第02講平面向量的線性運算（4大考點）考點考向考點考向1.平面向量的相關概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．2.平面向量的加減法則幾個向量相加的多邊形法則；向量減法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則．3.實數(shù)與向量相乘的運算設k是一個實數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．如果，且，那么的長度；的方向：當k>0時與同方向；當k<0時與反方向．如果k=0或，那么．4.實數(shù)與向量相乘的運算律設m、n為實數(shù)，則；；．平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)m，使．5.單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設為單位向量，則．單位向量有無數(shù)個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實數(shù)與向量的乘積可知：，．6.向量的線性運算向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算．如、、、等，都是向量的線性運算．一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達式整理成的形式，其中x、y是實數(shù)．7.向量的合成與分解如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實數(shù)），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關于、的分解式．平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解考點精講考點精講一．*平面向量（共7小題）1．（2022?徐匯區(qū)二模）關于非零向量、、，下列選項中錯誤的是（）A．如果＝，那么||＝|| B．如果、都是單位向量，那么||＝|| C．如果＝2，那么∥ D．如果＝+，那么||＝||+||2．（2022?青浦區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC至點E，使CE＝2BC，聯(lián)結DE，設＝，＝，那么可表示為（）A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣23．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知點C是線段AB的中點，則＝．4．（2022?長寧區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是直線l上的三點，P是直線l外的一點，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（）A．﹣2+3 B．﹣+2 C．2﹣ D．4﹣35．（2022春?長寧區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD的中點，CE交對角線BD于點F．如果＝，＝，那么用、的線性組合表示向量為（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣﹣ D．6．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點，聯(lián)結CE、DE，設＝，＝，那么下列向量中，可表示為+的是（）A． B． C． D．7．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，則一定有（）A．＝ B．∥，且，方向相同 C．＝﹣ D．∥，且，方向相反二．實數(shù)與向量相乘（共2小題）8．（2019春?徐匯區(qū)校級月考）計算2（﹣）+3＝．9．（2019秋?黃浦區(qū)期末）計算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．三．平面向量定理（共2小題）10．（2019秋?閔行區(qū)校級月考）下列命題中是真命題的是（）A．若，則 B． C．若，則 D．單位向量有且只有一個11．（2019?徐匯區(qū)校級一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線，點E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，則用表示是：＝．四．向量的線性運算（共3小題）12．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，請用向量，表示向量＝．13．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）在△ABC中，E、F分別是邊AB和AC的中點，，，那么向量用向量和表示為．14．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC與BD交于點P，令，那么＝．（用向量、表示）鞏固提升鞏固提升一．選擇題（共4小題）1．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知△ABC，AD為三角形ABC的中線，，，則＝（）A． B． C． D．2．（2022春?楊浦區(qū)校級月考）下列判斷不正確的是（）A．＝0 B．如果，那么||＝|| C． D．如果非零向量＝k?（k≠0），那么∥3．（2022?寶山區(qū)模擬）已知單位向量與非零向量，，下列四個選項中，正確的是（）A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝4．（2021春?徐匯區(qū)月考）D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，＝，＝，則等于（）A． B． C． D．﹣二．填空題（共12小題）5．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果||＝5，||＝3，則||的取值范圍是．6．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，設＝，＝，那么可以用，表示為．7．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，設＝，＝，那么向量用向量、表示為．8．（2022?閔行區(qū)二模）計算：＝．9．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊CD中點，聯(lián)結AE交對角線BD于F，設＝，＝，那么可用、表示為．10．（2022?奉賢區(qū)二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中點，聯(lián)結AE．如果設＝，＝，那么＝（含、的式子表示）．11．（2022?嘉定區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，BD＝2DC，設向量＝，＝，那么向量＝（結果用、表示）．12．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，已知AC、BD是梯形ABCD的對角線，AD∥BC，BC＝2AD，如果設＝，＝，那么向量用向量、表示為．13．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點E，設＝，＝，那么向量用向量、表示為．14．（2022春?金山區(qū)月考）如圖，已知AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線．設向量＝，向量＝，那么向量可以表示為（用向量、表示）．15．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，如果＝，那么＝（用表示）．16．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊CD的中點，如果，，用含、的式子表示向量＝．三．解答題（共8小題）17．（2021秋?閔行區(qū)校級月考）如圖，已知兩個不平行的非零向量和．先化簡，再在方格中求作：（3﹣）﹣（2+5）．（寫出結論，不要求寫作法）18．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）如圖，已知平面內兩個不平行的向量、，求作：2（﹣）+3．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）19．（2021?上海模擬）如圖，已知兩個不平行的向量先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量．）20．（2021秋?松江區(qū)校級期中）如圖，是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點，且，CE交BD點E，BF＝15．（1）求DF的長；（2）如果＝，＝，用、表示向量．21．（2021春?普陀區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中．（1）用圖中的向量表示：++＝；（2）用圖中的向量表示：﹣＝；（3）在作圖區(qū)內求作并寫結論：+．22．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，點E在平行四邊形ABCD的對角線BD上．（1）填空：＝；＝；（2）求作：．（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結果）．23．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，點E、F分別是AD、AC的中點，設＝，＝，用、的線性組合表示向量．24．（2021秋?金山區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，D、E在AB邊上，且AD＝DE＝EB，CF＝2AF，DF＝1.2．（1）求BC的長．（2）填空：設＝，＝，則＝．第02講平面向量的線性運算（4大考點）考點考向考點考向1.平面向量的相關概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；相等的向量：方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量；互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量．2.平面向量的加減法則幾個向量相加的多邊形法則；向量減法的三角形法則；向量加法的平行四邊形法則．3.實數(shù)與向量相乘的運算設k是一個實數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個向量，記作．如果，且，那么的長度；的方向：當k>0時與同方向；當k<0時與反方向．如果k=0或，那么．4.實數(shù)與向量相乘的運算律設m、n為實數(shù)，則；；．平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)m，使．5.單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設為單位向量，則．單位向量有無數(shù)個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實數(shù)與向量的乘積可知：，．6.向量的線性運算向量加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算．如、、、等，都是向量的線性運算．一般來說，如果、是兩個不平行的向量，是平面內的一個向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達式整理成的形式，其中x、y是實數(shù)．7.向量的合成與分解如果、是兩個不平行的向量，（m、n是實數(shù)），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個向量，這時，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關于、的分解式．平面上任意一個向量都可以在給定的兩個不平行向量的方向上分解考點精講考點精講1．（2022?徐匯區(qū)二模）關于非零向量、、，下列選項中錯誤的是（）A．如果＝，那么||＝|| B．如果、都是單位向量，那么||＝|| C．如果＝2，那么∥ D．如果＝+，那么||＝||+||【專題】三角形；推理能力．【分析】根據(jù)向量的性質和向量模的定義進行分析判斷．【解答】解：A、如果＝，那么||＝||，不符合題意；B、如果、都是單位向量，那么||＝||，不符合題意；C、如果＝2，那么∥，不符合題意；D、如果＝+，那么||≤||+||，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查了平面向量，需要考慮共線向量和非共線向量兩種情況．2．（2022?青浦區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，延長BC至點E，使CE＝2BC，聯(lián)結DE，設＝，＝，那么可表示為（）A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣2【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀．【分析】由平面向量和平行四邊形的性質可得，＝，＝2，則＝+＝．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，∴，＝，∵CE＝2BC，∴＝2，∴＝+＝．故選：A．【點評】本題考查平面向量、平行四邊形的性質，熟練掌握平面向量和平行四邊形的性質是解答本題的關鍵．3．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知點C是線段AB的中點，則＝．【專題】三角形；推理能力．【分析】根據(jù)共線向量的性質作答．【解答】解：∵點C是線段AB的中點，∴＝﹣．∴＝．故答案是：．【點評】本題主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向．4．（2022?長寧區(qū)二模）如圖，已知A、B、C是直線l上的三點，P是直線l外的一點，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（）A．﹣2+3 B．﹣+2 C．2﹣ D．4﹣3【專題】數(shù)形結合；幾何直觀．【分析】＝﹣＝﹣，則＝2﹣2，再根據(jù)＝可得出答案．【解答】解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵BC＝2AB，∴＝2﹣2，∴＝＝3﹣2＝﹣2+3．故選：A．【點評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的計算是解答本題的關鍵．5．（2022春?長寧區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊AD的中點，CE交對角線BD于點F．如果＝，＝，那么用、的線性組合表示向量為（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣﹣ D．【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀．【分析】由已知條件可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，進而可得△DEF∽△BCF，則，所以CF＝CE，根據(jù)＝＝+，可求出，即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∵E是AD的中點，∴AE＝DE＝，∵AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∵∠DFE＝∠BFC，∴△DEF∽△BCF，則，∴CF＝2EF，∴CF＝CE，∵＝＝+，∴＝，∴．故選：A．【點評】本題考查平面向量、平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握平面向量的定義是解答本題的關鍵．6．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊AB的中點，聯(lián)結CE、DE，設＝，＝，那么下列向量中，可表示為+的是（）A． B． C． D．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到AD＝BC；然后利用三角形法則解答即可．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AD＝BC．∵＝，∴＝＝．∵E是邊AB的中點，＝，∴＝＝．∴+＝+＝．故選：A．【點評】本題主要考查了平面向量和平行四邊形的性質，注意平面向量既有大小又有方向．7．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，則一定有（）A．＝ B．∥，且，方向相同 C．＝﹣ D．∥，且，方向相反【專題】三角形；運算能力．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應用，利用平方法進行判斷即可．【解答】解：∵，非零向量，且|+|＝||+||，∴平方得||2+||2+2?＝||2+||2+2||?||，即?＝||?||，∴||?||cos＜，＞＝||?||，則cos＜，＞＝1，即∥，且，方向相同．故選：B．【點評】本題主要考查向量數(shù)量積的應用，利用平方法是解決本題的關鍵．二．實數(shù)與向量相乘（共2小題）8．（2019春?徐匯區(qū)校級月考）計算2（﹣）+3＝2+．【專題】特定專題；運算能力．【分析】根據(jù)平面向量的加法法則計算即可．【解答】解：2（﹣）+3＝2﹣2+3＝2+，故答案為2+．【點評】本題考查平面向量，解題的關鍵是熟練掌握平面向量的加法法則，屬于中考常考題型．9．（2019秋?黃浦區(qū)期末）計算：2（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+4．【專題】特定專題；運算能力．【分析】根據(jù)平面向量的加法法則計算即可．【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，故答案為﹣3+4．【點評】本題考查平面向量的加法法則，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．三．平面向量定理（共2小題）10．（2019秋?閔行區(qū)校級月考）下列命題中是真命題的是（）A．若，則 B． C．若，則 D．單位向量有且只有一個【專題】特定專題；應用意識．【分析】根據(jù)向量的性質一一判斷即可．【解答】解：A、模相等的向量不一定是等向量，本選項不符合題意．B、根據(jù)三角形法則可知，||+||≥|+|，本選項不符合題意．C、是真命題，本選項符合題意．D、單位向量的方向不一定相同，本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查命題，平面向量等知識，解題的關鍵是熟練掌握平面向量的性質，屬于中考常考題型．11．（2019?徐匯區(qū)校級一模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位線，點E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，則用表示是：＝﹣2．【分析】此題只需根據(jù)梯形的中位線定理得到EF和AD的關系即可．【解答】解：根據(jù)AD：BC＝1：3，則BC＝AD．根據(jù)梯形的中位線定理，得EF＝2AD．又∵＝，∴＝﹣2．【點評】考查了梯形的中位線定理．四．向量的線性運算（共3小題）12．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，請用向量，表示向量＝+．【分析】首先根據(jù)已知求得向量CD，再根據(jù)向量的知識求得，代入數(shù)值即可求得．【解答】解：∵AB＝2CD，＝，∴，∵，∵＝，∴．故答案為：．【點評】此題考查向量的知識．題目比較簡單，要注意識圖．13．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）在△ABC中，E、F分別是邊AB和AC的中點，，，那么向量用向量和表示為．【專題】計算題．【分析】此題主要用到了平行四邊形法則，在向量AB，AC已知的情況下，E、F分別是邊AB和AC的中點，可求出向量AE，AF，從而求出向量．【解答】解：因為E、F分別是邊AB和AC的中點，所以＝，＝，＝﹣＝﹣＝．故答案為．【點評】本題難度中等，考查向量的知識，主要運用平行四邊形法則．14．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC與BD交于點P，令，那么＝．（用向量、表示）【分析】由AB∥CD，即可證得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，即可求得與的關系，利用平行四邊形法則，求得，即可求得．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴△PCD∽△PAB，∴，∴＝，∵＝+＝+，∴＝（+）＝+．故答案為：+．【點評】此題考查向量的知識與相似三角形的判定與性質．解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用，還要注意向量是有方向的．鞏固提升鞏固提升一．選擇題（共4小題）1．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知△ABC，AD為三角形ABC的中線，，，則＝（）A． B． C． D．【分析】由已知可得BD＝CD＝BC，則＝，則＝．【解答】解：∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD＝BC，∴＝，∴＝．故選：C．【點評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的運算是解題的關鍵．2．（2022春?楊浦區(qū)校級月考）下列判斷不正確的是（）A．＝0 B．如果，那么||＝|| C． D．如果非零向量＝k?（k≠0），那么∥【分析】，即可判斷A；根據(jù)向量模的定義可判斷B；根據(jù)向量的交換律可判斷C；根據(jù)平行向量的判定可判斷D．【解答】解：對于A選項，，故A選項錯誤，符合題意；對于B選項，由，根據(jù)向量模的定義，可得，故B選項正確，不符合題意；對于C選項，根據(jù)向量的交換律可得，故C選項正確，不符合題意；對于D選項，根據(jù)平行向量的判定可知，如果非零向量（k≠0），則，故D選項正確，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的基本知識是解答本題的關鍵．3．（2022?寶山區(qū)模擬）已知單位向量與非零向量，，下列四個選項中，正確的是（）A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)平面向量的定義，平面向量模的定義以及共線向量的定義進行判斷．【解答】解：A、當單位向量與非零向量的方向相同時，該等式才成立，故本選項不符合題意．B、等式||＝成立，故本選項符合題意．C、當單位向量與非零向量的方向相同時，該等式才成立，故本選項不符合題意．D、當單位向量與非零向量的方向相同時，等式＝才成立，故本選項不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了平面向量的知識，需要掌握向量共線定理，單位向量的定義，屬于基礎題．4．（2021春?徐匯區(qū)月考）D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，＝，＝，則等于（）A． B． C． D．﹣【分析】首先由D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，可得DE∥BC，DE＝BC，然后由＝﹣，即可求得答案．【解答】解：∵D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，∴＝，∵＝，＝，∴＝﹣，＝﹣，∴＝（﹣）．故選：C．【點評】此題考查了平面向量的知識與三角形中位線的性質．解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．二．填空題（共12小題）5．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如果||＝5，||＝3，則||的取值范圍是2≤||≤8．【分析】根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析求解．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關系，得5﹣3＜||＜5+3，即2＜||＜8．當向量與向量共線時，2≤||≤8．故答案為：2≤||≤8．【點評】本題主要考查了平面向量和三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．6．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，設＝，＝，那么可以用，表示為﹣．【分析】根據(jù)平行向量的性質求得；然后在△ACD中，利用三角形法則求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，＝，∴＝＝．∴＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．【點評】本題主要考查了平面向量和梯形，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用，還要注意向量是有方向的．7．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，設＝，＝，那么向量用向量、表示為﹣．【分析】根據(jù)＝+，＝+，只要求出即可解決問題．【解答】解：如圖，連接AC，∵AD∥BC，BC＝3AD，∴＝3．∵＝+，＝+，∴＝++，即＝﹣++3．∴＝﹣．故答案是：﹣．【點評】本題考查平面向量，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．8．（2022?閔行區(qū)二模）計算：＝16+12．【分析】實數(shù)的運算法則同樣能應用于平面向量的計算過程中，所以根據(jù)實數(shù)的運算法則解答即可．【解答】解：＝6﹣3+10+15＝．故答案是：．【點評】本題主要考查了平面向量．此題屬于平面向量的計算，屬于基礎題．9．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊CD中點，聯(lián)結AE交對角線BD于F，設＝，＝，那么可用、表示為﹣+．【分析】根據(jù)三角形法則求得；利用平行四邊形的性質和平行線分線段成比例求得BF＝BD，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴＝＝，∴＝+＝﹣+，∵在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴＝．∵點E是邊CD中點，∴＝＝．∴＝＝﹣+．故答案是：﹣+．【點評】本題考查平面向量，平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．10．（2022?奉賢區(qū)二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中點，聯(lián)結AE．如果設＝，＝，那么＝2+（含、的式子表示）．【分析】由題可得＝2，＝，再根據(jù)＝+可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2CD，＝，∴＝2，∵E是腰BC的中點，＝，∴＝，∴＝+＝2+．故答案為：2+．【點評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的運算是解答本題的關鍵．11．（2022?嘉定區(qū)二模）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，BD＝2DC，設向量＝，＝，那么向量＝﹣﹣（結果用、表示）．【分析】首先由已知條件BD＝2DC得到＝；然后根據(jù)三角形法則求得答案．【解答】解：如圖，在△ABC中，BD＝2DC，＝，則到＝＝．在△ABD中，＝﹣＝﹣（+）＝﹣﹣．故答案是：﹣﹣．【點評】本題主要考查了平面向量，注意：平行向量既有大小又有方向．12．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，已知AC、BD是梯形ABCD的對角線，AD∥BC，BC＝2AD，如果設＝，＝，那么向量用向量、表示為3+．【分析】由已知條件可得＝2＝2，則＝＝2，再根據(jù)＝可得出答案．【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，∴＝2＝2，∵＝，∴＝＝2，∴＝＝2++＝3+．故答案為：3+．【點評】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的計算是解答本題的關鍵．13．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點E，設＝，＝，那么向量用向量、表示為（﹣）．【分析】首先利用三角形法則求得；然后根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分和共線向量求得答案．【解答】解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．在平行四邊形ABCD中，BE＝BD．∴＝＝（﹣）．故答案是（﹣）．【點評】本題考查平行四邊形的性質，平面向量等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．14．（2022春?金山區(qū)月考）如圖，已知AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線．設向量＝，向量＝，那么向量可以表示為2+（用向量、表示）．【分析】利用平行四邊形的性質，三角形法則求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案為：2+．【點評】本題考查平行四邊形的性質，三角形法則等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．15．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，如果＝，那么＝﹣x（用表示）．【分析】首先證明AD＝2CD，推出CD＝AC即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，DB＝2DC，∴AD＝2DC，∴CD＝AC，∴＝﹣，故答案為﹣．【點評】本題考查平面向量，解題的關鍵是證明AD＝2CD，屬于中考常考題型．16．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊CD的中點，如果，，用含、的式子表示向量＝+．【分析】首先取AB的中點F，連接EF，由四邊形ABCD是平行四邊形與點E、F分別是CD、AB上的中點，即可得＝＝，然后根據(jù)平行四邊形法則，即可求得的值．【解答】解：如圖，取AB的中點F，連接EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵點E、F分別是CD、AB上的中點，∴DE＝AF，即＝＝，∴＝+＝+．故答案為：+．【點評】此題考查了平面向量的知識與平行四邊形的性質．解此題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用與平行四邊形法則．三．解答題（共8小題）17．（2021秋?閔行區(qū)校級月考）如圖，已知兩個不平行的非零向量和．先化簡，再在方格中求作：（3﹣）﹣（2+5）．（寫出結論，不要求寫作法）【分析】首先利用平面向量的運算法則，化簡原式，再利用三角形法則畫出向量．【解答】解：（3﹣）﹣（2+5）＝3﹣﹣﹣＝2﹣3．作圖如下：＝2，＝3，＝﹣＝2﹣3．∴即為所求作的向量．【點評】此題考查了平面向量的運算．注意掌握三角形法則是解此題的關鍵．18．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）如圖，已知平面內兩個不平行的向量、，求作：2（﹣）+3．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量）【分析】首先利用平面向量的加減運算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形．【解答】解：2（﹣）+3＝2+．如圖：＝2，＝，則＝+＝2+．故即為所求．【點評】此題考查了平面向量的運算法則以及作法．注意作圖時準確利用三角形法則是關鍵．19．（2021?上海模擬）如圖，已知兩個不平行的向量先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量．）【分析】首先利用平面向量的加減運算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形．【解答】解：＝＝．如圖：＝2，＝﹣，則＝．即即為所求．【點評】此題考查了平面向量的運算法則以及作法．注意作圖時準確利用三角形法則是關鍵．20．（2021秋?松江區(qū)校級期中）如圖，是平行