習題7

1求下列各極限：

（1）limn→∞1-1nn；（2）

limn→∞

（4）

limx→12x2-1-1x-1；（5）

（7）

limx→∞cosmxx；（8）

limx→解：（1）>>symsn>>y=(1-1/n)^n;>>limit(y,n,inf)ans=exp(-1)可知limn→∞1-（2）>>symsn>>y=sqrt(n^3+3^n);>>limit(y,n,inf)ans=Inf可知limn→∞（3）>>symsn>>y=sqrt(n+2)-2*sqrt(n+1);>>limit(y,n,inf)ans=-Inf可知limn→∞（4）>>symsx>>y=2/(x^2-1)-1/(x-1);>>limit(y,x,1)ans=-1/2可知

limx→12（5）>>symsx>>y=x*cot(2*x);>>limit(y,x,0)ans=1/2可知limx→0x（6）>>symsx>>y=sqrt(x^2+3*x)-x;>>limit(y,x,inf)ans=3/2可知limx→∞（7）>>symsxm;>>y=(cos(m/x))^x;>>limit(y,x,Inf)ans=1可得limx→∞cos（8）>>symsx>>y=1/x-1/(exp(1)-1);>>limit(y,x,1,'left')ans=3765219094350979/9007199254740992可知

limx→1（9）>>symsx>>y=((1+x)^(1/3)-1)/x;>>limit(y,x,0,'right')ans=1/3可知limx2求下列函數的導數：（1）

y=x+1

;（2）y=xsinxlnx;（3）

y=解：（1）>>symsx>>y=sqrt(x)+1;>>diff(y,x)ans=1/(2*x^(1/2))可得y’=12x（2）>>symsx>>y=x*sin(x)*log(x);>>diff(y,x,1)ans=sin(x)+log(x)*sin(x)+x*cos(x)*log(x)可得y’=sinx+（3）>>symsx>>y=exp(-x)*cos(x);>>simplify(diff(y,x))ans=-2^(1/2)*exp(-x)*sin(x+pi/4)可得y’=-2e（4）>>symsx>>y=1/sqrt(1+x^5);>>simplify(diff(y,x))ans=-(5*x^4)/(2*(x^5+1)^(3/2))可得y’=-5x3求下列函數的偏導數：z=x3y-xy3；（2）lntanxy；（3解：（1）>>symsxy>>z=x^3*y-x*y^3;>>diff(z,x)ans=3*x^2*y-y^3>>diff(z,y)ans=x^3-3*x*y^2可得z對x的偏導數為3x2y–y3，z（2）>>symsxy>>z=log(tan(x/y));>>diff(z,x,1)ans=(tan(x/y)^2+1)/(y*tan(x/y))>>diff(z,y,1)ans=-(x*(tan(x/y)^2+1))/(y^2*tan(x/y))可得z=lntanxy對x的偏導數為z=lntanxy對y的偏導數為–（3）>>symsuv>>z=(u^2+v^2)/(u*v);>>diff(z,u)ans=2/v-(u^2+v^2)/(u^2*v)>>diff(z,v)ans=2/u-(u^2+v^2)/(u*v^2)可得函數對u的偏導數為2/v-(u函數對v的偏導數為2/u-(u2（4）>>symsxy>>z=(1+x*y)^y;>>diff(z,x)ans=y^2*(x*y+1)^(y-1)>>diff(z,y)ans=log(x*y+1)*(x*y+1)^y+x*y*(x*y+1)^(y-1)可得函數對x的偏導數為y2函數對y的偏導數為ln4(不定積分)用int計算下列不定積分，并用diff驗證：xsinx2dx；（2）dx1+cosx；（3）解：（1）>>symsx>>y=x*sin(x^2)>>int(y,x)ans=-cos(x^2)/2可得xsinx2dx=（2）>>symsx>>y=1/(1+cos(x));>>int(y,x)ans=tan(x/2)可得dx1+cosx=（3）>>symsx>>y=1/(1+exp(x));>>int(y,x)ans=x-log(exp(x)+1)可得dx1+ex=x-ln(e（4）>>symsx>>y=asin(x);>>int(y,x)ans=x*asin(x)+(1-x^2)^(1/2)可得arcsinxdx=xarcsin(x)+(1-x（5）>>symsx>>y=(sec(x))^3;>>int(y,x)ans=log(tan(x/2+pi/4))/2+tan(x)/(2*cos(x))可得sec3xdx=ln5設曲線通過點1,1，且曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方，求此曲線．解由題意可知y’=x2，利用MATLAB命令求不定積分：>>symsx>>y=x^2;>>int(y,x)ans=x^3/3可得x2dx=x33+C，C為任意常數．因為曲線通過點可得曲線方程為y=x6(定積分)用trapz，integral計算下列定積分：（1）01sinxxdx；（2）01xxdx；（3解：（1）MATLAB命令如下：formatlongx=0:0.1:1;y=sin(x)./(x+eps);a1=trapz(x,y)fun=@(x)sin(x)./x;a2=integral(fun,0,1)運行結果：a1=0.895832071866905a2=0.946083070367183分別利用trapz、integral計算定積分，得到0.895832071866905、0.946083070367183（2）MATLAB命令如下：formatlongx=0:0.1:1;y=x.^x;a1=trapz(x,y)%梯形法求數值積分fun=@(x)x.^x;a2=integral(fun,0,1)運行結果：a1=0.787732687832388a2=0.783430510712433分別利用trapz，integral計算定積分，得到0.787732687832388，0.783430510712433．（3）MATLAB命令如下：formatlongx=0:0.1:2*pi;y=exp(x).*sin(2*x);a1=trapz(x,y)fun=@(x)exp(x).*sin(2*x);a2=integral(fun,0,2*pi)運行結果：a1=-2.095581338227059e+02a2=-2.137966622099059e+02分別利用trapz、integral計算定積分，得到-2.095581338227059×10-2.137966622099059×10（4）MATLAB命令如下：formatlongx=0:0.1:1;y=exp(-x.^2);a1=trapz(x,y)fun=@(x)exp(-x.^2);a2=integral(fun,0,1)運行結果：a1=0.746210796131749a2=0.746824132812427分別利用trapz、integral計算定積分，得到0.746210796131749、0.746824132812427．7將區間等分為100個小區間，分別用左矩形法、右矩形法和梯形法編程，計算定積分1π解：>>formatlong>>h=(pi-1)/100;>>x=1:h:pi-h;>>y=exp(x.^2);>>sum(y)*h%左矩形法ans=3.063320171650502e+03>>x=1+h:h:pi;>>y=exp(x.^2);>>sum(y)*h%右矩形法ans=3.477310822011056e+03>>x=1:h:pi;>>y=exp(x.^2);>>trapz(x,y)%梯形法ans=3.270315496830780e+03分別用左矩形法、右矩形法和梯形法得到定積分的近似值為3063.320171650502，3477.310822011056，3270.315496830780.8（中國出生人口增長率問題）已知中國某些省份的出生人口統計數據如表7-2所示，試估算表中這些年份的出生人口年增長率．表7-2出生人口統計數據年份/年193519401945195019551960196519701975人口/萬人650781900100614701874149624762832年份/年198019851990199520002005201020152020人口/萬人231518932045267316941378176315241803解：>>formatshort>>p=[650781900100614701874149624762832231518932045267316941378176315241803]';fori=2:17k(i)=(p(i+1)-p(i-1))/10;%k(i)就是相應年份運用中心差商公式得到的人口增長率endk運行程序，得結果：k=1至6列025.000022.500057.000086.80002.60007至12列60.2000133.6000-16.1000-93.9000-27