第17講二次函數(shù)中的角的和差倍半問(wèn)題（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個(gè)相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線(xiàn)段構(gòu)建數(shù)量關(guān)系【考點(diǎn)剖析】1.(2023徐匯一模24題）如圖，拋物線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線(xiàn)段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D，交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求直線(xiàn)AB的表達(dá)式，直接寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)以B，E，D為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，求與的面積之比．2.(2023年青浦二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）＝時(shí)，求OE的長(zhǎng)．3．(2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F．（1）求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．（2）聯(lián)結(jié)OE，若點(diǎn)G在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且△BEG與△COE相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．（3）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一點(diǎn)，且∠DAO+∠DPO＝∠α，tanα＝4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．(2023?嘉定區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，拋物線(xiàn)y＝mx2﹣2x+n（m、n是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，3）、B（﹣3，0），與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，如果直線(xiàn)BD和直線(xiàn)BC的夾角為15°，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度；（3）設(shè)點(diǎn)P為此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BPC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2023年虹口一模24）已知開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)y＝ax2﹣4ax+3與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AB與OC交于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，求拋物線(xiàn)y＝ax2﹣4ax+3的表達(dá)式；（3）當(dāng)∠ABC＝2∠BCD時(shí)，求OD的長(zhǎng)。2．(2023秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣1），它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如果直線(xiàn)y＝x+1與此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C、與拋物線(xiàn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)交于點(diǎn)D，且∠BDC＝∠ACB，求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)．3．．(2023?奉賢期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=?12x2+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）將該拋物線(xiàn)向下平移m個(gè)單位，使得點(diǎn)C落在線(xiàn)段AB上的點(diǎn)D處，當(dāng)AD＝3BD時(shí)，求m的值；（3）連接BC，當(dāng)∠CBA＝2∠BAO時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．4．(2023長(zhǎng)寧期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，﹣6）、B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且位于線(xiàn)段BC上方，聯(lián)結(jié)CD．①如果點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．第17講二次函數(shù)中的角的和差倍半問(wèn)題（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個(gè)相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線(xiàn)段構(gòu)建數(shù)量關(guān)系【考點(diǎn)剖析】1.(2023徐匯一模24題）如圖，拋物線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C為線(xiàn)段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D，交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求直線(xiàn)AB的表達(dá)式，直接寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)以B，E，D為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時(shí)，求與的面積之比．【小問(wèn)1詳解】解：令，則，或，，令，則，，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：，，是直角三角形，設(shè)，①如圖1，當(dāng)，時(shí)，，，，（舍或，，；②如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，，，，，即，，，，（舍或，，；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；【小問(wèn)3詳解】解：如圖3，作的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，在中，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，．2.(2023年青浦二模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，頂點(diǎn)是點(diǎn)D．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)第三象限上的一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PBDC為梯形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E為x軸正半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠PBO+∠PEO）＝時(shí)，求OE的長(zhǎng)．解：（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－1，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，∴……（2分），解得 （1分）∴拋物線(xiàn)的解析式為．把x＝1代入拋物線(xiàn)的解析式，得y＝4．∴D（1，4）． （1分）（2）∵點(diǎn)P為拋物線(xiàn)第三象限上的點(diǎn)，且四邊形PBDC為梯形，∴CD∥BP． （1分）延長(zhǎng)DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H．∵C（0，3），D（1，4），∴GD＝CG＝1．∴∠GDC＝45°．∵GD∥BF，∴∠DFB＝∠GDC＝45°．∵CD∥BP，∴∠PBF＝∠DFB＝45°． （1分）∴∠PBF＝∠HPB，∴PH＝BH．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由題意可知B（3，0）．得． （1分）解得，或．（舍）∴P（－2，－5） （1分）（3）∵P（－2，－5），∴在Rt△PHO中，． （1分）∵，∴．由（2）可知，，因此，所以點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)．又∵，∴． （1分）∵，∴△OPB∽△OEP． （1分）∴，∴，∴． （1分）3．(2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F．（1）求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．（2）聯(lián)結(jié)OE，若點(diǎn)G在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且△BEG與△COE相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．（3）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一點(diǎn)，且∠DAO+∠DPO＝∠α，tanα＝4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式即可求得與坐標(biāo)軸的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線(xiàn)BC的解析式，把對(duì)稱(chēng)軸代入直線(xiàn)BC的解析式即可求得；（2）根據(jù)OB＝OC，DE∥y軸，得到∠EOC＝∠BOG＝45°，再由△BEG與△COE相似，點(diǎn)G在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，可以分CEOC=EG（3）由D（1，4），則tan∠DOF＝4，得出∠DOF＝∠α，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠DPO＝∠ADO，進(jìn)而求得△ADP∽△AOD，得出AD2＝AO?AP，從而求得OP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：由拋物線(xiàn)y＝﹣x2+2x+3可知，C（0，3），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1，x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；∴頂點(diǎn)x＝1，y＝4，即D（1，4）；∴DF＝4設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b，代入B（3，0），C（0，3），得0=3k+b3=b解得k=?∴解析式為；y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴EF＝2，∴DE＝DF﹣EF＝4﹣2＝2；（2）如圖，連接OE，∵E（1，2），C（0，3），B（3，0），∴CO＝3，OE=(1?0)2+(2?0)2=5，∵OB＝OC，DE∥y軸，∴∠EOC＝∠BOG＝45°，∵△BEG與△COE相似，點(diǎn)G在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，∴①若CEOC則EG22=2∵2?4∴G（1，43②若CEOC則22EG'=∵2﹣6＝﹣4，∴G'（1，﹣4），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，43（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作DF⊥x軸于F，連接OD，∵D（1，4），∴tan∠DOF＝4，又∵tan∠α＝4，∴∠DOF＝∠α，∵∠DOF＝∠DAO+∠ADO＝∠α，∵∠DAO+∠DPO＝∠α，∴∠DPO＝∠ADO，∴△ADP∽△AOD，∴AD2＝AO?AP，∵AF＝2，DF＝4，∴AD2＝AF2+DF2＝20，∴OP＝19，同理，當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，OP＝17．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（19，0）或（﹣17，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，以及相似三角形的判定及性質(zhì)，（2）問(wèn)分類(lèi)討論以及（3）問(wèn)證明出△ADP∽△AOD是本題的關(guān)鍵．4．(2023?嘉定區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，拋物線(xiàn)y＝mx2﹣2x+n（m、n是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，3）、B（﹣3，0），與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C．（1）求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，如果直線(xiàn)BD和直線(xiàn)BC的夾角為15°，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度；（3）設(shè)點(diǎn)P為此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BPC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．分析：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求解可得；（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得出OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，據(jù)此知∠DBO＝30°或60°，依據(jù)DO＝BO?tan∠DBO求出得DO=3或3（3）設(shè)P（﹣1，t），知BC2＝18，PB2＝4+t2，PC2＝t2﹣6t+10，再分點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)三種情況分別求解可得．【解答】解：（1）依題意得：4m+4+n=39m+6+n=0解得：m=?∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y＝﹣x2﹣2x+3．（2）∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2﹣2x+3與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），又點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣3，0），∴OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，∴∠DBO＝30°或60°．在直角△BOD中，DO＝BO?tan∠DBO，∴DO=3或3∴CD=3?3或（3）由拋物線(xiàn)y＝﹣x2﹣2x+3得：對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣1，根據(jù)題意：設(shè)P（﹣1，t），又點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣3，0），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解之得：t＝﹣2，②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解之得：t＝4，③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解之得：t1=3+綜上所述P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或(?1，3+【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2023年虹口一模24）已知開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)y＝ax2﹣4ax+3與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AB與OC交于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，求拋物線(xiàn)y＝ax2﹣4ax+3的表達(dá)式；（3）當(dāng)∠ABC＝2∠BCD時(shí)，求OD的長(zhǎng)?！窘獯稹拷猓海?）令x＝0，則y＝3，∴A（0，3），∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2+3﹣4a，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴C（4，3），∴B（2，3﹣4a）；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥y軸交于點(diǎn)G，∵∠ABC＝90°，∴∠OAB＝45°，∴AG＝BG＝2，∴B（2，1），∴3﹣4a＝1，∴a＝，∴y＝x2﹣2x+3；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OC交于點(diǎn)H，連接AC，∵∠ABC＝2∠BCD，∴∠NBC＝∠CNB，∴∠ONB＝2∠OCB，∵NB∥y軸，∴∠AOC＝∠ONB，∵AC＝4，AO＝3，∴tan∠AOC＝，∴tan∠HNB＝，設(shè)HB＝4x，則HN＝3x，∴NB＝5x，∴NB＝CN＝5x，∴CH＝8x，∴tan∠HCB＝，∵∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，∴＝，∴a＝1，∴y＝x2﹣4x+3，∴B（2，﹣1），∵N是OC的中點(diǎn)，∴N（2，），∴BN＝，ON＝，∵AO∥BN，∴△AOD∽△BND，∴＝，即＝，∴OD＝．2．(2023秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣1），它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如果直線(xiàn)y＝x+1與此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C、與拋物線(xiàn)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)交于點(diǎn)D，且∠BDC＝∠ACB，求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠PDC＝∠DBC+45°，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)．分析：（1）由點(diǎn)A（2，﹣1）在拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1，代入即可；（2）由于點(diǎn)C是直線(xiàn)y＝x+1和拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸x＝1的交點(diǎn)，確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)△BCD∽△ABC得到BC2＝CD×AB，CD的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)D坐標(biāo)即可；（3）設(shè)直線(xiàn)DE交y軸于F，連接BF，先證明∠OBF＝∠CBF＝45°，即∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，再證明tan∠DBF=DFBF=322=3，接下來(lái)連接PD交y軸于G，過(guò)G作GH⊥DF于H，設(shè)HD＝x，則GH＝3x，由DF＝4x＝32得x=32【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（2，﹣1）在拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1上，∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴?b∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，∴B（1，0）；（2）∵直線(xiàn)y＝x+1與此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x＝1交于點(diǎn)C，∴C（1，2），∴BC＝2，∵∠DEB＝45°，∠x(chóng)BA＝45°，∴∠BCD＝∠CBA＝135°，∵∠BDC＝∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴BC2＝CD×AB，∴CD＝22，設(shè)點(diǎn)D（m，m+1），∵C（1，2），∴（m﹣1）2+（m+1﹣2）2＝（22）2，∴m＝3或m＝﹣1（舍），∴D（3，4），∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣1上，∴9a+3b﹣1＝4，∵4a+2b﹣1＝﹣1，∴a=53，b∴拋物線(xiàn)解析式為y=53x2?（3）如圖，設(shè)直線(xiàn)DE交y軸于F，連接BF，∵直線(xiàn)CD：y＝x+1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣1，∴F（0，1），E（﹣1，0），∴OF＝1＝OB，OE＝OF＝1，∴∠OBF＝∠CBF＝45°，∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠PDC＝∠DBC+45°＝∠DBF，∵∠CFB＝∠OEF+∠OBF，∴∠CFB＝90°，∵BF=12+12=∴tan∠DBF=DF∴tan∠PDC＝3，連接PD交y軸于G，過(guò)G作GH⊥DF于H，∴tan∠PDC=GH設(shè)HD＝x，則GH＝3x，∵∠GFH＝∠OFE＝45°，∴GH＝FH＝3x，∴DF＝4x＝32，解得x=3∵GF=GH2+F∴GF=9∴GO=92+∴G（0，112設(shè)直線(xiàn)PD：y＝kx+11代入點(diǎn)D（3，4），得k=?∴直線(xiàn)PD：y=?12令y=?12x+112整理得10x2﹣17x﹣39＝0，解得x＝3或?13∴P的坐標(biāo)為（?1310，【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了確定拋物線(xiàn)解析式，對(duì)稱(chēng)軸的方法，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵是判定三角形相似以及將∠PDC＝∠DBC+45°轉(zhuǎn)化為∠PDC＝∠DBF．3．．(2023?奉賢期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=?12x2+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）將該拋物線(xiàn)向下平移m個(gè)單位，使得點(diǎn)C落在線(xiàn)段AB上的點(diǎn)D處，當(dāng)AD＝3BD時(shí)，求m的值；（3）連接BC，當(dāng)∠CBA＝2∠BAO時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．分析：（1）利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式即可；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，利用平行證明△ADG∽△ABO，列比例式可以計(jì)算OG和DG的長(zhǎng)，從而得D（1，32），最后由平移的性質(zhì)可得m（3）如圖2，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建等腰△ABF，確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，計(jì)算BF的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)和BF的解析式，方程組的一個(gè)解就是點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（0，2）代入拋物線(xiàn)y=?12x2+bx?1解得：b=3∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=?12x2（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴ADAB∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG=3∵D（1，32由平移得：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x＝1時(shí)，y=?12∴m＝3?3（3）∵∠CBA＝2∠BAO，點(diǎn)C在該拋物線(xiàn)上且在第一象限，∴點(diǎn)C在AB的上方，如圖2，過(guò)A作AF⊥x軸于A，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，過(guò)B作BE⊥AF于點(diǎn)E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），設(shè)BF的解析式為：y＝kx+n，則4k+n=4n=2解得：k=1∴BF的解析式為：y=12∴y=1解得x=0y=2或x=2∴C（2，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)和一次函數(shù)的解析式；靈活應(yīng)用相似比表示線(xiàn)段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．4．(