PAGEPAGE1兩個計數原理、排列與組合一、選擇題1．(2024·新高考全國卷Ⅰ)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館支配1名，乙場館支配2名，丙場館支配3名，則不同的支配方法共有()A．120種B．90種C．60種D．30種C[Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60．]2．(2024·合肥市第六中學高三模擬)某方艙醫院有6個醫療小組，每個小組都配備1位主治醫師，現依據工作須要，醫院打算將其中3位主治醫師由原來的小組均相應地調整到其他醫療小組，其余的3位主治醫師仍在原來的醫療小組(不做調整)，假如調整后每個醫療小組仍都配備1位主治醫師，則調整的不同方案數為()A．36B．40C．48D．56B[從6個醫療小組選出3位主治醫師，有Ceq\o\al(3,6)＝20種不同的方法；不妨設這3位主治醫師分別為甲、乙、丙，調整即為不在原來的醫療小組，有2種不同的方法．綜上，調整的不同方案數為20×2＝40．]3．風雨蒼黃百年路，高歌奮進新征程．為深化開展黨史學習教化，某街道黨支部確定將4名黨員支配到3個社區進行專題宣講，且每個社區至少支配1名黨員，則不同的支配方法總數為()A．12B．24C．36D．72C[首先將4名黨員分成3組，共有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝6種，再將3組安排到3個社區，共有Aeq\o\al(3,3)＝6種，所以不同的支配方法總數為6×6＝36種．]4．某人民醫院召開抗疫總結表彰大會，有7名先進個人受到表彰，其中有一對夫妻．現要選3人上臺報告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報告，若夫妻同時被選，則兩人的報告依次須要相鄰，這樣不同的報告方案共有()A．80種B．120種C．130種D．140種D[若夫妻中只選一人，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(3,3)＝120種不同的方案；若夫妻二人全選，則有Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝20中不同方案，故總計有140種不同方案，故選D．]5．現有小麥、大豆、玉米、高粱4種不同農作物供選擇，在如圖所示的四塊土地上進行種植，要求有公共邊界的兩塊地不能種同一種農作物，則不同的種植方法共有()A．36種 B．48種C．24種 D．30種B[先給B地種植，有4種選擇，再給C塊地種植，有3種選擇，再給A地種植，有2種選擇，最終給D地種植，有2種選擇．依據分步乘法計數原理可知共有4×3×2×2＝48(種)不同的種植方法．]6．某中學語文老師從《紅樓夢》《平凡的世界》《紅巖》《老人與海》4本不同的名著中選出3本，分給三個同學去讀，其中《紅樓夢》為必讀，則不同的安排方法共有()A．6種B．12種C．18種D．24種C[(1)先從《平凡的世界》《紅巖》《老人與海》三本書中選擇2本，共有Ceq\o\al(2,3)＝3(種)選法；(2)將選出的2本書與《紅樓夢》共計3本書進行全排列，對應分給三名學生，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)排法，依據分步乘法計數原理，不同的安排方法有3×6＝18(種)．故選C．]7．福州西湖公園花展期間，支配6位志愿者到4個展區供應服務，要求甲、乙兩個展區各支配一個人，剩下兩個展區各支配兩個人，不同的支配方案共有()A．90種B．180種C．270種D．360種B[依據題意，分3步進行分析：①在6位志愿者中任選1個，支配到甲展區，有Ceq\o\al(1,6)＝6種狀況；②在剩下的5個志愿者中任選1個，支配到乙展區，有Ceq\o\al(1,5)＝5種狀況；③將剩下的4個志愿者平均分成2組，然后支配到剩下的2個展區，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝6種狀況，則一共有6×5×6＝180種不同的支配方案．]二、填空題8．已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，則m＝．2[由組合數公式化簡整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(舍去)．]9．(2024·全國卷Ⅱ)4名同學到3個小區參與垃圾分類宣揚活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少支配1名同學，則不同的支配方法共有種．36[由題意，分兩步進行支配，第一步，將4名同學分成3組，其中1組2人，其余2組各1人，有Ceq\o\al(2,4)＝6種支配方法；其次步，將分好的3組支配到對應的3個小區，有Aeq\o\al(3,3)＝6種支配方法，所以不同的支配方法有6×6＝36(種)．]10．有4位老師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位老師不能在本班監考，則不同的監考方法有種．9[設四位監考老師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d．假設A監考b，則余下三人監考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監考方法．]1．支配3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種D[由題意可得其中1人必需完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．故選D．]2．(2024·江西宜春高三模擬)2024年4月15日，是第六個全民國家平安教化日，教化廳組織宣講團到某市的六個不同高校進行國家平安學問的宣講，時間依次要求是：高校甲必需排在其次或第三個，且高校甲宣講結束后需馬上到高校丁宣講，高校乙、高校丙的宣講依次不能相鄰，則不同的宣講依次共有()A．28種B．32種C．36種D．44種B[依據題意分成以下兩種狀況進行分類探討：高校甲排在其次個時，高校丁必排在第三個，當乙或丙排在第一個時共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種排法，當乙或丙不排在第一個時，乙和丙只能排在第四個和第六個，此時共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種排法，所以高校甲排在其次個時共有16種排法；高校甲排在第三個時，高校丁必排在第四個，乙或丙只能一個排在第一二個，一個排在第五六個，則共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝16種排法；綜上：共有32種排法滿意題意．]3．某重點中學支配支配甲、乙等5名骨干老師在3個平臺上發布自己錄好的視頻課件，每個平臺至少支配一名老師，每名老師也只能在一個平臺上發布視頻課件，若甲、乙2名老師不在同一個平臺上發布視頻課件，則不同的支配方法有()A．120種B．114種C．108種D．96種B[若不考慮甲、乙2名老師不在同一個平臺上發布視頻課件，則不同的支配方法有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(3,3)＝150(種)；若甲、乙2名老師在同一個平臺上發布視頻課件，則不同的支配方法有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,3)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)·\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)，所以滿意條件的支配方法有150－36＝114(種)．]4．(2024·安徽銅陵高三一模)2024年12月17日，嫦娥五號返回器攜帶1731克月球土壤樣品在內蒙古四子王旗預定區域平安著陸，至此我國成為世界上第三個從月球取回土壤的國家．某科研所共有A、B、C、D、E、F六位地質學家他們全部應邀去甲、乙、丙三所不同的中學開展月球土壤有關學問的科普活動，要求每所中學至少有一名地質學家，其中地質學家A被支配到甲中學，則共有不同的派遣方法數為()A．180B．162C．160D．126A[依據題意，分2步進行分析：①將A、B、C、D、E、F六位地質學家分為3組，若分為1、1、4的三組，有Ceq\o\al(4,6)＝15種分組方法，若分為1、2、3的三組，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)＝60種分組方法，若分為2、2、2的三組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15種分組方法，則共有15＋60＋15＝90種分組方法；②將A所在的組支配到甲學校，剩下的2組支配到其他兩個學校，有2種支配方法，則有90×2＝180種支配方法．]1．在某班進行的演講競賽中，共有5位選手參與，其中3位女生，2位男生．假如2位男生不能連續出場，且女生甲不能排在第一個，求出場依次的排法種數，下列列式錯誤的是()A．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3) B．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)C．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3) D．Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)C[若第一個出場的是男生，則其次個出場的是女生，以后的依次隨意排，方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種；若第一個出場的是女生(不是女生甲)，則將剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種．∴滿意條件的出場依次有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種，故A正確；先排3位女生，3位女生之間有4個空，從4個空中選2個排男生，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)種，若女生甲排在第一個，則3位女生之間有3個空，從3個空中選2個排男生，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種，∴滿意條件的出場依次有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種，故B正確；5位選手全排列的方法數Aeq\o\al(5,5)減去2位男生連續出場的方法數Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)，再減去女生甲排在第一個的方法數Aeq\o\al(4,4)．∵多減去了2位男生既連續出場，女生甲又排在第一個的方法數Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，∴滿意條件的出場依次有Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，故D正確．故選C．]2．將甲、乙等5位同學分別保送到北京高校、上海交通高校、浙江高校三所高校就讀，每所高校至少保送一人．(1)有種不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有種不同的保送方法．(1)150(2)100[(1)5名學生可分成2,2,1和3,1,1兩種形式，當5名學生分成2,2,1時，共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝90種方法；當5名學生分成3,1,1時，共有Ceq\o\al(3,5)A