值平面BDCi,8GU平面BDC\,

所以AOi〃平面BOG,B正確.

正方體外接球的直徑為2R=小，

所以K=V，5=4兀k=3兀，C正確.

以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,1,0),4(1,0,1),Ci(0,l,l).

所以耐=(1,-1,1),fiiCi=(-1,0,0).

因?yàn)镃41J-平面BDCi,

所以有為平面5DG的法向量，萬君與南夾角的余弦值的絕對值即為81G與平面

8OG所成角的正弦值Icos<CAt,瓦西〉|=向===坐,D正確.

|C4111c向|W

第II卷(非選擇題，共9()分)

三'填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上)

13.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓Q：x2+y2-4ax+2ay+5a2-l=0上所有的點(diǎn)都在第

二象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：依題意，圓2的方程可化為(x—2a)2+(y+a)2=l,圓心為。(2a,—。)，半徑為

2a<—l,

r=l.若圓。上所有的點(diǎn)都在第二象限內(nèi)，貝M解得“V-L

—a>l,

答案：(-8,—1)

14.已知空間直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A,B,Mf點(diǎn)A與點(diǎn)3關(guān)于點(diǎn)M對稱，且已知A點(diǎn)

的坐標(biāo)為(3,2,1),M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3,1),則3點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)8點(diǎn)的坐標(biāo)為(X,j,z),則有斗。=4,上要=3,毛工=1,解得x=5,j=4,

Z=l,

故8點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,4,1).

答案：(5,4,1)

15.在長方體AZfCD-AiBiGOi中，AD=AAt=l,AB=2,點(diǎn)E在棱A8上移動(dòng)，則直

線。必與4。所成角的大小是,若OiEJLEC,則AE=.

解析：長方體48co-451GO1中以。為原點(diǎn)，04為x軸，OC為y軸，05為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，又AO=A4=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，

則0(0,0,0),01(0,0,1),41,0,0),

Ai(l,0,l),C(0,2,0),設(shè)E(l,/n,0),0W，〃W2,則。iE=(l,in,-1),小。=(一1,0,-

1),所以Z)iE/iO=-l+0+l=0,

所以直線DiE與AiD所成角的大小是90°,

因?yàn)橐?(1,m,-1),-EC=(-l,2-m,()),DiE±EC,

所以O(shè)iE?EC=-l+/n(2—m)+0=0,

解得，”=1,所以AE=1.

答案：90°1

16.設(shè)點(diǎn)M(xo,l),若在圓。：x2+y2=i上存在點(diǎn)N,使得NOMN=45。，則刈的取值

范圍是________

解析：由題意可知M在直線y=l上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y=l與圓好+產(chǎn)

=1相切于點(diǎn)P(0,l).當(dāng)xo=O即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，顯然圓上存在點(diǎn)

N(±l,0)符合要求；當(dāng)刈#0時(shí)，過M作圓的切線，切點(diǎn)之一為點(diǎn)尸，此

時(shí)對于圓上任意一點(diǎn)N,都有N0MNWN0MP,故要存在NOMN=45。，

只需NOMP245。.特別地，當(dāng)NOMP=45。時(shí)，有x0=±l.結(jié)合圖形可知，符合條件的xo的

取值范圍為[-1,1].

答案：[-1,1]

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟)

17.(本小題滿分1()分)已知直線/的傾斜角為135。，且經(jīng)過點(diǎn)P(l,l).

(1)求直線/的方程；

(2)求點(diǎn)A(3,4)關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo).

解：(l)V*=tan1350=-1,

：.l:j—1=—(x-1),即x+y—2=0.

(2)設(shè)A'(a,b),

解得a=-2,b=~~T,

：.A'的坐標(biāo)為(一2,-1).

18.(本小題滿分12分)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(—1,0),8(1,0),C(3,2),其外接圓為

圓H.

(1)求圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/過點(diǎn)C,且被圓〃截得的弦長為2,求直線/的方程.

解：⑴設(shè)圓”的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

ri-D+F=0,fD=0,

則由題意，可知J1+0+戶=0,解得?E=-6,

19+4+3O+2E+尸=0,1尸=一1,

所以圓H的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(j-3)2=10.

⑵設(shè)圓心到直線/的距離為d,則1+/=10,所以d=3.

若直線/的斜率不存在，即LLx軸時(shí)，則直線方程為x=3,滿足題意;

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=Jt(x-3)+2,

|一34一1|4

圓心到直線/的距離為d=3,解得a=§,

yj(-l)2+k2

所以直線I的方程為4x—3y—6=0.

綜上可知，直線/的方程為x=3或4x—3y—6=0.

19.(本小題滿分12分)已知三棱柱48C-4BiG的側(cè)棱與底面邊長都相等，4在底面

ABC內(nèi)的射影為aABC的中心.

(1)求異面直線441與8c的夾角；

(2)求側(cè)棱ABt與底面A3C所成角的正弦值.

解：設(shè)。是4在底面ABC內(nèi)的射影，選焉，AC,疝作為基

向量.由已知可得笈，AC,啟兩兩間的夾角均為60°,設(shè)棱長均

為a.

⑴氯/=而(就一焉)=疝?就一疝?前

=|AAi||AC|cos600-|AAi||AB|cos60°

所以〈44i,BC)=90°,所以異面直線44i與5c的夾角為9()。.

(2)易知平面A8C的一個(gè)法向量為而，且而=7肅一緊濟(jì)一;二記，~ABx=~AB+AAX,

—?—>2

所以04?431=3層，

易求得|。4：|=乎°,\ABi\=y[3a.

所以側(cè)棱ABx與底面ABC所成角的正弦值為

leos〈而，曲〉尸典畫1=皇

104114811

20.體小題滿分12分)已知圓//被直線x-y-l=0,x+y—3=0分成面積相等的四部

分，且截x軸所得線段的長為2.

(1)求圓〃的方程；

(2)若存在過點(diǎn)尸3,0)的直線與圓”相交于M,N兩點(diǎn)，且|PM|=|MN|,求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

解：(1)設(shè)圓”的方程為(x—/〃)2+(y—")2=/&>0),

因?yàn)閳AH被直線x—y—1=0,x+y—3=0分成面積相等的四部分，所以圓心n)

一定是兩互相垂直的直線x—y—1=0,x+y—3=0的交點(diǎn)，易得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),所以/〃

=2,n=l.

又圓H截x軸所得線段的長為2,所以/=P+/=2.

所以圓”的方程為(工一2)2+@—1尸=2.

(2)設(shè)Mxo,JO),由題意易知點(diǎn)M是PN的中點(diǎn)，

所以(空,以

因?yàn)镸,N兩點(diǎn)均在圓V上，所以(xo—2產(chǎn)+60—1)2=2,①

然-。+?7>=2,

即(xo+a-4)2+(jo—2尸=8,②

設(shè)圓I:(x+a-4)2+(j-2)2=8,

由①②知圓”與圓/有公共點(diǎn)，

從而2P一小WTHITW2r+也,

即y/2W\/(a—2>+(1—2)2W3巾,

整理可得2Wa2-4a+5W18,

解得2一5&01或34。42+行，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2—亞，1]U[3,2+V17].