6版數學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版第九章第八節圓錐曲線中的定點問題第八節圓錐曲線中的定點問題【核心考點·分類突破】考點一直線過定點問題角度1橢圓中的直線過定點問題[例1](2024·鄭州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2,圓x2+(1)求橢圓C的標準方程;【解析】(1)設橢圓C的半焦距為c.當圓x2+y2=4在橢圓C的內部時,b=2,c=1,a2=b2+c2=5,橢圓C的方程為x25+y當圓x2+y2=4在橢圓C的外部時,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,橢圓C的方程為x24+y[例1](2024·鄭州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2,圓x2+(2)已知結論:若點(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1上一點,則橢圓在該點處的切線方程為x0xa2+y0yb2=1.若橢圓C【解析】(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).因為橢圓C的短軸長小于4,所以C的方程為x24+y23=1.則由已知可得,切線AT的方程為x1x4+y將T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得,6x1+ty1-3=0,6x2+ty2-3=0.顯然A,B的坐標都滿足方程6x+ty-3=0,故直線AB的方程為6x+ty-3=0,令y=0,可得x=12,即直線AB過定點(12角度2雙曲線中的直線過定點問題(規范答題)[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知雙曲線C的中心為坐標原點,左焦點為(-25,0),離心率為5.(1)求C的方程;(2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明:P在定直線上.審題導思破題點·柳暗花明(1)思路:題目給出雙曲線的左焦點坐標和離心率,根據各參數之間的關系,求出曲線的標準方程.(2)思路:考查直線與雙曲線的位置關系,可以從多個角度理解直線MN.選擇確定直線MN的初始參變量不同,將導致解題過程的運算量大小不同.[路徑1]把M,N分別看成直線MA1,NA2與雙曲線的另一個交點.[路徑2,3]把M,N看成直線MN與雙曲線的兩個交點,但路徑2與3的直線MN設法不同.規范答題微敲點·水到渠成【解析】(1)設雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由焦點坐標為(-25,0)可知c=25,由e=ca=5關鍵點由焦點坐標及離心率可求出c和a.所以雙曲線C的方程為x24-y216=1(2)解法1(以直線MA1,NA2的斜率為參數):設M(x1,y1),N(x2,y2),直線MA1:y=m(x+2),直線NA2:y=n(x-2),由y得(4-m2)x2-4m2x-(4m2+16)=0.因為-2x1=4m所以x1=2m2+84-m2,y由y得(4-n2)x2+4n2x-(4n2+16)=0.因為2x2=4n所以x2=2n2+8n2-4,y由題設知x1+4y1掃清障礙利用直線MN的斜率建立關系式,起到承上啟下的作用,為后續解題起到橋梁和紐帶作用.所以(mn-4)(m+3n)=0,由題意知mn<0,故m=-3n. ………………[10分]點P(x,y)滿足y=m(x+2)且滿足y=n(x-2),所以x=-1. 故P在定直線x=-1上.………………[12分]解法2(以直線MN的斜率為參數):設M(x1,y1),N(x2,y2),(i)當MN的斜率存在時,設直線MN:y=k(x+4)(|k|≠2),由y得(4-k2)x2-8k2x-(16k2+16)=0.由于x1+x2=8k24-k2,x ………………[5分]直線MA1:y=y1x1直線NA2:y=y2x2聯立方程得,x=2( ………………[7分]掃清障礙此處如果直接求解運算量會很大,可以對照分式的特征,采用分子+分母,再進行運算,求出和值,即可求出比值.因為2(y1x2+y2x1-2y1+2y2)+(-y1x2+y2x1+2y1+2y2)=4kx1x2+10kx2+10kx1+16k=2k(2x1x2+5x2+5x1+8)=2k[2×16(k2=2k[-8(所以x=-1.…[10分](ii)當MN的斜率不存在時,避誤區解決直線與圓錐曲線綜合問題時,注意分直線斜率存在和不存在兩種情況進行說明,避免造成不必要的失分.直線MN:x=-4,M(-4,43),N(-4,-43),直線MA1:y=-23(x+2),直線NA2:y=233(聯立方程得P(-1,-23),此時點P在定直線x=-1上. 綜上,P在定直線x=-1上.…[12分]解法3:設M(x1,y1),N(x2,y2),顯然,直線MN的斜率不為0,所以設直線MN的方程為x=my-4,關鍵點避免對直線MN斜率是否存在進行討論.則x1=my1-4,x2=my2-4.聯立得x=得(4m2-1)y2-32my+48=0. …[5分]因為直線MN與雙曲線C的左支交于M,N兩點,所以4m2-1≠0,且Δ>0.由根與系數的關系得y1+y2=32m4m2-1y1y因為A1,A2分別為雙曲線C的左、右頂點,所以A1(-2,0),A2(2,0).直線MA1的方程為y=y1x1直線NA2的方程為y=y2x2…[8分]因為直線MA1與NA2交于P,可得,x+2x-2=y破題有招求x+2x-2的值相對于直接聯立方程求=my1y指點迷津構造-2(y1+y2)的巧妙之處是可以運用根與系數的關系求值.=m·484m2由x+2x-2=-13,解得x所以點P在定直線x=-1上.…[12分]角度3拋物線中的直線過定點問題教考銜接教材情境·研習·探究類[例3](人教A版選擇性必修第一冊P138·T6)如圖,直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,求證:OA⊥OB.【證明】不妨假設A(x1,y1),B(x2,y2),則OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),聯立方程y消去x得y2-2y-4=0,由根與系數的關系知y1+y2=2,y1y2=-4,所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4,所以OA·OB=x1x2+y1y2=4-4=0,因此OA⊥OB.【探究1】將已知條件和結論的位置調換.1.若直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,OA⊥OB,求證直線l過定點(2,0).【解析】由題意可設A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為x=my+n,其中n≠0,聯立方程x消去x得y2-2my-2n=0,由根與系數關系知y1+y2=2m,y1y2=-2n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2.因為OA⊥OB,所以OA·OB=0,則x1x2+y1y2=n2-2n=0,解得n=2,進而可得直線方程為x=my+2.所以直線l經過定點(2,0).【探究2】將拋物線y2=2x變為y2=2px(p>0):2.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,O為坐標原點,且OA⊥OB,求證:(1)A,B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值.【證明】設A(x1,y1),B(x2,y2),(1)kOA=y1x1,kOB=因為OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,因為y12=2px1,y22所以y122p·y22因為y1≠0,y2≠0.所以y1y2=-4p2,x1x2=4p2.2.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,O為坐標原點,且OA⊥OB,求證:(2)直線AB過定點.【證明】設(2)直線AB的方程為x=my+n,其中n≠0,則x-my故y2=2px·x-所以ny2+2pmxy-2px2=0,所以nyx2+2pmyx因為OA⊥OB,所以y1x1·y所以n=2p,則直線AB的方程為x=my+2p,故直線AB過定點2p【探究3】將“kOA·kOB=-1”變為“kOA·kOB=t”或“kOA+kOB=t”(t為常數).3.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,O為坐標原點,記直線OA,OB的斜率分別為kOA,kOB.(1)若kOA·kOB=t(t為常數),求證直線AB過定點(-2p【證明】設直線AB的方程為x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),類似于探究2可得,可得nyx2+2pmyx則y1x1·y2x2=-2p(1)若kOA·kOB=t,則y1x1·y2x故n=-2p則直線AB的方程為x=my-2p故直線AB過定點-23.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,O為坐標原點,記直線OA,OB的斜率分別為kOA,kOB.(2)若kOA+kOB=s(s為常數),求證直線AB過定點(0,2ps【證明】(2)若kOA+kOB=s,則y1x1+y2x故n=-2pms,則直線x=my-2pms=m故直線AB過定點0,【探究4】若點O不是坐標原點,而是拋物線上一動點.4.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,Mx0,y0為拋物線上一定點,過點M作兩條弦(1)若kMA·kMB=m,則直線AB過定點;【證明】設Ay122p,y1則kMA=2py0+y1,kMB=2則直線AB的方程為y-y1=2p即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.①(1)因為kMA·kMB=m,所以2py0+yy1y2=4p2m-y0(y1+y2)-將②代入①得,(y1+y2)(y+y0)+y02-4p2m所以當y=-y0時,x=y022即直線AB過定點y04.A,B是拋物線y2=2px(p>0)上異于頂點的兩個動點,Mx0,y0為拋物線上一定點,過點M作兩條弦(2)若kMA+kMB=n,則直線AB過定點.【證明】(2)因為kMA+kMB=n,所以2py0+yy1y2=2p-ny0n(y1+將③代入①得,(y1+y2)y-2p-ny0n-4py0-ny02即直線AB過定點y0高考鏈接已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P在拋物線E上,點P的橫坐標為1,且|PF|=2,A,B是拋物線E上異于O的兩點.(1)求拋物線E的標準方程;【解析】(1)由題意得,F(p2,0),點P的橫坐標為1,且|PF|=2,則2=1+p2,所以所以拋物線E的方程為y2=4x;已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P在拋物線E上,點P的橫坐標為1,且|PF|=2,A,B是拋物線E上異于O的兩點.(2)若直線OA,OB的斜率之積為-4,求證:直線AB恒過定點.【解析】(2)當直線AB的斜率不存在時,設A(t24,t),B(t24,-因為直線OA,OB的斜率之積為-4,則tt24×-tt所以A(1,t),B(1,-t),此時直線AB的方程為x=1.當直線AB的斜率存在時,設其方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),聯立y2=4xy=kx+b,化簡得ky2-4根據根與系數的關系得y1y2=4b因為直線OA,OB的斜率之積為-4,所以y1x1·y2x2=-4,即y1y2即y1y2+4·y124解得y1y2=0(舍去)或y1y2=-4,所以y1y2=4bk=-4,即b=-滿足Δ=16(1-kb)>0,所以y=kx-k,即y=k(x-1),綜上所述,直線AB過定點(1,0).[溯源點評](1)本題主要考查了直線過定點問題,一般方法是設出直線方程,聯立圓錐曲線方程,可得根與系數關系式,要結合題設進行化簡得到參數之間的關系式,結合直線方程即可證明直線過定點.(2)解題時也可參考探究過程,利用探究的解題方法進行求解.【對點訓練】1.(2024·滄州模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,p),直線l與該拋物線C相交于M,N兩點,過點M作x軸的垂線,與直線y=-x交于點G,點M關于點G的對稱點為P,且O,N,P三點共線.(1)求拋物線C的方程;1.(2024·滄州模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,p),直線l與該拋物線C相交于M,N兩點,過點M作x軸的垂線,與直線y=-x交于點G,點M關于點G的對稱點為P,且O,N,P三點共線.【解析】(1)因為拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,p),所以p2=2p,所以p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.1.(2024·滄州模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(1,p),直線l與該拋物線C相交于M,N兩點,過點M作x軸的垂線,與直線y=-x交于點G,點M關于點G的對稱點為P,且O,N,P三點共線.(2)若過點Q(2,0)作QH⊥l,垂足為H(不與點Q重合),是否存在定點T,使得|HT|為定值?若存在,求出該定點和該定值;若不存在,請說明理由.【解析】(2)設點M(y124,y1),N(y224得G(y124又因為點M關于點G的對稱點為P,所以點P(y124,-y1由O,N,P三點共線,可得kOP=kON,即-y12化簡得2(y1+y2)+y1y2=0,設直線l的方程為x=my+n,聯立x=my+ny2=4x,消去x則Δ=(4m)2-4×(-4n)>0,即m2+n>0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4n,代入2(y1+y2)+y1y2=0,可得8m-4n=0,可得n=2m,所以直線l的方程:x=my+n,即x=my+2m,則x=m(y+2),所以直線l過定點E(0,-2),因為QH⊥l,所以點H的軌跡是以EQ為直徑的圓(除去E,Q兩點),圓心為(1,-1),半徑為2,所以存在定點T(1,-1),使得|HT|為定值,該定值為2.2.(2024·成都模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1)與橢圓C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的離心率相同,且橢圓C(1)求實數a和b的值;【解析】(1)由橢圓C1的方程可得其焦距為2a2-1由橢圓C2的方程可得其焦距為212-b2由題意知212解得a2=1b2=12(舍)或a2=42.(2024·成都模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1)與橢圓C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的離心率相同,且橢圓C(2)若梯形ABCD的頂點都在橢圓C1上,AB∥CD,CD=2AB,直線BC與直線AD相交于點P,且點P在橢圓C2上,證明直線CD恒過定點.【解析】(2)設C(x1,y1),D(x2,y2),P(x0,y0),則x0212因為AB∥CD,CD=2AB,所以A,B分別為PD,PC的中點,所以B(x1+x02,y1+y0所以x02+2x1x0+8y1y0+4因為x0212+y023=1,所以x02+4y02=12,所以2x1x0+8y1y0=0,即x同理可得:x2x0+4y2y0=0,所以直線CD的方程為x0x+4y0y=0,所以直線CD恒過定點(0,0).3.已知雙曲線C的漸近線方程為y=±33x,且過點P(3,2)(1)求C的方程;【解析】(1)因為雙曲線C的漸近線方程為y=±33x則可設雙曲線的方程為x29-y23=將點P(3,2)代入得99-23=λ,解得λ=所以雙曲線C的方程為x23-y3.已知雙曲線C的漸近線方程為y=±33x,且過點P(3,2)(2)設Q(1,0),直線x=t(t∈R)不經過P點且與C相交于A,B兩點,若直線BQ與C交于另一點D,求證:直線AD過定點.【解析】(2)顯然直線BQ的斜率不為零,設直線BQ的方程為x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),聯立x23-y2=1x=my+1,消依題意得m2-3≠0且Δ=4m2+8(m2-3)>0,即m2>2且m2≠3,y1+y2=-2mm2-3,y1直線AD的方程為y+y1=y2+y1x2令y=0,得x=(x2-x1=(=2=2m·-2所以直線AD過定點(3,0).考點二其他曲線過定點問題[例4](2024·成都模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l:x=-2與x軸交于點A,過l右側的點P作PM⊥l,垂足為M,且|PA|=|PM|+|OA|.(1)求點P的軌跡C的方程;【解析】(1)設點P(x,y),因為|PA|=|PM|+|OA|,所以(x+2)2+化簡得y2=4(x+3)(x>-2),所以軌跡C的方程為y2=4(x+3)(x>-2).[例4](2024·成都模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l:x=-2與x軸交于點A,過l右側的點P作PM⊥l,垂足為M,且|PA|=|PM|+|OA|.(2)過點B(1,0)的動直線l'交軌跡C于S,T.證明:以線段ST為直徑的圓過定點.【解析】(2)設直線l':x=my+1,S(x1,y1),T(x2,y2),聯立y2=4(x+3),x=my+1得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0,從而y1+于是x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-16m2+4m2+1=1-12m2.以線段ST為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,所以x2+y2-(4m2+2)x-4my-12m2-15=0.由對稱性知定點在x軸上,令y=0得x2-(4m2+2)x-12m2-15=0,于是(4x+12)m2-(x2-2x-15)=0,由m的任意性,得4x+12=0x2-2【解題技法】含有參數的圓過定點的解題策略1.選取適當的參數;2.求出適合題設條件的圓的方程;3.化簡圓的方程(將參數集中在一起);4.令某些值或系數為零,得出定點坐標.【對點訓練】(2024·泉州模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是22,上、下頂點分別為A,B.圓O:x2+y2=2與x軸正半軸的交點為(1)求E的方程;【解析】(1)由已知得A(0,b),B(0,-b),P(2,0).則PA=(-2,b),PB=(-2,-b),PA·PB=2-b2=-1,所以b2=3.因為e=ca=22,又b2+c2=a2,所以c2=3,a2=6.故E的方程為x26(2024·泉州模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是22,上、下頂點分別為A,B.圓O:x2+y2=2與x軸正半軸的交點為(2)直線l與圓O相切且與E相交于M,N兩點,證明:以MN為直徑的圓恒過定點.【解析】(2)當直線l的斜率存在時,設l的方程為y=kx+m,即kx-y+m=0.因為直線l與圓O相切,所以|m|k2+1=2,即m2=2k2+2.設M(x1,y1),N(x2,y2),則y1=kx1+m,y2=kx2+m.由y=kx+m,x26+y23=1,化簡,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0,由根與系數的關系得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-62k2+1,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k故OM⊥ON,即以MN為直徑的圓過原點O.當直線l的斜率不存在時,l的方程為x=2或x=-2.這時M(2,2),N(2,-2)或M(-2,2),N(-2,-2)或M(2,-2),N(2,2)或M(-2,-2),N(-2,2).顯然,以MN為直徑的圓也過原點O.綜上,以MN為直徑的圓恒過原點O.【加練備選】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,其左、右焦點分別為F1,F2,T為橢圓C上任意一點,(1)求橢圓C的標準方程;【解析】(1)因為橢圓C的離心率為22所以ca=2又當T位于上頂點或者下頂點時,△TF1F2的面積最大,即bc=1.又a2=b2+c2,所以b=c=1,a=2.所以橢圓C的標準方程為x22+y2已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,其左、右焦點分別為F1,F2,T為橢圓C上任意一點,(2)已知A(0,1),過點(0,12)的直線l與橢圓C交于不同的兩點M,N,直線AM,AN與x軸的交點分別為P,Q,證明:以PQ為直徑的圓過定點【解析】(2)由題知,直線l的斜率存在,所以設直線l的方程為y=kx+12設M(x1,y1),N(x2,y2),將直線l代入橢圓C的方程得(4k2+2)x2+4kx-3=0,由根與系數的關系得:x1+x2=-4k4k2+2,x1x2=-34k2+2,直線AM的方程為y所以P(-x1y1-所以以PQ為直徑的圓為(x+x1y1-1)(x+整理得x2+y2+(x1y1-1+x2y因為x1x=4=-12令①中的x=0,可得y2=6,所以,以PQ為直徑的圓過定點(0,±6).第二節兩條直線的位置關系【課程標準】1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.【考情分析】考點考法:兩條直線的位置關系在高考中一般不單獨成題,點到直線的距離公式時常與圓相結合出現在選擇題或填空題中.核心素養:數學運算、直觀想象、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.兩條直線的位置關系(1)位置關系項目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A12+A2x+B2y+C2=0(A22+相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2,且b1≠b2A1A重合k1=k2,且b1=b2A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0(2)交點坐標若直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交,則l1與l22.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件:點P1(x1,y1),P2(x2,y2).②結論:|P1P2|=.③特例:點P(x,y)到原點O(0,0)的距離|OP|=x2(2)點到直線的距離點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=.(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0間的距離d=.【微點撥】點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時,應先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時,應先將直線方程化為一般式,且x,y的系數對應相等.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯題號12,34,51.(多維辨析)(多選題)下列結論正確的是 ()A.若兩條直線斜率相等,則兩直線平行B.若l1∥l2,則k1=k2C.若兩直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則兩直線相交D.若兩直線斜率都不存在,則兩直線平行或重合【解析】選CD.A.兩直線有可能重合,故A錯誤;B.可能出現兩直線斜率不存在的情況,故B錯誤;C.若兩直線中有一條直線的斜率不存在則直線垂直于x軸,另一條直線的斜率存在,則直線不與x軸垂直,所以兩直線相交,故C正確.D.兩直線斜率都不存在,可能重合,可能平行,故D正確.2.(選擇性必修第一冊P57例5變形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)為頂點的三角形是 ()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.以A為直角頂點的直角三角形D.以B為直角頂點的直角三角形【解析】選D.直線AB的斜率kAB=1-(-1)1-5=-12,直線由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B為直角頂點的直角三角形.3.(選擇性必修第一冊P57練習T2變條件)若直線3x-2y-1=0與3x-ay+6=0平行,則a= ()A.-2 B.-1 C.12 【解析】選D.由題意32=3a,則a=2.4.(忽視直線斜率不存在的情形致誤)(多選題)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直線AB與CD平行,則m的值為 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選BD.當AB與CD的斜率均不存在時,m=2m,m+1=1,故得m=0,此時AB∥CD;當kAB=kCD,即m≠0時,m+1m=3m,解得m=2,此時5.(誤用兩平行線間的距離公式致誤)直線l1:3x+4y-7=0與直線l2:6x+8y+1=0之間的距離為 ()A.8 B.4 C.85 D.【解析】選D.因為l1∥l2,所以直線l1與直線l2之間的距離d=|-14-1【巧記結論·速算】1.直線系方程(1)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)與直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)過直線l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C22.點關于特殊的直線的對稱問題的結論:點的坐標對稱直線對稱點的坐標點P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)【即時練】1.過點(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是 ()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0【解析】選A.因為所求直線與直線x-2y-2=0平行,所以設直線方程為x-2y+c=0,又直線經過點(1,0),得出c=-1,故所求直線方程為x-2y-1=0.2.設△ABC的一個頂點是A(3,-1),∠B,∠C的平分線的方程分別是x=0,y=x,則直線BC的方程是 ()A.y=3x+5 B.y=2x+3C.y=2x+5 D.y=-x2+【解析】選C.A關于直線x=0的對稱點是A'(-3,-1),關于直線y=x的對稱點是A″(-1,3),由角平分線的性質可知,點A',A″均在直線BC上,所以直線BC的方程為y=2x+5.【核心考點·分類突破】考點一兩條直線的平行與垂直[例1](一題多法)已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷a為何值時,l1與l2平行;【解析】(1)方法一:當a=1時,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當a≠1且a≠0時,兩直線方程可化為l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥解得a=-1,綜上可知,當a=-1時,l1∥l2.方法二:顯然a≠0,l1∥l2,則1a=a-12≠a可得a=-1,故當a=-1時,l1∥l2.[例1](一題多法)已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(2)當l1⊥l2時,求a的值.【解析】(2)方法一:當a=1時,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直,故a=1不成立;當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;當a≠1且a≠0時,l1:y=-a2xl2:y=11-ax-(a+1),由(-a2)·11方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23【解題技法】1.已知兩直線的斜率存在,判斷兩直線平行或垂直的方法(1)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等;(2)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于-1.提醒:當直線斜率不確定時,要注意斜率不存在的情況.2.由一般式確定兩直線位置關系的方法直線方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+l1與l2平行的充要條件Al1與l2垂直的充要條件A1A2+B1B2=0l1與l2相交的充要條件A1A2≠B1B2l1與l2重合的充要條件A1A2=提醒:在判斷兩直線的位置關系時,比例式A1A2與B1【對點訓練】1.(2024·合肥模擬)直線l1:x+ay-1=0與直線l2:ax+y+1=0平行,則a= ()A.0 B.1 C.-1 D.1或-1【解析】選B.因為直線l1:x+ay-1=0與直線l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.當a=-1時,直線l1:x-y-1=0與直線l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.2.(2024·貴陽模擬)已知直線l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,則m的值為 ()A.12 B.13 C.2 【解析】選A.因為直線l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,則2m-1=0,解得m=12【加練備選】若a,b為正實數,直線2x+(2a-4)y+1=0與直線2bx+y-2=0互相垂直,則ab的最大值為12【解析】由兩直線垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22ab,ab≤1當且僅當a=1,b=12時,等號成立,故ab的最大值為1考點二距離問題[例2](1)已知直線3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是 ()A.4 B.1020 C.104 【解析】選D.由直線平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直線方程為6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,則所求距離是|12(2)過點A(-1,2),到原點的距離等于1的直線方程為3x+4y-5=0或x=-1.

【解析】當直線的斜率存在時,設所求直線的斜率為k,則直線的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意可得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,因此所求直線的方程為3x+4綜上,所求直線的方程為3x+4y-5=0或x=-1.一題多變[變式1]將例(1)變為:求到兩平行直線3x+y-3=0和6x+my-1=0距離相等的直線的方程.【解析】由題意得63=m1≠-1將直線3x+y-3=0化為6x+2y-6=0,則所求直線方程可以設為6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),由|t+1|62+2因此所求直線的方程為6x+2y-72=0[變式2]將例(1)變為:已知兩直線3x+y-3=0和6x+2y-1=0,點P1(x1,y1),P2(x2,y2)分別在兩條直線上運動,求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的幾何意義是點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間距離的平方,由題意知,兩直線3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此該距離的最小值即兩條平行直線間的距離,|-1+6|62+可知(x1-x2【解題技法】距離問題的求解策略(1)點到直線的距離可直接利用點到直線的距離公式求解,注意直線方程應為一般式.(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.②利用兩平行線間的距離公式求解,利用公式前需把兩平行線方程化為一般式,且x,y的系數對應相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.【對點訓練】1.已知點A(3,3a+3)與點B(a,3)之間的距離為5,則實數a的值為 ()A.-1 B.85 C.-1或85 【解析】選C.因為點A(3,3a+3)與點B(a,3)之間的距離為5,可得AB=(a-3整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=852.(2024·北京模擬)設d為動點P(cosθ,sinθ)到直線x-y-2=0的距離,則d的最大值為 ()A.2-1 B.322 C.1+2【解析】選C.點P(cosθ,sinθ)到直線x-y-2=0的距離d=|cos|2因為-1≤cos(θ+π4)≤1,則-2-2≤