PAGEPAGE9云南省水富縣云天化中學2024-2025學年高二數學下學期期中試題理本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（客觀題）兩部分，共4頁。考生作答時，將答案答在答題卡上（答題留意事項見答題卡），在本試卷上答題無效，試卷滿分150分，考試時間120分鐘。留意事項：1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清晰，并請仔細填涂準考證號。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。答在試卷上的答案無效。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）起先結束S=1，i=1S=S+2ii=i+1i>4?否是起先結束S=1，i=1S=S+2ii=i+1i>4?否是輸出S（第5題圖）2．復數的虛部為（）A．B．C．1D．3．“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件4．從集合中任取一個元素，記為；從集合中任取一個元素中，記為．事務發生的概率為（）A．B．C．D．424223正視圖側視圖俯視圖（第7題圖）A．15B．31C．32D．636．在中，已知，，則等于（）A．B．2C．D．47．一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積（）A．B．C．D．8．已知函數，若曲線在點處的切線為，則（）A．－2B．2C．－3D．39．已知，則（）A．B．C．D．10．三棱錐中，底面為邊長為6的正三角形，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．B．C．D．OxyAOxyABNMl（第11題圖），射線與拋物線及直線分別交于點，設，則的值為（）A．B．C．D．12．已知是定義域為的非負可導函數，其導數滿意，記，，，則（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．已知實數滿意則的最小值為．14．若函數在區間上的值域為，則的取值范圍為．15．過雙曲線的左焦點作圓的一條切線，記切點為，切線與雙曲線的右支的交點為，若恰好為線段的中點，則雙曲線的離心率為．16．設函數（R），若對隨意的實數，不等式都成立，則實數的取值范圍為．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）設為等差數列，其前項和記為，已知，．（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和．18．（本小題滿分12分）在中，分別是內角的對邊，已知．（1）求角的大小；（2）若，且的面積為，求的值．19．（本小題滿分12分）如圖，在幾何體中，平面，，且，為的中點．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．AABCDEM20．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的方程；（2）設過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，求當的面積取得最大值時的值．21．（本小題滿分12分）已知函數（R）．（1）探討的單調性；（2）當時，若方程（R）恰好有兩個實根（），求證：．22．（本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，已知直線．以坐標原點為極點、以軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）寫出圓的直角坐標方程及對應的參數方程；（2）當直線經過點時，設與圓的兩個交點為，求的值．

云天化中學2024—2025學年春季學期期中測試高二年級理科數學參考答案與評分標準時限：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1．B2．C．3．A4．C5．B6．D7．A8．D9．C10．A11．D12．B【答案提示】12．由得，即，記，則在遞減．記，則，所以在上遞減，又，，，所以．結合的單調性得，所以選B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．14．15．16．【答案提示】16．，所以在R遞減；又易知，所以為奇函數．于是有．記，則．由不等式恒成立得解得．三、解答題：本大題共6小題，共70分．17．解：（1）由得，所以，公差，首項，所以．………………6分（2）．…8分所以．……………12分18．解：（1）由條件結合正弦定理得．……………2分整理得．………3分所以，…………………5分又，所以．……6分（2）由條件得，即，所以．………8分又因為，，所以．…10分ABCDEMFyzxABCDEMFyzx19．（1）證明：取的中點，連接，．因為分別是的中點，所以．又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以．……………4分又因為平面，平面，所以平面．……………5分（2）由，，得，所以．如圖建立空間直角坐標系，，，，．……6分易知平面的一個法向量為．……………8分設平面的一個法向量為，由，得可取．………………10分所以，所以二面角的余弦值為．………12分20．解：（1）由題意得，，………………2分所以，橢圓的方程為．……4分（2）直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得．…………5分由題意，，設，則，．………………6分弦長，點到直線的距離，所以的面積……………7分．……9分令，則，當且僅當時取等號．所以，對應的，可解得，滿意題意．………12分21．解：（1）的定義域為，．…1分當時，，所以在遞增．…………2分當時，，，所以在遞增，在遞減．………4分綜上：當時，在遞增；當時，在遞增，在遞減．………………5分（2）【解法一】時，方程即為．記，．可得在遞減，在遞增．…7分由題意，可知．．因為，，在遞增，故只需證，即，亦即．①構造函數，則，所以在遞減，得，故①式成立，所以成立．…………12分【解法二】時，方程即為．由題意，所以，變形得．……………7分．令，則不等式即為．①…………………9分記，則，所以在遞增，所以．故①式成立，所以成立．……………12分22．解：（1）圓的直角坐標方程為．…