教學(xué)設(shè)計

課題平面向量實際背景及基本概念授課人

1.從生活實例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性.

教

學(xué)2.理解平面向量的含義、向量的幾何表示，向量的模.

目3.理解零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的含義能在圖形中辨

標(biāo)

認相等向量和共線向量.

重

向量概念，向量的幾何表示，以及平行向量概念.

八盧八

難理解零向量，單位向量，相等向量，平行向量的含義，讓學(xué)生感受向量，平行

點或共線向量等概念形成過程.

過師生

教學(xué)內(nèi)容與教師活動設(shè)計意圖

程活動

［設(shè)計

問情境引入意圖】向量

題）創(chuàng)設(shè)情境：（學(xué)生馬上概念不是

情現(xiàn)場播放《貓與老鼠》一段視頻得出結(jié)論：追不憑空產(chǎn)生

境句題情境：在同一時亥（老鼠由A向東北方向上,貓的速度再快的。用這一

以6m/s的速度逃竄,貓在B處向東南方向10m/s的也沒用，因為方向簡單直觀

速度追，貓能否追到老鼠呢？’錯了.）的問題讓

學(xué)生感受

“既有大

小又有方

探向的量”的

究客觀存在，

新自然引出

知Q課堂探究學(xué)習(xí)內(nèi)容，

學(xué)生會產(chǎn)

（二）建構(gòu)數(shù)學(xué)自主探究：（學(xué)生能容易地

生親切感，

探究1.向量的概念舉出重力、浮力、

有助于激

問題1你能否再舉出一些既有方向，又有大小作用力等物理中

發(fā)學(xué)習(xí)興

的量？學(xué)過的量.）

趣.

（學(xué)生所舉

追問：生活中有沒有只有大小，沒有方向的的例子有年齡、身【設(shè)計

量？請你舉例.高、面積等.）意圖】激活

教師：由同學(xué)們的舉例可見，現(xiàn)實中有的量概念抽象需學(xué)生的已

只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向.數(shù)要典型豐富的實有相關(guān)經(jīng)

學(xué)中對位移、力……這些既有大小又有方向的量進例.讓學(xué)生舉例可驗.

行抽象，就形成一種新的量一一向量以觀察到他們對【設(shè)計意

概念屬性的領(lǐng)悟，圖】形成區(qū)

句量---既有大小又有方向的量形成對概念的初別不同量

數(shù)量一一只有大小沒有方向的量步認識,為進一步的必要性.

抽象概括做準(zhǔn)備.［設(shè)計

思考：判斷下列說法是否正確：意圖】由學(xué)

①由于零上溫度可以用正數(shù)來表示，零下溫學(xué)生先獨立思考，生熟悉的

度可以用負數(shù)來表示,所以溫度是向量.然后小組合作探知識引入，

②坐標(biāo)平面上的x軸和y軸是向量.究以此更加

自然地引

入向量概

念，并建立

學(xué)習(xí)向量

的認知基

探究2.向量的表示礎(chǔ).

問題2數(shù)學(xué)中，定義概念后，通常要用符號表

示它.從向量的定義看，向量是既有大小又有方向【設(shè)計意

的量，那么該怎樣把向量表示出來呢？圖】引導(dǎo)學(xué)

教師：參照物理中表示力的方法，類比幾何中有向生通過類

線段及有向線段長度的表示方法，得到向量及向量比，討論向

大小的表示方法量的表示、

①幾何表示法：常用一條有向線段表示向量學(xué)生先獨立思考，定義特殊

（如圖所示）.tB然后小組合作探向量，讓學(xué)

終點）

究生參與到

盅點）定義概念

小的活動中

組②符號表示：以力為起點、6為終點的有向線來，不輕易

合段，記作AB.（注意起終點順序）.打斷學(xué)生

作的思維和

③字母表示法：可表示而為￡.（一定要學(xué)生

探活動，恰如

究其分地“以

規(guī)范書寫：印刷用黑體書寫用￡）

a,問題引導(dǎo)

學(xué)習(xí)”，在

④向量A豆的大小----向量AB長度（或稱質(zhì)疑----

反思的過

勻向量的模）.記作：麗.

程中深化

思考：概念的理

解，使概念

①而與麗相同嗎？,耳與卜臼相同嗎？學(xué)生先獨立思考，

的理解成

然后小組合作探

為學(xué)生自

②若忖〉忖，則一定有a〉坂嗎？究

動己主動思

手兩個特殊向量維的結(jié)果.

（學(xué)生普遍認

實問題3在實數(shù)集中，0和1是兩個特殊的元

為零向量、單位向

驗素，。是正負分界點，有。就可以定義相反數(shù)，1

是單位，作用很大。類比實數(shù)，在向量中，你認為量是特殊的.）

哪些向量比較特殊？

①零向量一一長度為零的向量，記作6.規(guī)

定：零向量的方向是任意的。

②單位向量一一K度等于1個單位長度的向

'it.

思考：學(xué)生先獨立思考，

①單位向量唯一嗎？然后小組合作探

②在平面上把所有單位向量的起點平移到同究，可以動手用

一點，那么它們的終點的集合組成什么圖形？TI手持計算器進

行驗證.

以小組為單位向

動

全班展示探究成

手

實果.［設(shè)

驗計意圖】不

是先給出

相等向量、

學(xué)生先獨立思考，

探究3.相等向量、平行向量、共線向量、相平行向量、

然后小組合作探

反向量的概念共線向量、

究

小問題4觀察圖中的正六邊形ABCDEF.給圖中相反向量

組的任意兩個線段加上箭頭表示向量，并說說你所標(biāo)的定義，再

合注的向量之間的關(guān)系.（舉例）做練習(xí)鞏

作固，而是讓

E,____________D

探一學(xué)生參與

究概念的形

自主實驗,形成初

成過程，使

步結(jié)論

概念成為

學(xué)生觀察、

歸納、概括

之后的自

\B然產(chǎn)物.

動學(xué)生動手用TI手留給

手問題5你是怎樣研究的？比如，你畫了哪幾個持計算器進行驗學(xué)生足夠

實向量？你認為它們有怎樣的關(guān)系？的時間，并

驗證.提出問題

以小組為單位向5,組織學(xué)

「相等生交流.

全班展示探究成

結(jié)論：［方向相同：大小Y

尿相等

果.

1「相等

1方向相反：大小一

樂相等

、方向既不相同也不相反

教師：任意兩個非零向量之間的關(guān)系，我們將學(xué)生先獨立思考，

在本章中逐步學(xué)習(xí)，這節(jié)課我們先學(xué)習(xí)其中的特殊然后小組合作探

關(guān)系，，那么從方向來看大家認為哪些向量的關(guān)系究.

是特殊的？

學(xué)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記自主實驗,形成初【設(shè)計意

生步結(jié)論.圖】引導(dǎo)學(xué)

作aHb.規(guī)定：6與任一向量平行.

小生由方向

組教師：從大小和方向一起看，又有哪些向量是相同或相

合特殊的？反的向量

作由學(xué)生討論得出結(jié)論：得出平行

探長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，記向量的定

究義.

作a=5

長度相等且方向相反的向量叫做相反向量，記

作a=

并得到結(jié)論：只要大小和方向不變，向量和位

置無關(guān)，可以在平面內(nèi)任意平移.通過學(xué)生

問題6如果圖中的三個向量的起點平移到同運用TI手

學(xué)生動手用TI手

持計算器

一起點。'處，E4---------D持計算器進行驗

NA小組合作

證探究規(guī)律，

讓學(xué)生體

以小組為單位向

驗數(shù)學(xué)實

全班展示探究成驗的過程，

培養(yǎng)學(xué)生

果.

的質(zhì)疑意

^A7,B識、探索意

那么這三個向量的位置有何特征？識，歸納意

結(jié)論：平行向量又叫做共線向量。識.

思考：下列各組向量是否平行？

//7卜B

學(xué)////\A

生c

典\

例C

探①②③④

究

想一想：向量的平行與線段的平行有沒有區(qū)

別？

教師強調(diào)應(yīng)注意

的問題［設(shè)

計意圖】讓

學(xué)生注意

把向量概

念與物理

背景、幾何

背景明確

區(qū)分，真正

抓住向量

的本質(zhì)特

征，完成

“數(shù)學(xué)化”

的過程.

位

課堂小結(jié)【設(shè)計意

（三）歸納交流圖】給學(xué)生

學(xué)生總結(jié),體驗成

1.學(xué)生談本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會.提供一個

2、本節(jié)課體現(xiàn)了那些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法？功總結(jié)本節(jié)收獲。

闡明想法、

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)方法.

發(fā)表觀點、

談?wù)勈斋@

的平臺，便

于教師了

解學(xué)生本

節(jié)課的學(xué)

習(xí)情況。

鞏也鞏固練習(xí)

固

（四）知識運用，鞏固強化：

練

習(xí)

/|限時訓(xùn)練卜［設(shè)

計意圖】通

過兩組題

練習(xí)一：目，由淺入

判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理學(xué)生獨立限時完深，以學(xué)生

由.成.研究討論

（1）與非零向量二平行的單位向量有無數(shù)個.得出結(jié)論，

能充分調(diào)

（2）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對共動大家的

線向量.積極性.

(3)若麗=反，則直線AB與直線CD平行.

(4)若，=0,則。=0.

練習(xí)二：

如圖，D、E、F分別是AABC各邊上的中點，在

以A、B、C、I)、E、F為端點的有向線段表示的向

量中，請分別寫出：

如圖，D、E、F分別是AABC各邊上的中點，在

以A、B、C、D、E、F為端點的有向線段表示的向

量中，請分別寫出：

(1)與向量瓦相等的向量有一個，分別是

(2)與向量力Q的模相等、方向相反的向量

有一個,分別是_________________;

(3)與向量方后共線的向量有一個，

分別是_______________________;［設(shè)

計意圖】通

A過作業(yè)，進

一步內(nèi)化

學(xué)生的認

知結(jié)構(gòu)，并

弄清知識

學(xué)生課下鞏固練和方法上

2習(xí)，分層布置作的易混點、

B業(yè),滿足不同學(xué)生易錯點；培

DC的需要.養(yǎng)學(xué)生的

41課后作業(yè)

動手實踐、

合作探究

1.P77習(xí)題2.1第1、2小題。能力，讓學(xué)

2.在實際的生活中還有許多離不開生進一步

方向和大小的實例，請大家在課體會數(shù)學(xué)

后進行收集、討論。的科學(xué)價

值和應(yīng)用

價值，增強

學(xué)生學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的興

趣，激發(fā)學(xué)

生的學(xué)習(xí)

熱情.

《平面向量實際背景及基本概念》學(xué)情分析

本節(jié)課在高一第二學(xué)段，對于高中常用的數(shù)學(xué)思想方法和研究問題的方法學(xué)生已經(jīng)有

初步的了解，并且逐步適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)方式和教師的教學(xué)方式，喜歡小組探究學(xué)習(xí)，喜歡獨

立思考，探究未知內(nèi)容，學(xué)習(xí)欲望迫切。本課是必修四第二章《平面向量》第一節(jié)，是新知

識的一個起點，所以這是十分關(guān)鍵、重要的一節(jié)課。本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的特點是：概念多，有向

量、平行向量、相等向量、單位向量等相關(guān)概念及向量的幾何表示。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，諸

多概念容易混淆，它們之間關(guān)系不易理清，這些是學(xué)習(xí)中的難點。

在學(xué)生的已有經(jīng)驗中，接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量），此外學(xué)生曾學(xué)習(xí)物理中的

矢量的概念，線段的平行與共線，還有三角函數(shù)中的有向線段等.在學(xué)生的已有經(jīng)驗中，與

本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的有：數(shù)的抽象過程，實數(shù)的絕對值（線段的長度），數(shù)的相等，0和I的特

殊性，線段的平行或共線等，這些將為學(xué)生自覺，有序、有效地認知向量概念提供“固著點”.

課程名稱：平面向量實際背景及基本概念

青島第十六中學(xué)高中數(shù)學(xué)組

學(xué)習(xí)效果分析：

1.通過《貓與老鼠》一段動畫視頻，創(chuàng)設(shè)問題情境，自然引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生產(chǎn)生

親切感，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.為本節(jié)課的順利開展打下了良好的基礎(chǔ)。

2.圖象計算器、PPT等信息化教學(xué)技術(shù)的添加，使平面向量概念的學(xué)習(xí)更加形象、生動，

增強了學(xué)生的探究的學(xué)習(xí)興趣，使整堂課效果極佳。

3.本節(jié)課采用學(xué)生動手實驗與探究相結(jié)合、獨立思考與小組合作相結(jié)合。通過類比數(shù)集

初步認識向量集合，利用圖形計算器進行數(shù)學(xué)實驗，在學(xué)生動手實踐、觀察、思考問題的過

程中，關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力；并在進一步的學(xué)習(xí)過程中，體會用聯(lián)系的觀點、

類比的方法研究向量（主要是聯(lián)系數(shù)及其運算、直線（段）的平行和共線等）；體會研究一

類新的數(shù)學(xué)問題的基本套路（思路）.

4.在各組共同學(xué)習(xí)、解決問題的過程中，觀察學(xué)生合作交流、學(xué)習(xí)的能力。

5.通過課堂活動與交流，了解學(xué)生對知識的掌握程度，通過反饋，對易錯、易混的知識

點，做出啟發(fā)性的指導(dǎo)。

6.通過課堂小結(jié)，學(xué)生說出自己的收獲，與別人分享學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體會，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

積極性，建立自信心。

7.本節(jié)課在引導(dǎo)學(xué)生探究的過程中,關(guān)注學(xué)生的認知心理過程,重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的參與度、

自信心以及獨立思考能力。教學(xué)過程中注重層次性，對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生多給他們創(chuàng)造機會，力爭

每一個層次的學(xué)生都能有機會得到積極的評價，因為這是讓他們保持自信，愛好數(shù)學(xué)的最佳培養(yǎng)

時機。

課程名稱：平面向量實際背景及基本概念

青島第十六中學(xué)高中數(shù)學(xué)組

一、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)選自人教A版必修四第二章《平面向量》第一節(jié)內(nèi)容。

二、教材分析

《平面向量》是“人教A版”數(shù)學(xué)4的第二章，本節(jié)課包括“章引言”和“2.1平面向

量的實際背景及基本概念”兩部分.

向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為

解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，

通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直

線和平面的各種有關(guān)問題.

向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內(nèi)不都適用.因此，

本章在介紹向量概念時，重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分

運算法則，包括加法，減法，實數(shù)與向量的積，向量的數(shù)量積的運算法則等.之后，又將向

量與坐標(biāo)聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運算與數(shù)量（向量的坐標(biāo)）的代數(shù)運算聯(lián)系起來，這就

為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法一一向量法和坐標(biāo)法.

本章共分五大節(jié).第一節(jié)是“平面向量的實際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理

背景與概念，向量的幾何表示，相等向量與共線向量.

本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用。本節(jié)概念課，重要的不是向

量的形式化定義及幾個相關(guān)概念，而是能讓學(xué)生去體會認識與研究數(shù)學(xué)新對象的方法和基本

思路，進而提高提出問題，解決問題的能力.

本節(jié)從物理學(xué)中的位移，力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重

點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示，向量的長度，零向量，單位向量，

平行向量，共線向量，相等向量等基本概念.

知識與技能目標(biāo)：

L從生活實例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性.

2.理解平面向量的含義、向量的幾何表示，向量的模.

3.理解零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的含義，能在圖形中辨認相等向

量和共線向量.

過程與方法目標(biāo)：

通過本課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點，類比的方法研究向量；獲得研究數(shù)學(xué)新問題的

基本思路，學(xué)會概念思維；使學(xué)生自然的，水到渠成的實現(xiàn)“概念的形成”；讓學(xué)生積極參

與到概念本質(zhì)特征的概括活動中，享受寓教于樂的樂趣.

情感、態(tài)度價值觀目標(biāo)：

通過學(xué)習(xí)過程培養(yǎng)學(xué)生探索與協(xié)作的精神，在養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣的同時，提高合作學(xué)

習(xí)的意識。

教學(xué)重點：向量概念，向量的幾何表示，以及平行向量概念.

教學(xué)難點：理解零向量，單位向量，相等向量，平行向量的含義，讓學(xué)生感受向量，平

行或共線向量等概念形成過程.

課程名稱：平面向量實際背景及基本概

念

青島第十六中學(xué)高中數(shù)學(xué)組

評測練習(xí)

判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.

(1)與非零向量:平行的單位向量有無數(shù)個.

(2)物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對共線向量.

(3)若則直線AB與直線CD平行.

(4)若卜|=0,則4=0.

(5)平行向量一定方向相同.

(6)共線向量一定相等.

(7)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等的向量.

(8)不相等的向量，則一定不平行.

二、選擇題

1、例I犍臥不齦響1的是()

A.距離B.力腱度C.力D.位移

2、下列四個命題舊解1是()

A.兩個單位向量f相等B.若a與b不儂，則a與b都是斗耀向量

C.颯嬋位向鼬中聘D.兩個相符的向最圓顯方向、長瀏頒都相同

3、杼㈱埼知健

A.向量04的長度與向量A0的長度幡B.零向量與任圜由向量平行

C.長度儲方向相反的向量蛾I).砸

4、在ZMS7中，除￡加強能"的屯點則

A.AB與AC撤R0E與CB麒CA。與AE僻D.A。與B。嶙

5、下列命題中，正確的是()

A.|a|=|〃|na=5B.|tz|>||=i>a>bC.a=B=>a與5共線D.|〃|=0=a=()

6、設(shè)O是正方形A8CD的中心，向量/、而、前、而是()

A.平行向量B.有相同終點的向量C.相等向量D.模相等的向量

7、AABC中，D、E、F分別為8C、C4、AB的中點，在以A、B、C、￡>、E、F為

端點的有向線段所表示的向量中，與所共線的向量有()

A.2個B.3個C.6個D.7個

三.填空題：

1、如圖，D、E、F分別是aABC各邊上的中點，在以A、B、C、D、E、F為端點的有向線段表

示的向量中，請分別寫出：A

(1)與向量瓦相等的向量有一個，分別是___________；

(2)與向量方萬的模相等、方向相反的向量有一個，.

分別是;

(3)與向量方共線的向量有一個，/___________J

Br

分別是；Dc

2、如圖，。是正方形ABCD的對角線的交點，四邊形OCFB是正方形，在圖中所

示的向量中，?

(1)與血相等的向量有

(2)與加共線的向量有;

(3)與標(biāo)模相等的向量有;

(4)向量荷與瓦是否相等？答：

3、.O是正六邊形ABCDEF的中心，S.AO=a,OB=b,AB=c,在以A、B、C、D、

E、F、O為端點的向量中：

(1)與2相等的向量有;

(2)與B相等的向量有；

(3)與工相等的向量有.

4、下列說法中正確是.(寫序號)

(1)若￡與5是平行向量，則公與B方向相同或相反;

(2)若法與前共線，則點A、B、C、。共線；

(3)四邊形ABGD為平行四邊形，則4j=C￡i；

(4)若a=B,b=c,貝l]a=c；

(5)四邊形AB8中，麗=配且|4月|=|4力|,則四邊形ABCD為正方形;

(6)a與B方向相同且|“|=|5|與是一致的;

課程名稱：平面向量實際背景及基本概念

青島第十六中學(xué)高中數(shù)學(xué)組

課后反思：

本節(jié)課我講的是人教版高中數(shù)學(xué)必修(4)第二章第一節(jié)的內(nèi)容——平面向量實際背景

及基本概念。向量是近代數(shù)學(xué)中最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三

角函數(shù)的一種工具，有深刻的幾何背景及代數(shù)意義，因此向量具有數(shù)形結(jié)合的特征，是深入

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及解決各類數(shù)學(xué)問題的有效工具，在其他學(xué)科