高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省鄂北六校2023-2024學年高二下學期期中考試數學試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并認真核準準考證號條形碼上的信息，將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選〖答案〗的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數，當自變量x由1增加到時，函數的平均變化率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故選：C2.下列導數運算正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B正確；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D錯誤；故選：B.3.14名同學合影，站成前排5人后排9人，現攝影師要從后排9人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，從后排9人中抽2人調整到前排，有中不同的取法，將前排5人和后來兩人看成七個位置，把兩個人在七個位置中選兩個位置進行排列，完成調整，有中不同的排法，所以不同調整方法的總數是種.故選：D.4.的展開式中奇數項的二項式系數之和為32，則展開式的一次項為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由展開式中奇數項的二項式系數之和為32可得，解得；所以二項式的展開式的通項為，令，可得；所以展開式的一次項為.故選：A5.已知在處取極小值，則（）A.3或1 B.3 C.1 D.或〖答案〗C〖解析〗對函數求導可得；易知，解得或；當時，令，可得，即在上單調遞減，在和上單調遞增，此時處取得極小值，滿足題意；當時，令，可得，即在上單調遞減，在和上單調遞增，此時處取得極大值，不符合題意，舍去；故選：C6.已知圓錐的母線長為定值R，當圓錐的體積最大時，圓錐的底面半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設圓錐的底面半徑為，高為，則，可得，則圓錐的體積，則，當時，；當時，；則在上單調遞增，在內單調遞減，可知當，即時，圓錐的體積取到最大值.故選：B.7.對于數列，把它連續兩項與的差記為，得到一個新數列，稱數列為原數列的一階差數列．若，則數列是的二階差數列，以此類推，可得數列的p階差數列．如果某數列的p階差數列是一個非零的常數列，則稱此數列為p階等差數列，如數列1，3，6，10，它的前后兩項之差組成新數列2，3，4，新數列2，3，4的前后兩項之差再組成新數列1，1，1，新數列1，1，1為非零常數列，則數列1，3，6，10稱為二階等差數列．已知數列滿足，且，則下列結論中錯誤的有（）A.為二階等差數列 B.為三階等差數列C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，，所以，即，當時，，故C正確；所以，即，因為，所以，故D正確；，，不為常數，故A錯誤；為非零常數，故為3階等差數列，故B正確；故選：A．8.已知是函數的導函數，對于任意實數x都有，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以令，，所以為常數.又因為，所以，所以，所以.原不等式等價于，即，解得或，所以解集為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳析九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，….設第n層有個球，從上往下n層球的總數為，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由題意得：，以上個式子累加可得，其中時，滿足上式，所以，對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：ACD.10.過拋物線上一點作兩條直線，，與E的另一個交點為A，與E的另一個交點為B，拋物線的焦點為F，則（）A.E的準線方程為 B.過點M與E相切的直線方程為C.以為直徑的圓與y軸相切 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，因為點在拋物線上，所以，則，拋物線方程為，則其準線方程為，故A錯誤；對于B，聯立，消元得，則，故直線與拋物線相切，又點在直線上，則過點M與E相切的直線方程為，故B正確；對于C，由拋物線定義知，線段中點的橫坐標，即線段的中點到軸的距離為，所以以為直徑的圓與y軸相切，故C正確；對D，設，則，即，所以，即，所以，故D正確.故選：BCD11.已知函數（a為常數），則下列結論正確的有（）A.當時，恒成立B.若有3個零點，則a的取值范圍為C.當時.有唯一零點且D.當時，是的極值點〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，當時，可得fx=e2x所以A錯誤；對于B中，若函數有3個零點，即有三個解，其中時，顯然不是方程的根，當時，轉化為gx=e2xx2又由g'令，解得或；令，解得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；所以當時，函數取得極小值，極小值為gx=e又由時，，所以，即實數的取值范圍為，所以B正確；對于C中，當時，f'x設hx=e當時，，在-∞,ln12單調遞減；當時，，在ln12,+∞單調遞增，所以當時，hxmin=h(ln所以，所以函數在上單調遞增，又因為，即，所以有唯一零點且，所以C正確；對于D中，當時，fx=e2x當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增，所以是的極小值點，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.，則在處切線方程為____________.〖答案〗〖解析〗因為，則，可得，即切點坐標為，切線斜率，所以在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.13.暑假期間，有4名教師對5名學生進行家訪活動，若這4名教師每位至少到一名學生家中，又這5名學生都能且只能得到一名教師的家訪，則不同的家訪方案種數是____________.〖答案〗240〖解析〗由題意可知：有2名學生得到同一名教師的家訪，先從5名學生中選擇2名作為一個整體，再與剩余的3名學生一起全排列即可，所以不同的家訪方案種數是.故〖答案〗：240.14.已知當，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，設，則，因為函數在上都單調遞增，所以函數在上單調遞增，則，所以，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，所以，則，所以實數的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）求的展開式中含的項；（2）若，求：①；②.解：（1）因為的展開式的通項為，的展開式的通項為，所以展開式中含的項為：；（2）①令得：①；令得：②；得：，所以；②等式兩邊分別求導得：令得：即：16.如圖，在三棱柱中，底面側面，，，.（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，為銳角，求平面與平面的夾角.解：（1）∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∵，，平面，∴平面.又平面∴.（2）設為點到平面的距離，，由（1）知∴∴，∴∴，∵為銳角∴，取中點，則，以C為原點，以、、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.如圖所示：則，，，，設平面的法向量為，則取，則，由（1）知，為平面的法向量，，所以，平面與平面的夾角為.17.已知數列滿足，．（1）證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；（2）若記為滿足不等式，的正整數k的個數，求數列的前n項和．解：（1）∵，∴，即，∴，又，∴為等差數列，其首項為1，公差為，∴，∴．（2）由得，，，∵，∴滿足不等式正整數k的個數為，∴，，①，②，得：，∴．18.已知動點M到點的距離與到直線的距離之比為.（1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過點的直線與軌跡C交于P，Q兩點，點P關于x軸對稱的點為R，求面積的取值范圍.解：（1）設，由題意得：，兩邊平方得：，化簡得，即動點M軌跡C的方程為；（2）由題意直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，，，聯立，，，則，化簡得：，且，若Q在直線的右側，則，若Q在直線的左側，則，∴，∵，∴，∵，有雙勾函數的性質可得函數在上單調遞減，∴，∴，所以面積的取值范圍.19.已知函數，.（1）記，討論的單調性；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍.解：（1）根據已知條件，有其定義域為，，當即時，若，則；若，則，所以的增區間為，減區間為.當即時在為增函數當即時在為增函數綜上，時，的增區間，