PAGE模塊綜合測評(一)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若向量a＝(1，0，z)與向量b＝(2，1，2)的夾角的余弦值為eq\f(2,3)，則z＝()A．0B．1C．－1D．2A[由題意可知cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2＋2z,\r(1＋z2)×\r(4＋1＋4))＝eq\f(2,3)，解得z＝0，故選A．]2．已知四面體ABCD的全部棱長都是2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(BA,\s\up9(→))＝()A．1B．－1C．eq\r(3)D．－eq\r(3)B[如圖所示，eq\o(EF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))，所以eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))·(－eq\o(AB,\s\up9(→)))＝－eq\f(1,2)×2×2×cos60°＝－1，故選B．]3．若A(－2，3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三點(diǎn)共線，則m的值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－2D．2A[由eq\f(－2－3,3－－2)＝eq\f(m＋2,\f(1,2)－3)，解得m＝eq\f(1,2)．]4．若P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0D[圓心C(1，0)，kPC＝eq\f(0－－1,1－2)＝－1，則kAB＝1，AB的方程為y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故選D．]5．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為()A．eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C．eq\f(16,3)D．eq\f(8,3)A[拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1，0)，故雙曲線的一個焦點(diǎn)是(1，0)，所以m＋n＝1，且eq\f(1,\r(m))＝2，解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(3,4)，故mn＝eq\f(3,16)．]6．阿基米德誕生于希臘西西里島敘拉古，享有“力學(xué)之父”的美稱，和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他利用“靠近法”得到橢圓的面積等于圓周率、橢圓的半長軸長、橢圓的半短軸長三者的乘積．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的面積為8π，直線l過橢圓C的兩個頂點(diǎn)，且橢圓的中心到直線l的距離為eq\f(4\r(34),17)，則橢圓C的方程為()A．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,14)＝1C．eq\f(x2,64)＋y2＝1 D．eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,2)＝1D[依題意，8π＝ab·π，故ab＝8．①不妨設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，則橢圓的中心到直線l的距離為eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(4\r(34),17)，解得a2＋b2＝34，②聯(lián)立①②，解得a＝4eq\r(2)，b＝eq\r(2)，故橢圓C的方程為eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,2)＝1．故選D．]7．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),6) D．eq\f(\r(2),3)A[∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C與底面所成角，∴∠BCB1＝60°．∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D與底面所成的角，∴∠CDC1＝45°．連接A1D，A1C1(圖略)，則A1D∥B1C．∴∠A1DC1或其補(bǔ)角為異面直線B1C與C1D所成的角．不妨設(shè)BC＝1，則CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝eq\r(3)＝CD，∴C1D＝eq\r(6)，A1C1＝2．在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝eq\f(\f(1,2)C1D,A1D)＝eq\f(\r(6),4)．]8．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是()A．eq\f(\r(6)a,6)B．eq\f(\r(3)a,6)C．eq\f(\r(3)a,4)D．eq\f(\r(6)a,3)A[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，∴eq\o(DM,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，eq\o(DB,\s\up9(→))＝(a，a，0)，eq\o(DA1,\s\up9(→))＝(a，0，a)．設(shè)平面MBD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(a,2)z＝0，,ax＋ay＝0，))令x＝1，則可得n＝(1，－1，－2)．∴d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up9(→))·n|,|n|)＝eq\f(|a－2a|,\r(6))＝eq\f(\r(6),6)a．]二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，則下列說法正確的是()A．若l1∥l2，則m＝－1或m＝3B．若l1∥l2，則m＝3C．若l1⊥l2，則m＝－eq\f(1,2)D．若l1⊥l2，則m＝eq\f(1,2)BD[直線l1∥l2，則3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，但m＝－1時，兩直線方程分別為x－y－1＝0，－3x＋3y＋3＝0即x－y－1＝0，兩直線重合，只有m＝3時兩直線平行，A錯，B正確；l1⊥l2，則m－2＋3m＝0，m＝eq\f(1,2)，C錯，D正確．故選BD．]10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0．若直線y＝k(x＋1)上存在一點(diǎn)P，使過P點(diǎn)所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的取值可以是()A．1B．2C．3D．4AB[圓C的方程為x2＋y2－4x＝0，則圓心為C(2，0)，半徑r＝2．設(shè)兩個切點(diǎn)分別為A，B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，故有PC＝eq\r(2)r＝2eq\r(2)，∴圓心到直線y＝k(x＋1)的距離小于或等于PC，即eq\f(|2k－0＋k|,\r(k2＋1))≤2eq\r(2)，解得k2≤8，可得－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，∴結(jié)合選項，實(shí)數(shù)k的取值可以是1，2．]11．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，則下列結(jié)論正確的是()A．AC⊥BDB．△ACD是等邊三角形C．AB與平面BCD所成的角為90°D．AB與CD所成的角為60°ABD[如圖，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，AC，則AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，A正確；∵AC＝eq\r(2)AO＝AD＝CD，∴△ACD是等邊三角形，B正確；易知AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB與平面BCD所成的角，為45°，C錯誤；∵eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))，不妨設(shè)AB＝1，則eq\o(AC2,\s\up9(→))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→)))2＝eq\o(AB2,\s\up9(→))＋eq\o(BD2,\s\up9(→))＋eq\o(DC2,\s\up9(→))＋2eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＋2eq\o(BD,\s\up9(→))·eq\o(DC,\s\up9(→))＋2eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(DC,\s\up9(→))，∴1＝1＋2＋1＋2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＋2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＋2cos〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))〉，∴cos〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)，∴AB與CD所成的角為60°，D正確．故選ABD．]12．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則()A．|BF|＝3 B．△ABF是等邊三角形C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線C的方程為y2＝6xBCD[因為|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，所以FA＝FB，若∠ABD＝90°，可得FA＝AB，所以可得△ABF為等邊三角形，所以B正確；過F作FC⊥AB交AB于C，則C為AB的中點(diǎn)，C的橫坐標(biāo)為eq\f(p,2)，B的橫坐標(biāo)為－eq\f(p,2)，所以A的橫坐標(biāo)為eq\f(3p,2)，代入拋物線可得y2＝3p2，|yA|＝eq\r(3)p，△ABF的面積為9eq\r(3)，即eq\f(1,2)(xA－xB)·|yA|＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)＋\f(p,2)))×eq\r(3)p＝9eq\r(3)，解得p＝3，所以拋物線的方程為y2＝6x，所以D正確；焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(3,2)×2＝3，所以C正確；此時A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(9,2)，所以BF＝AF＝AB＝eq\f(9,2)＋eq\f(3,2)＝6，所以A不正確．]三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．經(jīng)過兩條直線2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x－2y＋4＝0的直線方程為________．2x＋3y－2＝0[由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得交點(diǎn)A(－2，2)，因為所求直線垂直于直線3x－2y＋4＝0，故所求直線的斜率k＝－eq\f(2,3)，由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y－2＝－eq\f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y－2＝0．]14．從原點(diǎn)向圓x2＋y2－12y＋27＝0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為________．2π[(數(shù)形結(jié)合法)如圖，圓x2＋y2－12y＋27＝0可化為x2＋(y－6)2＝9，圓心坐標(biāo)為(0，6)，半徑為3．在Rt△OBC中可得∠OCB＝eq\f(π,3)，∴∠ACB＝eq\f(2π,3)，∴所求劣弧長為2π．]15．已知三棱錐A-BCD的全部棱長均相等，E為DC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，則直線PE與平面BCD所成角的正弦值為________，若點(diǎn)Q在棱AC所在直線上運(yùn)動，則直線QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為________________________________________________________________________________．(本題第一空2分，其次空3分)eq\f(\r(6),3)eq\f(2\r(2),3)[連接BE，AE，過A作AO⊥底面BCD，垂足為O，連接OD，則∠ADO是直線PE與平面BCD所成角(圖略)，因三棱錐A-BCD的全部棱長均相等，設(shè)棱長為2，則DO＝BO＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)eq\r(4－1)＝eq\f(2\r(3),3)，AO＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(6),3)，∴sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(\f(2\r(6),3),2)＝eq\f(\r(6),3)．∴直線PE與平面BCD所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3)．當(dāng)Q與A重合時，直線QE與平面BCD所成角正弦值取最大值，此時直線QE與平面BCD所成角為∠AEO，AE＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴直線QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為sin∠AEO＝eq\f(AO,AE)＝eq\f(\f(2\r(6),3),\r(3))＝eq\f(2\r(2),3)．]16．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，|F1F2|＝4，點(diǎn)Q(2，eq\r(2))在橢圓C上，P是橢圓C上的動點(diǎn)，則eq\o(PQ,\s\up9(→))·eq\o(PF1,\s\up9(→))的最大值為________．eq\f(9,2)[由題意可得c＝2，eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，可得F1(－2，0)，設(shè)P(x，y)，由eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，可得x2＝8－2y2，則eq\o(PQ,\s\up9(→))·eq\o(PF1,\s\up9(→))＝(2－x，eq\r(2)－y)(－2－x，－y)＝x2－4＋y2－eq\r(2)y＝－y2－eq\r(2)y＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)＋4，當(dāng)且僅當(dāng)y＝－eq\f(\r(2),2)∈[－2，2]時，eq\o(PQ,\s\up9(→))·eq\o(PF1,\s\up9(→))取得最大值為eq\f(9,2)．]四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)如圖，已知點(diǎn)A(2，3)，B(4，1)，△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在直線l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程；(2)求△ABC的面積．[解](1)由題意可知，E為AB的中點(diǎn)，∴E(3，2)，且kCE＝－eq\f(1,kAB)＝1，∴CE所在直線方程為y－2＝x－3，即x－y－1＝0．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，))得C(4，3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|·|BC|＝2．18．(本小題滿分12分)如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于E點(diǎn)，定點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是A(－2，3)，C(2，1)．(1)求以線段AC為直徑的圓E的方程；(2)若B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，－2)，求直線BC截圓E所得的弦長．[解](1)AC的中點(diǎn)E(0，2)即為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(1,2)eq\r(42＋－22)＝eq\r(5)，所以圓E的方程為x2＋(y－2)2＝5．(2)直線BC的斜率k＝eq\f(1－－2,2－－2)＝eq\f(3,4)，其方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－2)，即3x－4y－2＝0．點(diǎn)E到直線BC的距離為d＝eq\f(|－8－2|,5)＝2，所以BC截圓E所得的弦長為2eq\r(5－22)＝2．19．(本小題滿分12分)在①(eq\o(DE,\s\up9(→))＋eq\o(CF,\s\up9(→)))⊥(eq\o(DE,\s\up9(→))－eq\o(CF,\s\up9(→)))，②|eq\o(DE,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(17),2)，③0<cos〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(DB,\s\up9(→))〉<1這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中．問題：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．已知點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(0，0，2)，E為棱D1C1上的動點(diǎn)，F(xiàn)為棱B1C1上的動點(diǎn)，________，試問是否存在點(diǎn)E，F(xiàn)滿意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0？若存在，求eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))的值；若不存在，請說明理由．注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．[解]由題意，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2．則A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，設(shè)E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(xiàn)(b，2，2)(0≤b≤2)，則eq\o(EF,\s\up9(→))＝(b，2－a，0)，eq\o(A1C,\s\up9(→))＝(－2，2，－2)，eq\o(AE,\s\up9(→))＝(－2，a，2)，eq\o(BF,\s\up9(→))＝(b－2，0，2)，所以eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2(a＋b)，eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))＝8－2b．選擇①，因為(eq\o(DE,\s\up9(→))＋eq\o(CF,\s\up9(→)))⊥(eq\o(DE,\s\up9(→))－eq\o(CF,\s\up9(→)))，所以(eq\o(DE,\s\up9(→))＋eq\o(CF,\s\up9(→)))·(eq\o(DE,\s\up9(→))－eq\o(CF,\s\up9(→)))＝eq\o(DE,\s\up9(→))2－eq\o(CF,\s\up9(→))2＝0，即eq\o(DE,\s\up9(→))2＝eq\o(CF,\s\up9(→))2，即0＋(a－0)2＋(2－0)2＝(b－0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，所以a＝b．因為eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2×(a＋b)＝0，所以a＝b＝1，故存在點(diǎn)E(0，1，2)，F(xiàn)(1，2，2)，滿意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0，且eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))＝8－2b＝6．選擇②，|eq\o(DE,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(17),2)，即eq\r(a2＋22)＝eq\f(\r(17),2)，a＝eq\f(1,2)，因為eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2(a＋b)＝0，所以b＝eq\f(3,2)，故存在點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2，2))，滿意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0，且eq\o(AE,\s\up9(→))·eq\o(BF,\s\up9(→))＝8－2b＝5．選擇③，eq\o(EF,\s\up9(→))＝(b，2－a，0)，eq\o(DB,\s\up9(→))＝(2，2，0)，因為0＜cos〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(DB,\s\up9(→))〉<1，所以eq\o(EF,\s\up9(→))與eq\o(DB,\s\up9(→))不共線，所以b≠2－a，即a＋b≠2，則eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝4－2(a＋b)≠0，故不存在點(diǎn)E，F(xiàn)滿意eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(A1C,\s\up9(→))＝0．20．(本小題滿分12分)已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，離心率是eq\f(\r(6),3)，直線y＝t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓P，圓心為P．(1)求橢圓C的方程；(2)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)．[解](1)因為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1．(2)由題意知P(0，t)(－1＜t＜1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝t，,\f(x2,3)＋y2＝1))得x＝±eq\r(31－t2)，所以圓P的半徑為eq\r(31－t2)．當(dāng)圓P與x軸相切時，|t|＝eq\r(31－t2)，解得t＝±eq\f(\r(3),2)．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))．21．(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M為PC的中點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝eq\f(1,2)AD＝1，CD＝eq\r(3)．(1)求證：PQ⊥AB；(2)求二面角P-QB-M的余弦值．[解](1)證明：在△PAD中，PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，所以PQ⊥AD．因為平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD．又AB?平面ABCD，所以PQ⊥AB．(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，Q為AD的中點(diǎn)，所以四邊形BCDQ為平行四邊形．因為AD⊥DC，所以AD⊥QB．由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz如圖所示，則Q(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，eq\r(3))，C(－1，eq\r(3)，0)，B(0，eq\r(3)，0)，eq\o(QB,\s\up9(→))＝(0，eq\r(3)，0)．因為AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB，即eq\o(QA,\s\up9(→))為平面PQB的一個法向量，且eq\o(QA,\s\up9(→))＝(1，0，0)．因為M是棱PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\o(QM,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\f(\r