PAGE第九章平面解析幾何第一講直線方程與兩直線的位置關系練好題﹒考點自測1.[2024全國卷Ⅱ,5分]若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.[2024安徽示范中學聯考]已知點(1,-1)關于直線l1:y=x的對稱點為A,設直線l2經過點A,則當點B(2,-1)到直線l2的距離最大時,直線l2的方程為 ()A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=03.[2016四川,5分]設直線l1,l2分別是函數f(x)=QUOTE圖象上點P1,P2處的切線,l1與l2垂直相交于點P,且l1,l2分別與y軸相交于點A,B,則△PAB的面積的取值范圍是 ()A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)4.[2024四川五校聯考]過直線x+y=0上一點P作圓(x+1)2+(y-5)2=2的兩條切線l1,l2,A,B為切點,當直線l1,l2關于直線x+y=0對稱時,∠APB= ()A.30° B.45° C.60° D.90°5.[多選題]下列說法錯誤的是 ()A.直線的傾斜角越大,其斜率越大B.若直線的斜率為tanα,則其傾斜角為αC.經過隨意兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示D.直線的截距即是直線與坐標軸的交點到原點的距離6.[2024上海模擬]過點(2,3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為.

7.[2024山西摸底測試]已知a>0,b>0,若直線(a-1)x+2y-1=0與直線x+by=0相互垂直,則ab的最大值是.

拓展變式1.(1)[多選題]過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為0,則該直線方程可能為 ()A.x-y+1=0 B.x+y-3=0C.2x-y=0 D.x-y-1=0(2)過直線2x+7y-4=0與7x-21y-1=0的交點,且和A(-3,1),B(5,7)等距離的直線方程為.

2.已知直線l的方程為3x+4y-12=0,(1)求過點(-1,3),且與l平行的直線l'的方程;(2)求過點(-1,3),且與l垂直的直線l'的方程;(3)若直線l'與l垂直,且l'與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,求直線l'的方程.3.(1)[2024黑龍江哈爾濱模擬]若直線y=-QUOTEx+1和x軸、y軸分別交于點A,B,以線段AB為邊在第一象限內作等邊三角形ABC.若在第一象限內有一點P(m,QUOTE),使得△ABP和△ABC的面積相等,則m的值為 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.3QUOTE(2)[2024江蘇,5分]在平面直角坐標系xOy中,P是曲線y=x+QUOTE(x>0)上的一個動點,則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.

答案第一講直線方程與兩直線的位置關系1.B因為圓與兩坐標軸都相切,點(2,1)在該圓上,所以可設該圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標為(1,1)或(5,5),所以圓心到直線2x-y-3=0的距離為QUOTE=QUOTE或QUOTE=QUOTE,故選B.2.B易知A(-1,1).設點B(2,-1)到直線l2的距離為d,當d=|AB|時取得最大值,此時直線l2垂直于直線AB,又-QUOTE=QUOTE,所以直線l2的方程為y-1=QUOTE(x+1),即3x-2y+5=0.故選B.3.A不妨設P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以QUOTE×(-QUOTE)=-1,則x1=QUOTE.又切線l1:y-lnx1=QUOTE(x-x1),l2:y+lnx2=-QUOTE(x-x2),于是A(0,lnx1-1),B(0,1+lnx1),所以|AB|=2.由QUOTE解得xP=QUOTE,所以S△PAB=QUOTE×2×xP=QUOTE.因為x1>1,所以x1+QUOTE>2,所以S△PAB的取值范圍是(0,1),故選A.圖D9-1-14.C解法一如圖D9-1-1,設圓(x+1)2+(y-5)2=2的圓心為C,則C(-1,5),則點C不在直線y=-x上,要滿意l1,l2關于直線y=-x對稱,則PC必定垂直于直線y=-x,所以線段PC所在直線的斜率kPC=1,則線段PC所在的直線l:y-5=x+1,即y=x+6,與y=-x聯立,得P(-3,3).所以|PC|=QUOTE=2QUOTE.設∠APC=α,則∠APB=2α,在△APC中,sinα=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故α=30°,所以∠APB=2α=60°.故選C.解法二如圖D9-1-1,設圓(x+1)2+(y-5)2=2的圓心為C,則C(-1,5),則點C不在直線y=-x上,要滿意l1,l2關于直線y=-x對稱,則PC必定垂直于直線y=-x,所以|PC|=QUOTE=2QUOTE,易知圓的半徑r=QUOTE,sin∠APC=QUOTE=QUOTE,則∠APC=30°,所以∠APB=60°.故選C.5.ABD對于選項A,當直線的傾斜角α1=135°,α2=45°時,α1>α2,但其對應斜率k1<k2,故選項A錯誤;對于選項B,tanα中的α不肯定在[0,π)內,傾斜角α必在[0,π)內,故選項B錯誤;對于選項D,截距不是距離,截距可為正數、負數或零,而距離只能是零或正數,選ABD.6.3x-2y=0或x-y+1=0當直線過原點時,直線的斜率為k=QUOTE=QUOTE,此時直線方程為y=QUOTEx,即3x-2y=0.當直線不過原點時,設直線方程為QUOTE+QUOTE=1,把(2,3)代入可得a=-1,此時直線方程為x-y+1=0.故填3x-2y=0或x-y+1=0.7.QUOTE由兩條直線相互垂直得(a-1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=QUOTE(a·2b)≤QUOTE(QUOTE)2=QUOTE,當且僅當a=QUOTE,b=QUOTE時取等號.故ab的最大值是QUOTE.1.AC當直線過原點時,可得斜率為QUOTE=2,故直線方程為y=2x,即2x-y=0;當直線不過原點時,設直線方程為QUOTE+QUOTE=1,將點(1,2)代入,可得QUOTE-QUOTE=1,解得a=-1,故直線方程為x-y+1=0,故所求直線方程為2x-y=0或x-y+1=0.故選AC.(2)21x-28y-13=0或x=1因為A,B到直線7x-21y-1=0的距離不相等,所以可設所求直線方程為2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,由點A(-3,1),B(5,7)到所求直線的距離相等,可得QUOTE=QUOTE,整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=QUOTE或λ=QUOTE,所以所求的直線方程為21x-28y-13=0或x=1.2.(1)解法一直線l的方程可化為y=-QUOTEx+3,可知l的斜率為-QUOTE,因為l'與l平行,所以直線l'的斜率為-QUOTE.又l'過點(-1,3),所以由點斜式得直線l'的方程為y-3=-QUOTE(x+1),即3x+4y-9=0.解法二由l'與l平行,可設l'的方程為3x+4y+m=0(m≠-12),將(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直線方程為3x+4y-9=0.(2)解法一直線l的方程可化為y=-QUOTEx+3,可知l的斜率為-QUOTE,因為l'與l垂直,所以直線l'的斜率為QUOTE.又l'過點(-1,3),所以由點斜式得直線方程為y-3=QUOTE(x+1),即4x-3y+13=0.解法二由l'與l垂直,可設l'的方程為4x-3y+n=0,將(-1,3)代入,得n=13,于是所求直線方程為4x-3y+13=0.(3)由l'與l垂直,可設直線l'的方程為4x-3y+p=0,則l'在x軸上的截距為-QUOTE,在y軸上的截距為QUOTE.由題意可知,l'與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=QUOTE·|QUOTE|·|-QUOTE|=4,求得p=±4QUOTE.所以直線l'的方程為4x-3y+4QUOTE=0或4x-3y-4QUOTE=0.3.(1)C過點C作直線l,使l∥AB,則點P在直線l上.由題意易知,A(QUOTE,0),B(0,1),則|AB|=2,所以點C到直線AB的距離d=QUOTE=QUOTE.直線AB的方程可化為QUOTEx+3y-3=0,由△ABP和△ABC的面積相等,可知點P到直線AB的距離等于點C到直線AB的距離,即QUOTE=QUOTE,解得m=-QUOTE或m=QUOTE.因為點P在第一象限,所以m=QUOTE.故選C.(2)4解法一設P(x,x+QUOTE),x>0,則點P到直線x+