2020-2021學年度上學期桐城市龍河學校滬科版九年級數(shù)學期末強化訓練一、選擇題(每小題4分，共40分)1．拋物線y＝2x2＋1的對稱軸是()A．直線x＝eq\f(1,2) B．直線y＝－eq\f(1,2) C．y軸 D．直線x＝22．下列圖形不一定相似的是()A．所有的等邊三角形 B．所有的等腰直角三角形C．所有的菱形 D．所有的正方形3．若eq\f(a,b)＝eq\f(3,5)，則eq\f(a＋b,b)的值是()A.eq\f(8,5) B.eq\f(5,8) C.eq\f(2,5) D.eq\f(12,5)4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，則下列四個結論錯誤的是()A．c＞0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0第4題圖第5題圖第6題圖5．如圖，已知D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，且S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于()A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶26．如圖，把拋物線y＝x2沿直線y＝x平移eq\r(2)個單位后，其頂點在直線上的A處，則平移后的拋物線表達式是()A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－17．如圖，直線y＝mx與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于A、B兩點，過點A作AM⊥x軸，垂足為點M，連接BM，若S△ABM＝2，則k的值為()A．－2 B．2 C．4 D．－4第7題圖 第8題圖 第9題圖 第10題圖8．如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60°，又從A點測得D點的俯角β為30°，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為()A．20米 B．10eq\r(3)米 C．15eq\r(3)米 D．5eq\r(6)米9．如圖，丁軒同學在晚上由路燈AC走向路燈BD，當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當他向前再步行20m到達Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部，已知丁軒同學的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m，則兩路燈之間的距離是()A．24m B．25m C．28m D．30m10．如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把△ADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10eq\r(5)cm，且tan∠EFC＝eq\f(3,4)，那么該矩形的周長為()A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm二、填空題(每小題5分，共20分)11．平移拋物線y＝x2＋2x－8，使它經過原點，寫出平移后拋物線的一個表達式．12．對于任意實數(shù)t，拋物線y＝x2＋(2－t)x＋t必經過一定點，這個點是．13．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，且tan∠ABD＝eq\f(4,3)，則菱形ABCD的面積為cm2.第13題圖第14題圖14．如圖，已知矩形OABC的面積為eq\f(100,3)，它的對角線OB與雙曲線y＝eq\f(k,x)相交于點D，且OB∶OD＝5∶3，則k＝．三、解答題(共90分)15．(8分)求二次函數(shù)y＝x2－5x＋6與坐標軸的交點坐標及函數(shù)的最小值．16．(8分)如圖，已知菱形AMNP內接于△ABC，M、N、P分別在AB、BC、AC上，如果AB＝21cm，AC＝15cm，求菱形AMNP的周長．17．(12分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.(1)求eq\f(AD,AB)的值；(2)若BD＝10，求sin∠A的值．18．(12分)已知關于x的一元二次方程x2＋2x＋eq\f(k－1,2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，k為正整數(shù)．(1)求k的值；(2)當此方程有一根為零時，直線y＝x＋2與關于x的二次函數(shù)y＝x2＋2x＋eq\f(k－1,2)的圖象(如圖)交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次數(shù)的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標．19．(12分)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.連接BD，AE⊥BD，垂足為E.(1)求證：△ABE∽△DBC；(2)求線段AE的長．20．(10分)在與水平面夾角是30°的斜坡的頂部，有一座豎直的古塔，如圖是平面圖，斜坡的頂部CD是水平的，在陽光的照射下，古塔AB在斜坡上的影長DE為18米，斜坡頂部的影長DB為6米，光線AE與斜坡的夾角為30°，求古塔的高(eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．21．(14分)如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與雙曲線y＝eq\f(a,x)(a≠0，x＞0)分別交于D、E兩點．(1)若點D的坐標為(4，1)，點E的坐標為(1，4)；①分別求出直線l與雙曲線的表達式；②若將直線l向下平移m(m＞0)個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？(2)假設點A的坐標為(a，0)，點B的坐標為(0，b)，點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．22．(14分)(資陽中考)已知直線y＝kx＋b(k≠0)過點F(0，1)，與拋物線y＝eq\f(1,4)x2相交于B、C兩點．(1)如圖，當點C的橫坐標為1時，求直線BC的表達式；(2)在(1)的條件下，點M是直線BC上一動點，過點M作y軸的平行線，與拋物線交于點D，是否存在這樣的點M，使得以M、D、O、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 題圖答圖參考答案一、選擇題(每小題4分，共40分)1．拋物線y＝2x2＋1的對稱軸是(C)A．直線x＝eq\f(1,2) B．直線y＝－eq\f(1,2) C．y軸 D．直線x＝22．下列圖形不一定相似的是(C)A．所有的等邊三角形 B．所有的等腰直角三角形C．所有的菱形 D．所有的正方形3．若eq\f(a,b)＝eq\f(3,5)，則eq\f(a＋b,b)的值是(A)A.eq\f(8,5) B.eq\f(5,8) C.eq\f(2,5) D.eq\f(12,5)4．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，則下列四個結論錯誤的是(D)A．c＞0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0第4題圖第5題圖第6題圖5．如圖，已知D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，且S△ADE∶S四邊形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于(B)A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶26．如圖，把拋物線y＝x2沿直線y＝x平移eq\r(2)個單位后，其頂點在直線上的A處，則平移后的拋物線表達式是(C)A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－17．如圖，直線y＝mx與雙曲線y＝eq\f(k,x)交于A、B兩點，過點A作AM⊥x軸，垂足為點M，連接BM，若S△ABM＝2，則k的值為(A)A．－2 B．2 C．4 D．－4第7題圖 第8題圖 第9題圖 第10題圖8．如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60°，又從A點測得D點的俯角β為30°，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為(A)A．20米 B．10eq\r(3)米 C．15eq\r(3)米 D．5eq\r(6)米9．如圖，丁軒同學在晚上由路燈AC走向路燈BD，當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當他向前再步行20m到達Q點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部，已知丁軒同學的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m，則兩路燈之間的距離是(D)A．24m B．25m C．28m D．30m10．如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把△ADE沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，已知折痕AE＝10eq\r(5)cm，且tan∠EFC＝eq\f(3,4)，那么該矩形的周長為(A)A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm二、填空題(每小題5分，共20分)11．平移拋物線y＝x2＋2x－8，使它經過原點，寫出平移后拋物線的一個表達式如y＝x2＋2x(答案不唯一，a＝1，c＝0即可)．12．對于任意實數(shù)t，拋物線y＝x2＋(2－t)x＋t必經過一定點，這個點是(1，3)．13．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，且tan∠ABD＝eq\f(4,3)，則菱形ABCD的面積為24cm2.第13題圖第14題圖14．如圖，已知矩形OABC的面積為eq\f(100,3)，它的對角線OB與雙曲線y＝eq\f(k,x)相交于點D，且OB∶OD＝5∶3，則k＝12．三、解答題(共90分)15．(8分)求二次函數(shù)y＝x2－5x＋6與坐標軸的交點坐標及函數(shù)的最小值．解：與x軸交點坐標為(2，0)，(3，0)，與y軸交點坐標為(0，6)，最小值為－eq\f(1,4).16．(8分)如圖，已知菱形AMNP內接于△ABC，M、N、P分別在AB、BC、AC上，如果AB＝21cm，AC＝15cm，求菱形AMNP的周長．解：∵四邊形AMNP是菱形，∴AM＝MN，MN∥AC，∴△ABC∽△MBC，∴eq\f(MN,AC)＝eq\f(BM,AB)，設AM＝MN＝xcm，則eq\f(x,15)＝eq\f(21－x,21)，∴x＝eq\f(35,4)，∴菱形AMNP的周長＝eq\f(35,4)×4＝35(cm)．17．(12分)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.(1)求eq\f(AD,AB)的值；(2)若BD＝10，求sin∠A的值．解：(1)eq\f(1,3)；(2)由(1)知eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(1,2)，∴AD＝eq\f(1,2)BD＝5，∴AB＝15，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5).18．(12分)已知關于x的一元二次方程x2＋2x＋eq\f(k－1,2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，k為正整數(shù)．(1)求k的值；(2)當此方程有一根為零時，直線y＝x＋2與關于x的二次函數(shù)y＝x2＋2x＋eq\f(k－1,2)的圖象(如圖)交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次數(shù)的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標．解：(1)∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝4－4×eq\f(k－1,2)＞0，∴k－1＜2.∴k＜3，∵k為正整數(shù)，∴k為1，2.(2)把x＝0代入方程x2＋2x＋eq\f(k－1,2)＝0得k＝1，此時二次函數(shù)為y＝x2＋2x，此時直線y＝x＋2與二次函數(shù)y＝x2＋2x的交點為A(－2，0)，B(1，3)由題意可設M(m，m＋2)，其中－2＜m＜1，則N(m，m2＋2m)，MN＝m＋2－(m2＋2m)＝－m2－m＋2＝－(m＋eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4).∴當m＝－eq\f(1,2)時，MN的長度最大值為eq\f(9,4).此時點M的坐標為(－eq\f(1,2)，eq\f(3,2))．19．(12分)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.連接BD，AE⊥BD，垂足為E.(1)求證：△ABE∽△DBC；(2)求線段AE的長．(1)證明：證∠ABE＝∠ADB＝∠DBC，又∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC；(2)解：∵AB＝AD，AE⊥BD，∴BD＝2BE，由△ABE∽△DBC，得eq\f(AB,BD)＝eq\f(BE,BC)，eq\f(AB,2BE)＝eq\f(BE,BC)，2BE2＝AB·BC，解得BE＝20，∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝15.20．(10分)在與水平面夾角是30°的斜坡的頂部，有一座豎直的古塔，如圖是平面圖，斜坡的頂部CD是水平的，在陽光的照射下，古塔AB在斜坡上的影長DE為18米，斜坡頂部的影長DB為6米，光線AE與斜坡的夾角為30°，求古塔的高(eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．解：AB＝(18＋6eq\r(3))≈28.2米．21．(14分)如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與雙曲線y＝eq\f(a,x)(a≠0，x＞0)分別交于D、E兩點．(1)若點D的坐標為(4，1)，點E的坐標為(1，4)；①分別求出直線l與雙曲線的表達式；②若將直線l向下平移m(m＞0)個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？(2)假設點A的坐標為(a，0)，點B的坐標為(0，b)，點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．解：(1)①把D(4，1)代入y＝eq\f(a,x)得a＝4，所以反比例函數(shù)表達式為y＝eq\f(4,x)(x＞0)；設直線l的表達式為y＝kx＋t，把D(4，1)，E(1，4)代入得直線l的表達式為y＝－x＋5；②直線l向下平移m(m＞0)個單位得到y(tǒng)＝－x＋5－m，當方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,x)，,y＝－x＋5－m))只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，化為關于x的方程得x2＋(m－5)x＋4＝0，Δ＝(m－5)2－4×4＝0，解得m1＝1，m2＝9，而m＝9時，解得x＝－2，故舍去，所以當m＝1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點；(2)作DF⊥x軸，∵點D為線段AB的n等分點，∴DA∶AB＝1∶n，∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO，∴eq\f(AF,AO)＝eq\f(DF,BO)＝eq\f(AD,AB)，即eq\f(AF,a)＝eq\f(DF,b)＝eq\f(1,n)，∴AF＝eq\f(a,n)，DF＝eq\f(b,n)，∴OF＝a－eq\f(a,n)，∴D點坐標為(a－eq\f(a,n)，eq\f(b,n))，把D(a－eq\f(a,n)，eq\f(b,n))代入y＝eq\f(a,x)得(a－eq\f(a,n))·eq\f(b,n)＝a，解得b＝eq\f(n2,n－1).22．(14分