專題四反比例函數的應用及綜合問題一、單選題1．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數的圖象上，第二象限的點B在反比例函數的圖象上，且，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作軸于C，軸于D，如圖，利用反比例函數系數的幾何意義得到，再根據正切的意義得到，接著證明，利用相似三角形的性質得，所以，然后根據反比例函數的性質確定k的值．【詳解】解：作軸于C，軸于D，如圖，則，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，而，∴．故選：C．2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，點B為反比例函數（）上的一點，點為x軸負半軸上一點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉90°；點B的對應點為點C．若點C恰好也在反比例函數的圖象上，且C點的橫坐標是A點橫坐標的兩倍，則k＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先可證得，得出再得出點C的橫坐標，進而得出點C的縱坐標，再利用求出點B的縱坐標，進而得出點B的橫坐標，最后根據，建立方程求解即可得出結論．【詳解】解：如圖，過點C作軸于點E，過點B作軸于點F，∴，∴，由旋轉知，，∴，∴，∴，∴，∵C點的橫坐標是A點橫坐標的兩倍，且點，∴點，∵點C在反比例函數的圖象上，∴，∴，∵，，∴，∴，∵點B在反比例函數的圖象上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．3．（2023秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學實驗學校校考期末）如圖，直線與雙曲線交于點A，將直線向上平移1個單位長度后，與y軸交于C，與雙曲線交于B，若，則k的值為（

）A． B．－7 C． D．【答案】C【分析】設點，點M是y軸正半軸上的一點，過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，過點C作于點F，證明，確定的長，判定四邊形是矩形，繼而得到，根據反比例函數的性質列出等式計算即可．【詳解】設點，點M是y軸正半軸上的一點，如圖，過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，過點C作于點F，根據平移的性質，得到，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，直線與y軸交于點C，∴，∴，∵∴，∵A、B都是雙曲線上的點，∴，解得，∴，故選C．4．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┤鐖D，點A是反比例函數圖像上一動點，連接AO并延長交圖像另一支于點B．又C為第一象限內的點，且，當點A運動時，點C始終在函數的圖像上運動．則∠CAB的正切值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】連接，過點作軸于點，過點作軸于點，如圖所示：根據軸對稱的性質得到．根據等腰三角形的性質得到．根據相似三角形的性質得到，得到，，即可得到結論．【詳解】解：連接，過點作軸于點，過點作軸于點，如圖所示：由直線與反比例函數的對稱性可知、點關于點對稱，．又，．，，，又，，，，，，，，，（負值舍去），的正切值為，故選：A．二、填空題5．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）已知反比例函數的圖像經過點，函數的圖像與直線平行，并且經過反比例函數圖像上一點．則函數有最______值，這個值是______．【答案】

大

1【分析】根據待定系數法求出的值，再根據函數的圖象與直線平行，求出的值，根據在反比例函數圖象上，求出的值．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，∴；∵函數的圖象與直線平行，得到；∴，∵經過反比例函數圖象上一點，∴∴,∴，∴，∴二次函數的解析式是．∴∴頂點公式求得它的頂點坐標是，∵，∴它有最大值是1．故答案為：大，1；6．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習）如圖，四邊形為矩形，軸，點在反比例函數的圖象上，點，在反比例函數的圖象上，交的圖象于點，若，，，則的值等于___________．【答案】【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征，設點的橫坐標為，進而表示出、、、、的坐標，再根據，，，進行計算即可；【詳解】設點的橫坐標為，則點的縱坐標為，即，∵點在反比例函數的圖象上，而點的橫坐標為，∴縱坐標為，即，∵點在反比例函數的圖象上，而點的縱坐標為，∴橫坐標為，即，∴點在反比例函數的圖象上，而點的縱坐標為，∴橫坐標為，即，∴，又∵，，，∴，即，，即，，即，由可得；故答案是：．7．（2023秋·江蘇淮安·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于A，B兩點，P是以點為圓心，半徑長為1的圓上一動點，連接，Q為的中點．若線段長度的最大值為2，則k的值為_____．【答案】【分析】確定是的中位線，的最大值為2，故的最大值為4，則，則，即可求解．【詳解】解：如下圖，連接，點O是的中點，則是的中位線，當三點共線時，最大，則最大，而的最大值為2，故的最大值為4，則，設點，則，解得：，，故答案為：．三、解答題8．（2022秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，直線與雙曲線交于兩點，點的坐標為，點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接并延長交軸于點，且．(1)求的值并直接寫出點的坐標；(2)點是軸上的動點，連接，求的最小值；(3)是軸上的一點，當為直角三角形時，請求出符合條件的所有P點的坐標．【答案】(1)，(2)的最小值為(3)點坐標為或或或【分析】（1）將點代入求得的值，進而求得點的坐標，即可求得的值，根據中心對稱求得點的坐標；（2）根據題意，求得，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，當三點共線時，的值最小，求得，根據勾股定理求得，即可求解．（3）設，根據勾股定理得出，，，然后分類討論即可求解．【詳解】（1）解：∵在直線上，∴，解得，∴，∵在上，∴，∴，∵直線和雙曲線均關于原點對稱，∴關于原點對稱，∴；（2）∵，∴點是的中點，∴點的縱坐標為，∴，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，∴，∴，∴當三點共線時，的值最小，∴，∴，∴的最小值為；（3）設，∴，，，①當時，，解得，∴P；②當時，，解得，∴P；③當時，，解得，∴P或；綜上所述：點坐標為或或或．9．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，一次函數的圖象與反比例函數（k為常數，且）的圖象交與、B兩點．(1)求反比例函數的表達式及點B的坐標；(2)點P在反比例函數第三象限的圖象上，使得的面積最小，求滿足條件的P點坐標及面積的最小值．【答案】(1)，(2)；【分析】（1）先將代入一次函數解析式，求出，再求出反比例函數解析式，聯立兩個解析式求出點B的坐標；（2）將直線進行平移，當平移后的直線與反比例函數第三象限的圖象只有一個交點時，的面積最小，即可得解．【詳解】（1）解：將代入得：，∴，∴，∴反比例函數解析式為：，聯立一次函數和反比例函數解析式得：，整理得：，解得：或，當時，，∴；（2）解：由題意得：將直線進行平移，當平移后的直線與反比例函數第三象限的圖象只有一個交點時，的面積最小，設直線平移后的直線的解析式為：，聯立一次函數和反比例函數解析式得：，整理得：，則：，解得：，當時，，解得：（不符合題意，舍掉）；當時，，解得：；當時，，∴，如圖：過作軸，軸，過作軸，與交于點，過作軸，與交于點，與交于點，則：，．10．（2022·江蘇常州·校考二模）如圖，直線與雙曲線相交于、B兩點．(1)求m及k的值；(2)不解關于x、y的方程組直接寫出點B的坐標；(3)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）把點A的坐標分別代入一次函數和反比例函數即可求；（2）根據點B與點A關于二四象限角平分線對稱寫出即可；（3）觀察函數圖象根據其性質直接寫出即可．【詳解】（1）將點A（2,1）的坐標分別代入一次函數與反比例函數，可得，，，解得：，；（2）∵兩點關于直線對稱，∴點的坐標為；（3）由得，即反比例函數的函數值大于一次函數的函數值，由圖像可知：或．11．（2022·江蘇揚州·?？寄M預測）如圖，在平行四邊形中，軸，，原點是對角線的中點，頂點的坐標為，反比例函數在第一象限的圖象過四邊形的頂點．(1)求點的坐標和的值；(2)將平行四邊形向上平移，使點落在反比例函數圖象在第一象限的分支上，求平移過程中線段掃過的面積．(3)若、兩點分別在反比例函數圖象的兩支上，且四邊形是菱形，求的長．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用平行于軸的直線上的點縱坐標相等得出的縱坐標，再用距離確定出點的橫坐標，將的坐標代入，利用待定系數法即可求出；（2）利用平行四邊形的性質得出點點坐標為．設點向上平移個單位，根據在的圖象上，列出方程，求出，那么平移過程中線段掃過的面積是的面積，根據平行四邊形的面積公式列式計算；（3）利用菱形的性質得出直線的解析式，根據點，在雙曲線上求出點，的坐標，再根據兩點間的距離公式求出的長．【詳解】（1）解：設與軸交于點，軸，、的縱坐標相同．，，，．在反比例函數的圖象上，；（2）解：在平行四邊形中，原點是對角線的中點，與關于原點對稱，．設點向上平移個單位，則在的圖象上，，解得．設與相交于，則．平移過程中線段掃過的面積是；（3）解：四邊形是菱形，．直線的解析式為，直線的解析式為：，設點的坐標為且，則點的坐標為，、兩點分別在反比例函數圖象的兩支上，，解得：，故的坐標為：，的坐標為，．12．（2021·江蘇蘇州·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，反比例函數（）的圖象與一次函數的圖象相交于橫坐標為3的點A．(1)求這個一次函數的解析式；(2)如圖，已知點在這個一次函數的圖象上，點在反比例函數（）的圖象上，直線軸，且在點上方，并與軸相交于點.如果點恰好是的中點，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據橫坐標為3的點A在反比例函數（）的圖象上求出點A坐標為，再代入，求出，問題得解；（2）設點，則點，根據點在反比例函數（）的圖象上，求出，，根據點在第一象限內，即可求出點的坐標為．【詳解】（1）解：∵橫坐標為3的點A在反比例函數（）的圖象上，∴將代入得，點A的坐標為，∵點A在直線上，∴，，一次函數的解析式為；（2）解：設點，∵點是的中點，∴點，點在反比例函數（）的圖象上，，解得，，點在第一象限內，點的坐標為．13．（2022·江蘇淮安·淮陰中學新城校區校聯考二模）我們把函數圖象上橫坐標與縱坐標互為相反數的點定義為這個函數圖象上的“互反點”．例如在二次函數的圖象上，存在一點，則P為二次函數圖象上的“互反點”．(1)分別判斷的圖象上是否存在“互反點”？如果存在，求出“互反點”的坐標；如果不存在，說明理由．(2)如圖①，設函數的圖象上的“互反點”分別為點過點B作軸，垂足為C．當的面積為5時，求b的值；(3)如圖②，為x軸上的動點，過Q作直線軸，若函數的圖象記為W1，將W1沿直線l翻折后的圖象記為W2，當兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”時，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)的圖象上不存在“互反點”；是的圖象上的“互反點”(2)或(3)或【分析】（1）由定義可知，函數與的交點即為“互反點”；（2）求出，，可得，求出b的值；（3）函數關于直線的對稱拋物線解析式為，聯立方程組，當時，，因此當時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；函數與直線的交點為，當點在直線上時，解得或，結合圖象可知：時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”．【詳解】（1）解：中，，∴的圖象上不存在“互反點”；中，當時，，解得或，是的圖象上的“互反點”；（2）解：中，當時，，解得，，中，當時，，解得，，，∴，解得或；（3）解：函數關于直線的對稱拋物線解析式為，由定義可知，“互反點”在直線上，聯立方程組，整理得，，解得，當時，與沒有交點，此時與有兩個交點，∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；當時，，∴函數與直線的交點為，當點在直線上時，，解得或，當時，兩部分組成的圖象上恰有3個“互反點”，∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；當時，兩部分組成的圖象上恰有1個“互反點”，∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；∴時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”；綜上所述：或時，兩部分組成的圖象上恰有2個“互反點”．14．（2021秋·江蘇南通·九年級?？计谀┠骋呙缟a企業于2021年1月份開始技術改造，其月生產數量y（萬支）與月份x之間的變化如圖所示，技術改造完成前是反比例函數圖象的一部分，技術改造完成后是一次函數圖象的一部分，請根據圖中數據解答下列問題：(1)該企業4月份的生產數量為多少萬支？(2)該企業有幾個月的月生產數量不超過90萬支？【答案】(1)該疫苗生產企業4月份的生產數量為45萬支(2)該疫苗生產企業有6個月的月生產數量不超過90萬支【分析】（1）根據題意和圖象中的數據，可以計算出技術改造完成前對應的函數解析式，然后將代入求出相應的y的值即可；（2）根據題意和圖象中的數據，可以技術改造完成后y與x的函數解析式，然后即可列出相應的不等式組，求解即可，注意x為正整數．【詳解】（1）解：當時，設y與x的函數關系式為，∵點在該函數圖象上，∴，得，∴，當時，，即該疫苗生產企業4月份的生產數量為45萬支；（2）設技術改造完成后對應的函數解析式為,∵點在該函數圖象上，∴，解得，∴技術改造完成后對應的函數解析式為，，解得，經檢驗符合題意，∵x為正整數，∴，答：該疫苗生產企業有6個月的月生產數量不超過90萬支．15．（2023·江蘇蘇州·統考一模）如圖，正比例函數與反比例函數的圖像交于點，點是反比例函數圖像上的一動點．過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求與的值；(2)若的面積是2，求此時點的坐標．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把點A坐標代入正比例函數解析式求出點A的坐標，再把點A的坐標代入反比例函數解析式求出k的值即可得到答案；（2）設，則，則，再分如圖1所示，當點P在點G上方時，如圖2所示，當點P在點G下方時，求出對應的，并據此建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把點代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；（2）解：由（1）得反比例函數解析式為，設，則，∴，∵是反比例函數圖像上的一動點．，∴，如圖1所示，當點P在點G上方時，∵的面積是2，∴，∴，解得（負值舍），∴；如圖2所示，當點P在點G下方時，則，∴，∴，；綜上所述，點P的坐標為或．16．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州高新區實驗初級中學?？奸_學考試）如圖，直線與軸、軸分別相交于、兩點，與雙曲線相交于點，軸于點，且，點的坐標為．(1)求一次函數的解析式；(2)求雙曲線的解析式；(3)若點為雙曲線上點右側的一點，且軸于，當以點、、為頂點的三角形與相似時，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據相似求出點的坐標直接代入一次函數求解析式即可；（2）將（1）中點坐標代入反比例函數中，直接求解；（3）相似需要分類討論，然后將邊長的關系用未知數表示出來，直接代入函數解析式求解即可．【詳解】（1）∵軸于點，軸，∴，∴，∵直線與軸交于點，∴，即，∵，的坐標為，∴，∵，∴，∴，即，將代入，∴，解得，∴，（2）由（1）可知，直接代入，∴，解得，∴；（3）當時，∴，設為，則，∴，直接代入，∴，解得或2，∵，∴，∴，當時，∴，設為，則，∴，直接代入，∴，解得或，∵，∴，∴，綜上所述，或．17．（2023春·江蘇泰州·九年級靖江市靖城中學校考階段練習）研制疫苗新藥，是治療新冠肺炎的當務之急．(1)已知某一種測試藥物在人體的釋放過程中，每毫升血液中的含藥量y（毫克）隨時間x（分鐘）之間滿足正比例函數關系；藥物釋放完后，y與x之間滿足反比例函數關系，如圖1所示，結合圖中提供的信息解答下列問題：①分別求當和時，y與x之間滿足的函數關系式；②據測定，當人體中每毫升血液中的含藥量不低于12毫克時，治療才有效，那么該藥的有效治療時間是多少分鐘．(2)現測試另一種新藥，其中y（微克）與x（小時）之間成二次函數關系，如圖2所示，拋物線的頂點坐標為，拋物線過點．已知這種藥物每毫升血液中的含藥量大于9微克，則會發生中毒；小于5微克，則沒有療效．如果加大給藥量，y與x對應的拋物線的形狀不變，但位置發生變化，求那么該藥在保證安全的情況下最大有效時間是多少小時．【答案】(1)①當，；當，；②21分鐘(2)6小時【分析】（1）分別求得解析式后代入求得x的值的差即為持續時間；（2）求得二次函數的解析式后代入求得x的值的差即可求最大有效時間．【詳解】（1）解：①設正比例函數解析式為，當時，正比例函數圖象經過點，時，，即，，∴正比例函數的解析式為；設反比例函數的解析式為，當時，反比例函數經過點，時，，即，∴反比例函數的解析式為．②當時，；解得，當時，，解得，∴持續時間為（分鐘）．（2）解：設函數表達式，把代入得，由題意得：，當時，，解得：，；∴有效時間為（小時）．18．（2023春·江蘇·九年級?？茧A段練習）如圖，直線與軸、軸分別交于點，，與反比例函數交于點，，過作軸于，連接、，若，．(1)求反比例函數的表達式；(2)求點的坐標；(3)直接寫出關于不等式：的解集為______．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由題意，得到，再由，得到，解得即可得到答案；（2）根據題意，先求出，利用待定系數法確定直線關系式，再由直線與軸交于點，代值求解即可得到；（3）解不等式，用函數圖像表示就是反比例函數圖像在直線上方部分對應的的取值范圍，數形結合即可得到答案．【詳解】（1）解：直線與軸交于點，當時，，即，，直線與反比例函數交于點，，過作軸于，連接、，若，，，解得，反比例函數的表達式為；（2）解：直線與反比例函數交于點，，即，，解得，直線的表達式為，直線與軸交于點，當時，，解得，即；（3）解：求關于不等式的解集，由（1）（2）可知反比例函數的表達式為，直線的表達式為，解不等式用函數圖像表示就是反比例函數圖像在直線上方部分對應的的取值范圍，聯立，解得或，即、，數形結合，得到的解集為或，故答案為：或．19．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于點，兩點．(1)求反比例函數和一次函數的表達式；(2)連接OA、OB，求的面積；(3)直線a經過點且平行于x軸，點M在直線a上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點M、N的坐標，如果不可以，說明理由．【答案】(1)反比例函數解析為y=，一次函數解析式為y=-2x+8(2)8(3)M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（-2，1），N（0，-3）【分析】（1）由A點坐標可求得m的值，可求得反比例函數解析式，則可求得B點坐標，由A、B兩點坐標，利用待定系數法可求得直線AB的解析式；（2）設直線AB與x軸交于點D，求出D點的坐標，分別求出△AOD和△BOD的面積，即可確定△AOB的面積；（3）設M（m，1），N（0，n），分三種情況討論，AB、AM、AN分別為平行四邊形的對角線，列出相應方程式解得即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數y=的圖像過A（1，6），∴m=1×6=6，∴反比例函數解析為y=