第第頁考點鞏固卷11復數（五大考點）考點01：復數與復平面內點的關系復數集與復平面內點的對應關系按照復數的幾何表示法，每一個復數有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應．復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即復數復平面內的點這是復數的一種幾何意義．復數集與復平面中的向量的對應關系在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的，所以，我們還可以用向量來表示復數．設復平面內的點表示復數，向量由點唯一確定；反過來，點也可以由向量唯一確定．復數集和復平面內的向量所成的集合是一一對應的，即復數平面向量1．當時，復數在復平面上對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先化簡復數，再根據參數范圍分別判斷實部和虛部范圍進而判斷點的象限即可.【詳解】因為,且,所以,則復數在復平面上對應的點位于第一象限.故選：A.2．已知復數的實部為的虛部為，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由復數的除法得到，從而得到實部的值，由復數的乘法得到，從而得到虛部的值，從而得到，得到對應的點，得到所在象限.【詳解】，所以，所以，其在復平面內的對應點為，位于第一象限．故選：A．3．已知復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復數的四則運算法則化簡求出，再由共軛復數的定義，復數的概念，即可得到所求．【詳解】，，，，，的共軛復數的虛部為，故選：．4．虛數z滿足，則z的虛部為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據復數相等可得①，②，即可將選項中的值代入驗證.或者利用因式分解求解。【詳解】解法一：設復數,則，化簡得，故，即①，②此時，對于選項中的值，代入：若，則，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，綜上可得故選：A解法二：由可得，故，故或，由于為虛數，故，故虛部為1，故選：A5．復數z滿足（為虛數單位），則復數z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數除法運算法則求出復數z即可得復數z的虛部.【詳解】由題，故復數z的虛部為.故選：B.6．在復平面內，復數對應的向量為，其中是原點，則下列說法正確的是（

）A．復數的虛部為 B．復數對應的點在第一象限C．當時，復數為純虛數 D．向量對應的復數為【答案】BC【分析】選項A，利用復數的定義可知選項A錯誤；利用復數的幾何意義，即可判斷出選項B和D的正誤；選項C，利用復數的運算，即可判斷出選項C的正誤.【詳解】對于選項A，因為，所以復數的虛部為，故選項A錯誤，對于選項B，因為，所以，故復數對應的點為，在第一象限，所以選項B正確，對于選項C，因為，又，所以，故選項C正確，對于選項D，因為，所以，得到向量對應的復數為，所以選項D錯誤，故選：BC.7．若復數滿足：（其中是虛數單位），復數的共軛復數為，則下列說法正確的是（

）A．的虛部是 B．C． D．【答案】CD【分析】利用復數的運算性質，即可作出判斷.【詳解】由得：，所以的虛部是，故A是錯誤的；由，故B是錯誤的；由，故C是正確的；由，故D是正確的；故選：CD.8．已知復數滿足，則（

）A．的虛部為 B．C．為純虛數 D．在復平面內對應的點在第四象限【答案】AD【分析】根據復數的運算法則，化簡復數為，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由復數，可得，對于A中，由的虛部為，所以A正確；對于B中，由，可得，所以B不正確；對于C中，由，可得不是純虛數，所以C錯誤；對于D中，由在復平面內對應的點為位于第四象限，所以D正確.故選：AD.9．若，則（

）A．B．的虛部為8C．D．在復平面內對應的點位于第二象限【答案】BC【分析】根據化簡復數得，即可由模長公式求解A，根據復數的乘方可得，根據虛部的概念即可求解B，根據復數的除法運算即可求解C，根據復數對應的點為即可求解D.【詳解】，故，A錯誤.，B正確.，C正確.在復平面內對應的點位于第四象限，D錯誤.故選：BC10．復數，則的虛部為．【答案】/-2.2【分析】由復數的除法化簡，再由復數虛部的定義得解.【詳解】復數，則，此復數的虛部為.故答案為：考點02：復數模及幾何意義復數復平面內的點復數平面向量11．已知復數，則下列選項正確的是（

）．A．若z為純虛數﹐則或B．若z在復平面內對應的點位于第二象限，則C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】根據純虛數特征求參判斷A選項；根據復數的象限判斷實部虛部范圍解不等式判斷B選項，應用模長公式計算判斷C選項，應用共軛復數判斷D選項.【詳解】若z為純虛數，則，所以，故A不正確；若z在復平面內對應的點位于第二象限，則，所以，故B正確；若，則，所以，故C不正確；若，則，所以，故D正確．故選：BD.12．已知復數，，則下列說法正確的是（

）A． B．存在實數，使得為實數C．若為純虛數，則 D．【答案】AC【分析】根據復數的模長計算判斷A選項，應用實數和純虛數定義判斷B,C選項，根據模長及乘方運算判斷D選項.【詳解】因為所以，A正確；因為,無實數解，B選項錯誤；因為為純虛數，則，即，C選項正確；當時，，則，D選項錯誤.故選：AC.13．已知，且復平面內對應的點為，則下面說法正確的有（

）A．B．若，則，中至少有個是C．滿足的點形成的圖形的面積為D．若，則的最小值為【答案】ABD【分析】設復數，對于A，分別計算即可；對于B，根據可得即可判斷；對于C，由可得即可判斷；對于D，由得，并計算即可計算最小值.【詳解】設復數，對于A，，則，所以，而，故A正確；對于B，若，則，即，則或，則或，則，中至少有個是，故B正確；對于C，，所以，所以點形成的圖形面積為，故C錯誤；對于D，因為，所以，且，所以，且所以，所以最小值為，故D正確.故選：ABD.14．已知復數，則（

）A．的實部為 B．的虛部為C． D．在復平面內對應的點位于第一象限【答案】AC【分析】復數除法化簡的，再根據復數的實部、虛部、模和共軛復數的幾何意義判斷各個選項；【詳解】由題意得，所以的實部為，虛部為，故A正確B錯誤；在復平面內對應的點位于第四象限．故C正確D錯誤；故選：AC.15．已知復數，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若，則D．若，則【答案】BC【分析】舉反例排除AD，設，根據復數的運算性質和求模長的公式判斷BC，從而得解.【詳解】A選項，令，則，但不滿足，A錯誤；B選項，設，則，，B正確；選項，設，則，則，C正確；選項，令，則，但不滿足D錯誤.故選：BC.16．已知是復數，是其共軛復數，則下列命題中正確的是（

）A．B．若，則復平面內對應的點位于第二象限C．若，則的最大值為D．若是關于的方程的一個根，則【答案】BCD【分析】設出復數的代數形式計算判斷A；利用復數的幾何意義判斷B；求出復數判斷C；利用復數相等求出判斷D.【詳解】對于A，設，則，，A錯誤；對于B，，則復平面內對應的點位于第二象限，B正確；對于C，由知，在復平面內表示復數的點在以原點為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的點到點的距離，則距離最大值為，C正確；對于D，依題意，，整理得，而，因此，解得，D正確．故選：BCD17．若復數是方程的兩根，則（

）A．虛部不同 B．在復平面內所對應的點關于實軸對稱C． D．在復平面內所對應的點位于第三象限【答案】ABC【分析】利用一元二次方程的虛根是共軛，并加以計算，就可以判斷各選項.【詳解】由方程的求根公式可得：，故A正確；由在復平面內所對應的點分別為，顯然關于實軸對稱，故B正確；由，故C正確；由，它對應的點位于第一象限，故D錯誤；故選：ABC．18．已知復數滿足，（為虛數單位），是方程在復數范圍內的兩根，則下列結論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為4C．當時，則 D．當時，則【答案】AD【分析】利用復數的幾何意義，在復平面內畫出點，的軌跡方程，可判斷AB選項；復數范圍解一元二次方程，討論判別式，分別求解，用根與系數的關系化簡求值，在去掉絕對值號時又需進一步對a的取值進行分類討論，進而可判斷CD選項.【詳解】設在復平面內的對應點分別為，由得，所以在直線上.由得，所以在圓上.如圖所示：對于A：表示復平面內圓上的點到直線上點的距離，所以的最小值為，故A正確；對于B：表示復平面內圓上的點到直線上點的距離，所以的最小值為，故B錯誤；對于CD：因為是方程在復數范圍內的兩根，所以.若，即或，此時，由得或，∴當或時，；當時，，故C錯誤；若，即，此時，為一對共軛虛根，，故D正確.故選：AD.19．已知復數，，則（

）A． B．在復平面內對應的點位于第一象限C． D．為純虛數【答案】ABC【分析】根據復數除法運算可得，即可判斷A，根據復數的減法運算以及幾何意義可判斷B，根據模長公式可判斷C，根據乘法運算，結合純虛數定義可判斷D.【詳解】,故A正確，，對應的點為，故B正確，，故，C正確，，不為純虛數，故D錯誤，故選：ABC20．設，為復數，下列說法正確的是（

）．A． B．C．若，則 D．若是實數，則為純虛數【答案】BC【分析】對于AD：舉反例說明即可；對于B：根據乘法運算結合模長公式分析判斷；對于C：根據共軛復數的定義結合模長公式分析判斷.【詳解】設，，對于選項A：例如，則，兩者不相等，故A錯誤；對于選項B：因為，且，則，即，故B正確；對于選項C：若，則，所以，故C正確；對于選項D：例如是實數，則也為實數，故D錯誤；故選：BC.考點03：復數相等的充要條件復數相等的充要條件兩個復數相等的定義：如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．即：如果，那么特別地：．（1）一個復數一旦實部、虛部確定，那么這個復數就唯一確定；反之一樣．根據復數與相等的定義，可知在兩式中，只要有一個不成立，那么就有（，）．（2）一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個復數都是實數，就可以比較大小；也只有當兩個復數全是實數時才能比較大小．21．設，其中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數相等求參數，再根據共軛復數的的形式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，故．故選：D22．設，其中為虛數單位，則（

）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】根據給定條件，結合復數乘法運算及復數相等求解即得.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：A23．已知復數，的模長為1，且，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】設，，分別計算，，，，由可得，即可求得，，即可求解.【詳解】設，，則，，所以，，因為，，所以，，因為，所以，所以，即，所以，所以，，所以.故選：.24．已知復數，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用復數相等可得和三角函數的平方關系可得，再根據正弦函數的取值范圍與二次函數的性質可得的取值范圍.【詳解】復數，且，所以，則因為，所以，當時，，當時，所以的取值范圍是.故選：B.25．已知，下列命題正確的是（

）A．B．C．若，則至少有1個為0D．若是兩個虛數，，，則為共軛復數【答案】BCD【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：根據除法運算結合共軛復數概念分析判斷；對于C：根據復數乘法結合復數相等分析判斷；對于D：根據復數的四則運算結合復數的相關概念分析判斷.【詳解】設，對于選項A：例如，則，顯然，故A錯誤；對于選項B：因為，則，可得；又因為，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，可得，解得或，即或，所以至少有1個為0，故C正確；對于選項D：若是兩個虛數，則，因為，則，即，又因為，則，即，可得，所以，即為共軛復數，故D正確；故選：BCD.26．若，則下列結論正確的是（

）A．若為實數，則B．若，則C．若，則D．若在復平面內對應的點位于第一象限，則【答案】AC【分析】根據復數的概念、共軛復數的概念、復數的模長公式、復數相等以及復數的乘除法運算逐個選項判斷可得答案.【詳解】若為實數，則虛部為，即，故A正確；若，則，則，解得，故B錯誤；若，則，解得，則，，故C正確；若在復平面內對應的點位于第一象限，則，解得，故D錯誤.故選：AC.27．已知是虛數單位，則下列說法正確的有（）A．是關于的方程的一個根，則B．“”是“復數是純虛數”的必要不充分條件C．若復數，且，則D．若復數滿足，則復數的虛部為【答案】BD【分析】將代入方程，化簡后利用復數相等列式求解即可判斷A；根據純虛數的定義及充分性和必要性得定義即可判斷B；根據復數的模的計算求出，即可判斷C；設復數，根據復數的加法運算及復數相等的條件即可求出復數，即可判斷D.【詳解】對于A，因為是關于的方程的一個根，所以，即，所以，解得，故A錯誤；對于B，當時，若，復數是實數，不是虛數，更不是純虛數，故充分性不成立；當是純虛數，則且，故必要性成立，故正確；對于C，若復數，則，解得，故C錯誤；對于D，設復數，則，所以，故，所以復數的虛部為，故D正確.故選：BD.28．設為虛數單位．若集合，，且，則．【答案】【分析】根據題意，利用集合的包含關系，列出方程組，即可求解.【詳解】由集合，，因為，當時，此時，方程組無解；當時，此時，解得，綜上可得，實數的值為.故答案為：.29．已知，且，則．【答案】1【分析】根據復數的乘、除法運算和相等復數建立關于a的方程，解之即可.【詳解】，所以，解得.故答案為：130．已知復數滿足，則的最大值為．【答案】/【分析】設出的代數形式，利用復數相等求出，再借助復數的幾何意義求解即得.【詳解】設復數，由，得，整理得，于是，即，，由，得復平面內表示復數的對應點在以表示復數的對應點為圓心，1為半徑的圓上，表示這個圓上的點到表示復數的對應點的距離，距離的最大值是.故答案為：考點04：復數代數形式的除法運算設，（），我們規定：（1）兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把換成，并且把實部與虛部分別合并．兩個復數的積仍然是一個復數．（2）在進行復數除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數（分母實數化），化簡后寫成代數形式．31．已知為虛數單位，若復數的實部與虛部相等，則實數的值為（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】根據復數的除法運算，求得的實部和虛部，解方程即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，解得，故選：A32．已知，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】將化為，根據復數的相等，求得，求得答案.【詳解】由可得，即，故，故，故選：A33．已知是虛數單位，若復數的實部是虛部的2倍，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復數的除法運算求得復數的實部和虛部，由題意列式，求得答案.【詳解】，所以，解得，故選：B.34．已知是復數的虛數單位，且，則的值為．【答案】【分析】計算出，從而求出，以及的值.【詳解】因為，所以，，所以，故答案為：.35．已知復數,,如果為純虛數,那么.【答案】【分析】根據為純虛數,進行化簡,使實部為0,求出a即可.【詳解】解:由題知,,,為純虛數,,.故答案為:36．已知，復數（i是虛數單位），若，則，.【答案】【分析】根據復數的除法運算求出復數的代數形式，利用求出，利用模長公式求出模長即可.【詳解】，因為，故，得，故.故答案為：；.37．在復平面內，復數對應的點在第四象限，設．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，根據復數除法運算和加減法運算化簡，再根據復數的分類列出方程組，解之即可；（2）根據，可得等式左邊化簡后得復數虛部等于零，可得出關系，再根據復數的模的計算公式即可得解.【詳解】（1）設，由，得，即，整理得，因為，即，所以，解得，所以；（2）由（1）結合，可得，所以，所以.38．解答下列各題：(1)已知z是復數，為實數，為純虛數（i為虛數單位），求復數z；(2)已知復數，實數為何值時，復數表示的點位于第四象限．【答案】(1)(2)【分析】（1）設復數，根據為實數求得，再由為純虛數求得.（2）由復數表示的點位于第四象限列出不等式組求解即可.【詳解】（1）（1）設復數，因為為實數，所以，則復數，又因為為純虛數，則，得，所以復數．（2），由復數表示的點位于第四象限，可得，解得，當時，復數在復平面內對應的點在第四象限，∴m的取值范圍為.39．已知復數是方程的解，(1)求；(2)若，且（，為虛數單位），求．【答案】(1)(2)【分析】（1）解出方程即可求解；（2）由，可得，再結合條件求出，，進而求解.【詳解】（1）由，即，可得，解得，即（2）由（1）知，，因為，所以，，所以，所以，解得，，所以.40．已知復數，，其中a是正實數．(1)若，求實數a的值；(2)若是純虛數，求a的值．【答案】(1)2(2)2【分析】（1）根據復數的定義及復數的運算法則構建關于的方程組，求解的值；（2）根據復數的除法運算求解，利用復數的定義，構建關于的方程組，求解的值；【詳解】（1）解：∵，，，∴，從而，解得，所以實數a的值為2．（2）依題意得：，因為是純虛數，所以：，解得：或；又因為a是正實數，所以a＝2．考點05：在復數范圍內解方程復數范圍內解方程的一般思路是：依據題意設出方程的根，代入方程，利用復數相等的充要條件求解．對于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復數范圍內負數是能開方的，此外，根與系數的關系也是成立的．注意求方程中參數的取值時，不能利用判別式求解．注意：由于虛數單位的特殊性，不能用判別式判斷復系數一元二次方程有無實數根．41．關于的方程在復數范圍內的根是，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】首先利用實系數一元二次方程的求根公式求解，再根據復數的運算判斷選項.【詳解】由求根公式可知，不妨取，，（本題與的順序無關），，所以，且，故BD正確；，故A正確；由A可知，，，所以，故C錯誤.故選：ABD42．下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若是關于的方程的根，則【答案】ACD【分析】對于A，利用利用復數的乘方運算求解判斷，對于B，舉例判斷，對于C，通過計算判斷，對于D，利用根與系數的關系求解.【詳解】對于A，，所以A正確，對于B，若，則滿足，而兩個復數不能比較大小，所以B錯誤，對于C，，則，，所以，所以C正確，對于D，因為是關于的方程的根，所以是關于的方程的另一個根，所以，得，所以D正確，故選：ACD43．已知是虛數單位，下列說法中正確的是（

）A．若，互為共軛復數，則B．若復數滿足，則復數對應的點在以點為圓心，為半徑的圓上C．復數與分別表示向量與，則表示向量的復數為D．若是關于的方程的一個根，其中，為實數，則【答案】ACD【分析】根據復數的相關概念及復數的運算直接可判斷各選項.【詳解】A：設，則，則，A正確；B：設復數，則其對應的點為，，所以，即，所以復數對應的點在以點為圓心，為半徑的圓上，B錯誤；C：由已知，，則，對應的復數為，C正確；D：易知方程的兩個根互為共軛復數，設分別為與，又，則，且，所以，D正確；故選：ACD.44．已知是方程在復數范圍內的根，則．【答案】【分析】求出復數根，后求模即可.【詳解】方程解得，得.故答案為：.45．若虛數i是方程的一個根，則.【答案】1【分析】把i代入方程，化簡方程，利用相等復數的概念得到p、q的值，即可求解.【詳解】因為i是方程的一個根，所以，即，得，解得，所以.故答案為：146．若關于x的實系數方程有兩實部為1的共軛虛根，則.【答案】【分析