第二十二章相似形教學設計

22.1比例線段..............................................................-I-

22.2相似三角形的判定....................................................-13-

22.3相似三角形的性質....................................................-25-

22.4圖形的位似變換.......................................................-30-

22.1比例線段

第1課時相似圖形

教學目標

【知識與能力】

知道相似圖形的兩個特征:對應邊成比例,對應角相等.掌握判斷兩個多邊形是否相似的方法

——“如果兩個多邊形滿足對應角相等、對應邊的比相等,那么這兩個多邊形相似”。

【過程與方法】

經歷從生活中的事物中抽象出幾何圖形的過程,體會由特殊到一般的思想方法,感受圖形世界

的豐富多彩。

【情感態度價值觀】

在探索中培養學生與他人交流、合作的意識和品質。

教學重難點

【教學重點】

知道相似圖形的對應角相等、對應邊的比相等。

【教學難點】

能運用相似圖形的性質解決問題。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

觀察以下三組圖形：

(1)(2)(3)

每一組圖形的對應邊、對應角有什么關系呢？

二、合作探究

探究點一：相似圖形

例1如下圖所示的四組圖形，相似的有()

A.1組B.2組C.3組D.4組

解析：由相似圖形的概念可知，只有(1)(3)(4)形狀相同.①形狀相同是指一模一樣，沒

有一點不同之處，(2)中的圖形雖然都是圓柱，但是形狀不相同，所以不是相似圖形；②只要

形狀相同，即使位置不同，也應看成是相似圖形，如(4)組就是這樣.故選C.

易錯提醒：看圖形是否相似，要緊扣定義“形狀相同，大小可以不同”，但大小相同也是

相似的一種情形.

探究點二：相似多邊形與相似比

【類型一】相似多邊形

例2下列圖形都相似嗎？為什么？

(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等邊三角形；(5)所有等腰梯形;

(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五邊形.

解：(1)相似，因為正方形每個角都等于90°,所以對應角相等，而每個正方形的四條

邊長都相等，所以對應邊長度的比相等；

(2)不一定，雖然矩形的每個角都等于90°,對應角相等，但是對應邊長度的比不一定

相等，如圖①；

(3)不一定，每個菱形的四條邊長都相等，所以兩菱形的對應邊長度的比相等，但是它們

的對應角不一定相等，如圖②，顯然兩個菱形的對應角是不相等的；

(4)相似，因為每個等邊三角形的三條邊都相等，所以兩個等邊三角形的對應邊長度的比

相等，并且對應角都等于60°；

(5)不一定，如圖③，對應邊長度的比不相等，對應角不相等;

圖③圖④

(6)不一定，如圖④，對應邊長度的比不相等，對應角不相等；

(7)相似，因為等腰直角三角形的三個角分別是45°,45°,90°,所以對應角相等，

而且每一個三角形的三邊的比都是1：1：^2,所以對應邊長度的比相等；

(8)相似，因為正五邊形的各角都等于108°,所以對應角相等，而且正五邊形的各邊都

相等，所以對應邊長度的比相等.

方法總結：相似多邊形的定義也是相似多邊形的判定方法，在判定兩個多邊形相似時，

必須同時具備兩點：對應角相等，對應邊長度的比相等.

【類型二】相似比

例3已知四邊形力版與四邊形同丘〃相似，試根據圖中所給出的數據求出四邊形牙紡

和四邊形4及力的相似比.

80。875。/,80。675]

解：：四邊形46切與四邊形價劭相似，且N4=N￡=80°,N片/6=75°,

...46與所1是對應邊.

..EF63

?拓

3

...四邊形以切與四邊形/時的相似比為］

方法總結：找準相似多邊形的對應邊是解決此類問題的關鍵，方法類似于找全等三角形

對應邊和對應角的方法.

三、板書設計

「相似圖形：形狀相同的兩個圖形

r相似多邊形：各角分別相等、各邊成

相比例的兩個多邊形

似＜相似比：相似多邊形對應邊長度的比

圖相似多邊形《性質：相似多邊形的對應角相等，

形對應邊長度的比相等

判定：各角分別相等，對應邊長度的

、比相等，二者缺一不可

教學反思

在探索相似多邊形特征的過程中，讓學生運用“觀察一比較一猜想”分析問題，進一步發展

學生觀察、分析判斷、歸納、類比、反思、交流等方面的能力，提高數學思維水平，體會反

例的作用，培養與他人交流、合作的意識和品質.在解決問題過程中體會學習數學的樂趣。

第2課時比例線段

教學目標

【知識與能力】

從生活中形狀相同的圖形的實例中認識成比例的線段，理解成比例線段的概念。

【過程與方法】

在成比例線段的探究過程中，讓學生運用“觀察一比較一猜想”的方法分析問題。

【情感態度價值觀】

在探究成比例線段的過程中，培養學生與他人交流、合作的意識。

教學重難點

【教學重點】

認識成比例的線段。

【教學難點】

理解成比例線段的概念。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

請觀察下列幾幅圖片，你能發現些什么？你能對觀察到的圖片特點進行歸納嗎？

旃醐3餐

Q&

這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形.它們之所以大小不同，是因為它們圖上對應

的線段的長度不同.

二、合作探究

探究點一：線段的比

【類型一】根據線段的比求長度

AMB

例1如圖所示，已知M為線段上一點，4"：M?=3：5,且/6=16cm,求線段4從

的長度.

解：線段4v與，監的比反映了這兩條線段在全線段48中所占的份數，由4"：,監=3:5

可知A卡JAB,MB=[AB.

oo

VJZ?=16cm,

3/、5/、

/.AIA=QX16=6(cm),MB=-X16=10(cm).

oo

方法總結：本題也可設4仁3%珈=5衣，利用34+55=16求解更簡便，這也是解這類

題常用的方法.

【類型二】比例尺

例2在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3cm,則甲、乙兩地的

實際距離是m.

解析：根據“比例尺=提黑”可求解.設甲、乙兩地的實際距離為xcm,則有1：50

000=3:x,解得x=150000cm=1500m.

方法總結：理解比例尺的意義，注意實際尺寸的單位要進行恰當的轉化.

探究點二：成比例線段

【類型一】判斷線段成比例

例3下列四組線段中，是成比例線段的是()

A.3cm,4cm,5cm,6cm

B.4cm,8cm,3cm,5cm

C.5cm,15cm,2cm,6cm

D.8cm,4cm,1cm,3cm

解析：將每組數據按從小到大的順序排列，前兩條線段的比和后兩條線段的比相等的四

26

條線段成比例.四個選項中，只有C項排列后有三=了.故選C.

方法總結：判斷四條線段是否成比例的方法：

(1)把四條線段按從小到大順序排好，計算前兩條線段的比和后兩條線段的比，看是否相

等作出判斷；

(2)把四條線段按從小到大順序排好，計算前后兩個數的積與中間兩個數的積，看是否相

等作出判斷.

【類型二】由線段成比例求線段的長

例4已知三條線段的長分別為1cm,/cm,2cm,請你再給出一條線段，使得它的長與

前面三條線段的長能夠組成一個比例式.

解：因為本題中沒有明確告知是求1,正，2的第四比例項，因此所添加的線段長可能

是前三個數的第四比例項，也可能不是前三個數的第四比例項，因此應進行分類討論.

設要求的線段長為x,若x：1=蛆：2,則*=坐

若1：x=W:2,則x=@；

若1：2,則戶卷

若1：y[2=2：x,則x=2*.

所以所添加的數有三種可能，可以是半，木,或2dl

方法總結：若使四個數成比例，則應滿足其中兩個數的比等于另外兩個數的比，也可轉

化為其中兩個數的乘積恰好等于另外兩個數的乘積.

三、板書設計

〃線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段

AB,CZ）的長度分別是/力，那么這兩

條線段的比就是它們長度的比，

比ABm

加即46：CD=m：，或寫成方尸一

例?JCDn

線、成比例線段：四條線段&b,c,d,如果a與萬的比

段等于C與岫比，即a產力c那么這

四條線段a,b,c,MU做成比例線段，

、簡稱比例線段

教學反思

從豐富的實例入手，引導學生進行觀察、發現和概括.在自主探究和合作交流過程中，

適時引入新知識.并通過引導學生建立新的數學模型，開拓思維，提升學生認知能力

第3課時比例的性質與黃金分割

教學目標

【知識與能力】

1.進一步理解并掌握比例、比例線段的概念.

2.會辨認比例式中的“項”.

3.會求常見圖形中的線段比.

4.會進行黃金分割的有關計算。

【過程與方法】

1.經歷探究比例、比例線段的性質的過程，體會類比的思想，促進探究、質疑、歸納能力的發

展.

2.經歷黃金分割的引入以及黃金分割點的探究過程.

3.通過問題情境的創設和解決過程進一步體會數學與生活的緊密聯系，體會數學的思維方式,

增進數學學習的情感。

【情感態度價值觀】

在交流協作中，體會生生交往與師生交往的樂趣;在解決問題的過程中接受挑戰、戰勝困難,

增強學習數學的興趣。

教學重難點

【教學重點】

比例及比例線段的性質;黃金分割點的有關計算。

【教學難點】

比例及比例線段的應用；黃金分割點的有關計算。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

配制糖水時，通過確定糖和水的比例來確保配制糖水的濃度.

勝糖水糖水

若有含糖a千克的糖水6千克，含糖c千克的糖水d千克，含糖e千克的糖水F千克

它們的濃度相等，把這些糖水混合到一起后，濃度不變.可表示為蕓蕓:

力十"十…十〃b

二、合作探究

探究點一：比例的性質

【類型一】比例的基本性質

勺7A

例I已知-^=5,求％的值.

解：解法一：由比例的基本性質,

得2(a+30=7X26.

:?a=4b,???日=4.

b

左力、上一.a+3/27力己+3b

解法一：由2b='得b=7'

方法總結：利用比例的基本性質，把比例式轉化成等積式，再用含有其中一個字母的代

數式表示另一個字母，然后利用代入法或化成方程求解，這是解決比例問題常見的方法.

【類型二】合比性質

,?ABAC

例2如圖，已知肅=育

UDCL

/、ADAE

求證:(1)—=—?

、“DBEC

解析：我們可以運用證明合比性質的方法，在已知等式的兩邊同時減去1,便可證明(1)

成立；先運用合比性質，然后用比例的基本性質把等式變形，即可證明(2)成立.

,.AB_AC.AB-DBAC-EC叩亞—也

證明:⑴'~DB=~EC'"DB=EC'即無=擊

,、

ADAEDBECDB+ADEC+AE^,,liUCCX.獨="即世=〃

⑵；獷立..獷布'F=F(合比性質)?/1AC~AE

方法總結：本題主要運用合比性質進行證明，理解比例的性質是解決問題的關鍵.

【類型三】等比性質

例3已知正數a、b、c,且4一=/一=一長=〃，則下列四個點中，在正比例函數y

b+cc+aa-rb

=在才圖象上的點是()

A.(1,1)B.(1,2)

C.(1,—g)D.(1,—1)

o—|—A—|—

解析：求出在的值是關鍵.???a、汰。為正數，???d+6+?！?.由等比性質，得,(、

2(.a+b+c)

=k,即當x=\時，y=Jx1=［,??.點(1,1)在正比例函數的圖象上.故

乙乙乙乙乙

選A.

方法總結：當已知條件中有連等式時，可考慮運用等比性質，前提條件是分母之和不為

0.在解題時需注意這一點.

探究點二：黃金分割

【類型一】利用黃金分割進行計算

例4如果點C是線段45的黃金分割點，且4O8GBC^mAB,求皿的值.

4CBC、/B—1

解：；點。是線段4?的黃金分割點，.??■^=齊=上=.又?；%=勿區."。=(1一血初

/iLjZICN

.(1—AB:一［m一］.3—

??一而2'即Bn1-〃=丁,..勿=廿亞?

方法總結：運用黃金分割的概念，得出線段4C,BC,48之間的表達式，再利用比、=麻18

變形，求出位的值.

【類型二】黃金分割的實際應用

I???

ADCB

例5如圖所示，樂器上有一根弦AB,兩個端點A,8固定在樂器的面板上，支撐點C

是靠近點8的黃金分割點，支撐點〃是靠近點力的黃金分割點，若小的長度為4試求這根

弦的長度.

解：根據黃金分割的定義，可知備妥曜二，："C=BD=亞/加，：.AD=AB-BD

ADADZ/

=AB~y^~1AB.

CD=AC—AD=^^—AB—（AB-鄧2［陰=（m一2）AB=d.

."8=詬七7=(m+2)d

三、板書設計

'基本性質

比例的性質合比性質

［等比性質

比例

的性「定義

質與V黃金分割點：一條線段有兩個黃金

黃金分割點

黃金分割＜

分割黃金比：較長線段：原線段=

耳：1

教學反思

經歷探究比例的性質和黃金分割的過程,體會類比的思想，提高學生探究、歸納的能力.通

過問題情境的創設和解決過程進一步體會數學與生活的緊密聯系，體會數學的思維方式，增

強學習數學的興趣

第4課時平行線分線段成比例及其推論

教學目標

【知識與能力】

1.使學生在理解的基礎上掌握平行線分線段成比例定理及其推論,并會靈活應用.

2.使學生掌握三角形一邊的平行線的判定定理。

【過程與方法】

通過學習定理再次鍛煉類比的數學思想,能把一個稍復雜的圖形分成幾個基本圖形,通過應用

鍛煉識圖能力和推理論證能力。

【情感態度價值觀】

通過定理的學習知道認識事物的一般規律是從特殊到一般,并能欣賞數學表達式的對稱美,提

高學習數學的興趣。

教學重難點

【教學重點】

平行線分線段成比例定理和推論及其應用。

【教學難點】

平行線分線段成比例定理的正確性的說明及推論應用。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

梯子是我們生活中常見的工具.

如圖是一個梯子的筒圖，經測量，AB=BC,AD//BE//CF-,那么如和原相等嗎？

二、合作探究

探究點一：平行線分線段成比例的基本事實

例1如圖，直線Z〃/2〃A,直線｛。分別交這三條直線于點4,B,C,直線加分別交

7

這三條直線于點以E,F,若46=3,DE^~,跖=4,求8C的長.

7

解：?.?直線人〃且/8=3,應=5，EF=4,

???根據平行線分線段成比例可得彩需

130EF

424

即BC=~*AB=-X3=—

DE1_1

2

方法總結：利用平行線分線段成比例求線段長的方法：先確定圖中的平行線，由此聯想

到線段之間的比例關系，結合待求線段和已知線段寫出一個含有它們的比例關系式，構造出

方程，解方程求出待求線段長.

探究點二：平行線分線段成比例基本事實的推論

例2如圖所示，在△板中，點〃Z?分別在/昆4c邊上，DE//BC,若/〃：4?=3：4,

4f=6,則力。等于（）

A.3

B.4

C.6

D.8

解析：由庇〃BC可得為即:=*."C=8.故選D.

易錯提醒：在由平行線推出成比例的線段的比例式時，要注意它們的相互位置關系，比

例式不能寫錯，要把對應的線段寫在對應的位置上.

探究點三：運用平行線分線段成比例基本事實作圖

例3如圖，已知線段力尻求作線段的四等分點.

.41---------------------------小

解析：這里的四等分點的作法，不是用刻度尺去量取，而是采用尺規作圖的方法，所以

可考慮平行線等分線段定理去作圖.

解:作法：(1)作射線4G⑵在射線然上順次截取力4=44=44=44=任意長；⑶

連接46；⑷過點4、4、4分別作46的平行線，交4?于點笈、民、&,點&、氏、氏即為

所求的四等分點.

三、板書設計

基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所

平行線

得的對應線段成比例

分線段

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊

成比例

(或兩邊的延長線)所得的對應線段成

及其推論

比例

教學反思

通過教學，培養學生的觀察、分析和概括能力，了解特殊與一般的辯證關系.再次鍛煉

類比的數學思想，能把一個稍復雜的圖形分成幾個基本圖形，鍛煉識圖能力和推理論證能

力.在探索過程中，體驗探索結論的方法和過程，發展學生的推理能力和有條理的說理表達

能力

22.2相似三角形的判定

第1課時平行線與相似三角形

教學目標

1、經歷兩個三角形相似的探索過程，體驗分析歸納得出數學結論的過程.

2、會運用“兩個三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預備定理”解決簡單的問題。

教學重難點

【教學重點】

相似三角形的定義與三角形相似的預備定理。

【教學難點】

三角形相似的預備定理的應用。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？

二、合作探究

探究點一：相似三角形

【類型一】利用定義判定相似三角形

例1與△〃價,的各角度數和邊長如圖所示，則與△比尸能否相似？說明理

由.

解：因為/力=70°,N6=60°,所以/850°.

因為/尸=60°,N￡=50°,所以N470°.

所以//=/〃，NB=NF,NC=/￡

rm且AB36c3AC3.63

又E為蘇■=]而=]，應=二=,

ADDCAr

所以清濟正所以△wS△小

方法總結：判斷兩個三角形相似，一定要具備兩個條件：一是對應角相等，二是對應邊

成比例.另外在書寫兩個三角形相似時，一定要將對應的頂點寫在對應的位置上.

【類型二】相似三角形的性質

例2如圖，已知AABCS/\ADE,4￡=50cm,￡C=30cm,5(7=58cm,ZBAC=45°,ZACB

=40°,求:

⑴N/fi?和//施的度數;

(2)龍的長.

解：/\ABCS/\ADE,

:.NAED=NACB=4Q°.

在a,中，N49f=180°-40°-45°=95°；

AEDE50DE50X58

⑦?：XABCsMADE,，而=而艮?50+30=58->',"=50+30=36.25(cm).

方法總結：當題目中有相似三角形(或能證明出相似三角形)時，首先考慮用相似三角形

的性質，由性質既能得到相等的角，又能得到成比例的線段.

探究點二：平行線與相似三角形

例3如圖，已知在ABCD中,￡為46延長線上一點，AB=3BE,然與比相交于點￡

請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.

解：?.?四邊形4%/是平行四邊形,

：.AB//CD,AD//BC,

:.XBEFsACDF,XBEFsXAED,

：.△郎s△CDF^/XAED.

故當△戚's△如'時，相似比為跖：CD=BE,.AB=\：3；

當/\BEFs叢AEDK,相似比為跖：力￡=1：4；

當△CZ*s△/初時、相似比為切：4￡=3：4.

例4已知：如圖是一束光線射入室內的平面圖，上檐邊緣射入的光線照在距窗戶2.5m

處，己知窗戶48高為2m,6點距地面高為1.2m,求下檐光線的落地點”與窗戶的距離AC

BeNC12NC15

解：'：AM//BN,:.△NBCs/XMAC,即六7==，."仁

ACMC3.22.5lo

三、板書設計

平行「相似三角形的定義：三角分別相等、三邊對應成

線與比例的兩個三角形

相似《結論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或

三角兩邊的延長線）相交，截得的三角形與原

形三角形相似

教學反思

感受相似三角形與相似多邊形、相似三角形與全等三角形的區別與聯系，體驗事物間特

殊與一般的關系.讓學生經歷從實驗探究到歸納證明的過程，發展學生的推理能力，培養學

生的觀察、動手探究、歸納總結的能力

第2課時相似三角形的判定定理1

教學目標

1.經歷兩個三角形相似的探索過程，進一步發展學生的探究、交流能力.

2.掌握“兩角對應相等，兩個三角形相似”的判定方法.

3.能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題。

教學重難點

【教學重點】

三角形相似的判定方法lo

【教學難點】

三角形相似的判定方法1的運用。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

根據相似三角形的定義，三角分別相等、三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角

形.那么，兩個三角形至少要滿足哪些條件就相似呢？能否類比兩個三角形全等的條件尋找

判定兩個三角形相似的條件呢？

二、合作探究

探究點一：相似三角形的判定定理1

例1在△4%'和△/!'B'C中，//=//=80°,N6=70°,ZC=30°,這兩

個三角形相似嗎？請說明理由.

解：XABCsX』ffC.

理由：由三角形的內角和是180。，

得NC=180°-N4-N6=180°-80°一70°=30°,

所以,AC=AC'.

WXABCsXNB'C（兩角分別相等的兩個三角形相似）.

方法總結：兩個三角形已有一對角相等，故只要看是否還有一對角相等即可.一般地，

在解題過程中要特別注意“公共角”“對頂角”“同角（或等角）的余角”等隱含條件.

探究點二：相似三角形的判定定理1的應用

【類型一】由三角形相似計算對應邊的長

例2如圖所示，已知DE〃BC,DF//AC,Af=4cm,BD=8cm,如=5cm,求線段跖的長.

解：解法一：因為DE〃BC,所以ZA/fD^ZC,所以△ADESAABC,

.ADDE45

所以茄=初即an百百=市

所以旌=15cm.

又因為DF//AC,

所以四邊形"還是平行四邊形，

即FC^DE^cm,

所以BF=BC-FC=15-5=10（cm）.

解法二：因為DE〃BC,所以//應三/笈

又因為加所以NA=NBDF,

所以△/應's△儂；

…ADDE45

所以礪=而即§=而

所以母、=10cm.

方法總結：求線段的長，常通過找三角形相似得到成比例線段而求得，因此選擇哪兩個

三角形就成了解題的關鍵，這就需要通過已知的線段和所求的線段分析得到.

【類型二】由相似三角形確定對應邊的比例關系

AFEF

例3已知：如圖，△腦的高被緲相交于點凡求證：

A

B^c

Bf)C

證明：'：BEVAC,ADVBC,

:.NAEF=/BDF=9Q°.

又,：NAFE=NBFD,

AFEF

ARFR

方法總結：要證明獷質可以考慮比例式中四條線段所在的三角形是否相似，即考慮

△力也與46劃是否相似，利用兩個角對應相等的三角形相似可以證明這個結論.

三、板書設計

'判定定理1：兩角分別對應相等的兩個

相似三角形的

■三角形相似

判定定理1

.判定定理1的應用

教學反思

在探索活動中，要增強學生發現問題、解決問題的意識和養成合作交流的習慣.進一步

培養學生合情推理能力和初步邏輯推理意識.

第3課時相似三角形的判定定理2

教學目標

1、掌握并會推導相似三角形的判定定理2.

2、會用相似三角形的判定定理2進行一些簡單的判斷、證明和計算。

教學重難點

【教學重點】

三角形相似的判定方法2。

【教學難點】

三角形相似的判定方法2的運用。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

ARAC

畫△四，與B'C',使,jrk和rk都等于給定的值上設法比較/

ADAC

B與NB'的大?。ɑ?。與/C的大?。袛嗯cB'C相似嗎？

二、合作探究

探究點一：相似三角形的判定定理2

例1如圖，已知點。是△力a1的邊4C上的一點，根據下列條件，可以得到

的是（）

A.AB-CD^BD-BC

B.AC-CB=CA?CD

C.Bd=AJDC

D.B4=CD,DA

解析：有兩邊對應成比例，并不能說明兩個三角形相似，若再知道成比例的兩邊的夾角

相等，則這兩個三角形才相似.本題中，/C是歐和△頗7的公共角，關鍵是找出NC的

CD

兩邊對應成比例，即=力。?DC.故選C.

CDAC

方法總結：判定兩個三角形相似時，應根據條件適當選擇方法，如本題已知有一個公共

角，而它的兩條夾邊都能成比例，則應選擇判定定理2加以判斷.

探究點二：相似三角形的判定定理2的應用

例2如圖所示，零件的外徑為a,要求它的厚度x,需求出內孔的直徑4?,但不能直接

量出46,現用一個交叉長鉗（兩條尺長”■和物相等）去量，若如：*=如：勿=〃，且量得

CD^b,求厚度x.

解：因為OA：OC=OB：OD,AAOB=ZCOD,所以AAOBs/\COD,故為尸刀;=〃，可得力8

tzZzL/C

.a—bn

bn>所以x=?

方法總結：欲求厚度x,根據題意較易推出△/@s^CW,利用相似三角形的對應邊成

比例，列出關于x的比例式，解之即可.

例3如圖，在△/8C中，46=8cm,6C=16cm,求點一從點力開始沿四向點6以lcm/s

的速度移動，點0從點6開始沿回向點。以2cm/s的速度移動.如果點R。同時出發，經

過多長時間后△月%與△46C相似？

,、“BPBQ」

⑴當瓦=瓦時,

APBg4ABC.

此時*=需解得Z=4.

816

即經過4s后△如。與△/況■相似；

⑵當胃=筆時，/XPBgXCBA.

此時］J=三,解得t=l.6.

即經過1.6s后△"%與△力比1相似.

綜上所述可知，點凡0同時出發，經過1.6s或4s后與△48。相似.

易錯提醒：在點運動的情況下尋找相似的條件，隨著點的位置的變化，△哪的形狀也

會發生變化，因此既要考慮△/WS/X4笫的情況，還要考慮△陽0s△煙的情況.要證明△

哪與比■相似，很顯然Z5為公共角，因此可運用兩邊對應成比例，且夾角相等列方程求

解，同時要注意分類討論.

三、板書設計

相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

教學反思

經歷兩個三角形相似的探索過程,體驗分析歸納得出數學結論的過程，培養學生的觀察、

發現、比較、歸納能力，進一步發展學生的探究、交流能力.感受兩個三角形相似的判定定

理2與全等三角形判定方法（S/S的區別與聯系，體驗事物間特殊與一般的關系.

第4課時相似三角形的判定定理3

教學目標

1、掌握并會推導相似三角形的判定定理3.

2、會用相似三角形的判定定理1、2、3進行一些簡單的判斷、證明和計算。

教學重難點

【教學重點】

三角形相似的判定方法3。

【教學難點】

三角形相似的判定方法3的推導和運用。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

如圖，如果要判定△49C與B'C相似，是不是一定需要一一驗證所有的對應角和

對應邊的關系？

可否用類似于判定三角形全等的方法（SSS,通過一個三角形的三條邊與另一個三角形的

三條邊對應的比相等來判定兩個三角形相似呢？任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它

的各邊長都是原來三角形各邊長的％倍，度量這兩個三角形的對應角，它們相等嗎？這兩個

三角形相似嗎？

二、合作探究

探究點：三邊對應成比例的兩個三角形相似

【類型一】利用三邊長來判定三角形相似

例1如圖所示，在△/8C中，點〃、￡分別是a1的邊/8/C上的點，/〃=3,AE=6,

DE=5,龍=15,龍=3,船=15.根據以上條件，你認為/8=/力劭嗎？并說明理由.

解：NB=/AED.

理由：由題意得

/8=<〃+刃=3+15=18,

仍=4?+龍=6+3=9,

AC9AB18CB15

---==z—==.---=---=Q,---=---=Q

AD36DE5

ACABCB八

所以拓=拓=^謨故.叢ABCs/XAED,

所以NB=NAED.

方法總結：要說明只需要得到根據三邊對應成比例的兩個

三角形相似可證得△川以

【類型二】網格中相似三角形的判定

例2如圖甲，小正方形的邊長均為1,則乙圖中的三角形（陰影部分）與相似的是

哪一個圖形？

EEhH匚二

BC①②③④

甲乙

解：由甲圖可知/。=肝釬=*,BC=2,48="+33=弧

同理，圖①中，三角形的三邊長分別為1,乖,272:

同理，圖②中，三角形的三邊長分別為1,小,乖;

同理，圖③中，三角形的三邊長分別為乖，乖,3；

同理，圖④中，三角形的三邊長分別為2,#,V13.

/.圖②中的三角形與△48。相似.

方法總結：（1）各個圖形中的三角形均為格點三角形，可以根據勾股定理求出各邊的長,

然后根據三角形三邊的長度是否對應成比例來判斷兩個三角形是否相似；（2）判定三邊是否對

應成比例，可以將三角形的三邊長按大小順序排列，然后分別計算他們對應邊的比，最后由

比值是否相等來確定兩個三角形是否相似.

三、板書設計

相似三角形的判定定理3：三邊對應成比例的兩個三角形相似

教學反思

從學生已掌握的知識入手，通過設置問題，引導學生進行計算、推理和歸納，提高分析

問題和解決問題的能力.感受兩個三角形相似的判定定理3與全等三角形判定方法（SS。的區

別與聯系，體會事物間一般到特殊、特殊到一般的關系.讓學生經歷從實驗探究到歸納證明

的過程，發展學生的推理能力，培養學生與他人交流、合作的意識.

第5課時判定兩個直角三角形相似

教學目標

【知識與能力】

了解直角三角形相似定理的證明方法并會應用。

【過程與方法】

1.類比證明兩個直角三角形全等的方法,繼續滲透和培養學生對類比思想的認識和理解.

2.通過了解定理的證明方法培養和提高學生利用已學知識證明新命題的能力。

【情感態度價值觀】

通過學習培養學生類比的意識，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點。

教學重難點

【教學重點】

直角三角形相似定理的應用。

【教學難點】

了解直角三角形相似判定定理的證題方法與思路。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

1.到目前為止我們總共學過幾種判定兩個三角形相似的方法？

答：（1）兩角對應相等的兩個三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形

相似；（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似.

2.判定兩個直角三角形相似有幾種方法？

答：一個銳角對應相等或兩直角邊對應成比例.

還有沒有其他的方法證明直角三角形相似？

二、合作探究

探究點一：判定兩個直角三角形相似

【類型一】判定兩個直角三角形相似的特殊方法

例1如圖，在RtZ\46C中，/49G=90°"6=4,47=5.在m4卬B'C中，N/'CB'

=90°,A'C=6,A'B'=10.求證：△/吐△夕CA'.

解析：先求兩直角三角形的斜邊4。和/'9的比，再求兩直角邊回和HC的比.

證明：在RtZX/a1中，BC=y/A(^AE>=^5"4"=3,.".~p一一~^~2*'~一~B'~=T3=5'

Be1°

k=又,：NABC=NA'CB'=90°，：,RtAASC^RtAB'CA'.

ACAD

D

解析：根據網格的特點，利用勾股定理求出各邊的長度，求出三邊的比，然后結

合四個選項即可得解.設網格的邊長是1,則力6=護1=/，勿=后兩=①,然=

yl22+2~=2y[2,：.AB：AC：BC=@:2取：四=1：2：木,是直角三角形...,選

項A、D中的三角形不是直角三角形，.?.排除A、D選項；：4？：氐7=1：2,B選項中的三角

形的兩直角邊的邊長比為1：2,C選項中的三角形的兩直角邊的邊長比為3:2,.?.選項B正

確.

方法總結：以網格圖考查的題目，要應用勾股定理分別求出各圖形的三角形的三邊之比,

這是解題的關鍵.

探究點二：直角三角形相似的計算

例3如圖，在△四C中，/C=90°，比'=16cm,4C=12cm,點。從6出發沿比1以2cm/s

的速度向C移動，點。從C出發，以lcm/s的速度向力移動，若只。分別從6、C同時出發，

設運動時間為飴，當t為何值時，△。過與△曲相似？

解析：分和％是對應邊，少和。是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比

例列式計算即可得解.

CpCQ]621t

解：當"和龍是對應邊時，XCPgXCBA,所以方=7?，即一^-=而，解得力=4.8；

L/JDlz/i101Lt

CPrni—o/t64

當少和。是對應邊時，XCPgXCAB,所以不=為即一記一=而，解得t=TT綜上所述，

64

當i=4.8或打時，與△曲相似.

方法總結：本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形對應邊成比例，難點

在于分情況討論.

三、板書設計

1.如何判定兩個直角三角形相似呢？

一個銳角對應相等或兩邊對應成比例的兩個直角三角形相似.

2.直角三角形相似的判定定理的簡單應用.

教學反思

由于直角三角形是特殊的三角形，因而它具備一般三角形所沒有的特殊性質.通過本節

課的學習，要求理解己經學過的判定相似三角形的三種方法均可以用來判定兩個直角三角形

相似，同時通過探索得出“有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形相似”這一重要

而又特殊的判定方法，并能熟練地利用這些方法判定兩個直角三角形相似.在研究的過程中，

注意滲透由一般到特殊的數學思想方法.為了實現教學目標，本節課改變了教材的情境設置，

擇取了一個更便于學生理解、更能激發學生興趣的實例，使學生能在生活中找到數學原型，

在思考中找到解決問題的辦法.教學中鼓勵學生大膽猜想，大膽辯駁，教師始終是一位引導

者、組織者，學生的積極性得到充分發揮，取得了很好的教育效果.

22.3相似三角形的性質

第1課時相似三角形性質定理1、2及其應用

教學目標

【知識與能力】

理解并掌握相似三角形的對應線段（高、中線、角平分線）之間的關系，理解并掌握相似三角形

周長的比等于相似比，掌握定理的證明方法,并能靈活運用相似三角形的判定定理和性質，提

高分析和推理能力。

【過程與方法】

在對性質定理的探究中，學生經歷“觀察一猜想一論證一歸納”的過程，培養學生主動探究、

合作交流的習慣和嚴謹治學的態度,并在其中體會類比的數學思想,培養學生大膽猜想、勇于

探索、勤于思考的數學品質，提高分析問題和解決問題的能力。

【情感態度價值觀】

1.在學習和探討的過程中,體驗特殊到一般的認識規律.

2.通過學生之間的合作交流使學生體驗到成功的喜悅,樹立學好數學的自信心。

教學重難點

【教學重點】

相似三角形性質定理的探究及應用。

【教學難點】

綜合應用相似三角形的性質與判定定理探索相似三角形中對應線段之間的關系，理解并掌握

相似三角形周長的比等于相似比。

課前準備

課件、教具等。

教學過程

一、情境導入

在前面我們學習了相似多邊形的性質，知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，

相似三角形是相似多邊形中的一種，因此三對對應角相等，三對對應邊成比例.那么，在兩

個相似三角形中是否只有對應角相等、對應邊成比例這個性質呢？本節課我們將研究相似三

角形的其他性質.

二、合作探究

探究點一：相似三角形性質定理1

【類型一】相似三角形對應高的比

例1如圖，中，DE//BC,于點//,/〃交應于點G.已知小=10,60=15,

46=12.求67/的長.

解：'：DE//BC,

:.XADESMABC.

又，：AHLBC,DE//BC,

：.AHLDE.

.DEAG1012

''BC~AH115~AH

.?.{〃=18.

，GH=AH-AG=18-12=6.

方法總結：利用相似三角形的性質：對應高的比等于相似比；將所求線段轉化為求對應

高的差.

【類型二】相似三角形對應角平分線的比

例2兩個相似三角形的兩條對應邊的長分別是6cm和8cm,如果它們對應的兩條角平分

線的和為42cm,那么這兩條角平分線的長分別是多少？

解：（方法一）設其中較短的角平分線的長為xcm,則另一條角平分線的長為（42—才）cm.

x6

根據題意，得互不=6解得x=18.

所以42-x=42-18=24（cm）.

x6

（方法二）設較短的角平分線長為xcm,則由相似性質有數=工.解得x=18.較長的角平分

線長為24cm.

故這兩條角平分線的長分別為18cm,24cm.

方法總結：在利用相似三角形的性質解題時，一定要注意“對應”二字，只有對應線段

的比才等于相似比，而相似比即為對應邊的比.列比例式時，盡可能回避復雜方程的變形.

【類型三】相似三角形對應中線的比

例3已知笫s△/ffC,"=1A?邊上的中線切=4cm,求/B'邊上的

ADO

中線C'D'的長.

解：B'C,必是四邊上的中線，CD'是"B'邊上的中線，

.CDAB2

"CD'=A'B'=?

又..?34cm,

：.CD'=券等4=6(cm).

即/B'邊上的中線rD'的長是6cm.

方法總結：相似三角形對應中線的比等于相似比.

探究點二：相似三角形性質定理1的應用

例4如圖所示，路邊有兩根電線桿，分別在高為3m的｛處和6m的。處用鐵絲將兩電

線桿固定，求鐵絲/〃與鐵絲力的交點M距地面的高.

解析：如圖所示，過點"作物小物于點〃由題意得相〃"〃勿，散AABMs叢DCM,△

時AB1MHBM“—

BMH^/AXBCD,故7^=加故"可求.

MLLUZLUDC

解：過點M作MLLBD于點、伍YABLBD,CD工BD,：.AB//MH//CD,J優△

BMAB31BM1『BMMH