9.2等差數列(四)雙基達標(限時20分鐘)1．已知等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和為Sn，若a4＝18－a5，則S8等于 ()．A．18 B．36 C．54 D．72解析∵S8＝eq\f(8（a1＋a8）,2)＝4(a4＋a5)＝72.答案D2．等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于 ()．A．1 B.eq\f(5,3) C．2 D．3解析S3＝eq\f(3（a1＋a3）,2)＝6，而a3＝4，∴a1＝0，∴d＝eq\f(a3－a1,2)＝2.答案C3．一個有11項的等差數列，奇數項之和為30，則它的中間項為 ()．A．8 B．7 C．6 D．5解析S奇＝6a1＋eq\f(6×5,2)×2d＝30，a1＋5d＝5，∴a6＝5，又a中＝a6＝5.答案D4．設Sn是等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和，若S7＝35，則a4＝________解析Sn是等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和，S7＝7a4＝35，∴a4＝5.答案55．在等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，其前n項和為100，其后的2n項和為500，則緊隨其后的3n項和為________．解析由題意有Sn＝100，S3n－Sn＝500.又Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數列，其公差為100.∴S6n－S3n＝400＋500＋600＝1500.答案15006．在等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a1＝25，且S9＝S17，求數列前多少項和最大．解由S9＝S17，得a1＋a2＋…＋a9＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＋…＋a17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.∴4(a13＋a14)＝0，∴a13＋a14＝0.∴a13＞0，a14＜0，∴前13項和最大．綜合提高限時25分鐘7．若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數列，首項a1>0，a2005＋a2006>0，a2005·a2006<0，則使前n項和Sn>0成立的最大自然數n是 ()．A．4009 B．4010 C．4011 D．4012解析∵a1＋a4010＝a＋a>0∴S4010>0.又a2005＋a2006>0且a2005a2006<0.∴a2006∴S4011＝4011a2006答案B8．設Sn是等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S6,S12)為 ()．A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,9)解析S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，構成一個新的等差數列，∵S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，∴S9－S6＝3，S12－S9＝4，∴S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10，∴eq\f(S6,S12)＝eq\f(3,10).答案A9．在等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＞0，且3a8＝5a13，則Sn中最大的是前________項．解析3a8＝5a13?d＝－eq\f(2,39)a1＜0，an≥0?a1＋(n－1)d≥0?n≤20.答案2010．若一個等差數列前3項和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390.則這個數列有________項．解析∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝34,an＋an－1＋an－2＝146))∴3(a1＋an)＝180.即a1＋an＝60.Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝390∴n＝13.答案1311．若兩個等差數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的前n項和An和Bn滿足關系式eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋1,4n＋27)(n∈N*)，求eq\f(an,bn).解由等差數列性質：an＝eq\f(a1＋a2n－1,2)，bn＝eq\f(b1＋b2n－1,2)∴eq\f(an,bn)＝eq\f(\f(a1＋a2n－1,2),\f(b1＋b2n－1,2))＝eq\f(\f(（2n－1）（a1＋a2n－1）,2),\f(（2n－1）（b1＋b2n－1）,2))＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(7（2n－1）＋1,4（2n－1）＋27)＝eq\f(14n－6,8n＋23).12．(創新拓展)已知數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和Sn＝n(2n－1)(n∈N*)．(1)證明數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數列．(2)設數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))滿足bn＝eq\f(S1,1)＋eq\f(S2,2)＋eq\f(S3,3)＋…＋eq\f(Sn,n)(n∈N*)，試判斷：是否存在自然數n，使得bn＝900？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．(1)證明當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n(2n－1)－(n－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（n－1）－1))＝4n－3.當n＝1時，a1＝S1＝1，適合an＝4n－3，∴數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項公式為an＝4n－3.又an－an－1＝4(n≥2)，∴數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差數列．(2)解