第01講相似形與比例線段（核心考點講與練）【基礎知識】一、相似形的概念及性質1、相似形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形．2、相似多邊形的性質如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例．當兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應邊的長度的比值為1．二、比例的性質1、比和比例一般來說，兩個數或兩個同類的量與相除，叫做與的比，記作（或表示為）；如果（或），那么就說、、、成比例．2、比例的性質（1）基本性質：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質：如果，那么．三、比例線段1、比例線段的概念對于四條線段、、、，如果（或表示為），那么、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．2、黃金分割如果點把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點稱為線段的黃金分割點．其中，，稱為黃金分割數，簡稱黃金數．四、三角形一邊的平行線性質定理1、三角形一邊的平行線性質定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點和點，那么．五、三角形一邊的平行線性質定理推論1、三角形一邊的平行線性質定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．如圖，點、分別在的邊、上，，那么．2、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點，三條中線交點叫三角形的重心．性質：三角形重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍．六、三角形一邊的平行線判定定理及推論1、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．2、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點和點，如果那么//．七、平行線分線段成比例定理1、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．2、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．【考點剖析】【考點1】相似形例題1（奉賢2020一模4）下列命題中，真命題是（）A.鄰邊之比相等兩個平行四邊形一定相似 B.鄰邊之比相等的兩個矩形一定相似C.對角線之比相等的兩個平行四邊形一定相似 D.對角線之比相等的兩個矩形一定相似【考點2】比例線段例題2(2023華二紫雙10月考5）如果線段b是線段a，c的比例中項，a：c=4：9，那么下列結論中正確的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：2例題3（崇明2020一模7）已知，那么___________．例題4（奉賢2019期中8）已知點P是線段AB的黃金分割點，AB=4厘米，則較短線段AP的長是______厘米．例題5(2023進才北10月考7）在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實際距離為km．【考點3】三角形一邊的平行線例題6（靜安2020一模3）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列結論中正確的是（）A. B. C. D.例題7（浦東南片2019期中5）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列條件能夠判斷DE//BC的是（）（A）； （B）； （C）； （D）．例題8(2023楊浦10月考12）如圖，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．【考點4】重心例題9.如圖，在中，，是的重心，過作邊的平行線交于 點，求的長．【考點5】A型、X型綜合例10.如圖，點在線段上，和都是等邊三角形．求證：（1）；（2）．例題11.如圖，，，，求的值．例題12.如圖，在梯形中，，對角線、交于點，點在上，且，已知，．求的長．【過關檢測】1.（奉賢2020一模4）下列命題中，真命題是（）A.鄰邊之比相等兩個平行四邊形一定相似 B.鄰邊之比相等的兩個矩形一定相似C.對角線之比相等的兩個平行四邊形一定相似 D.對角線之比相等的兩個矩形一定相似2.（崇明2020一模1）下列各組圖形一定相似的是（）A.兩個菱形； B.兩個矩形； C.兩個直角梯形； D.兩個正方形．3.（普陀2019期中2）下列命題中，正確的是（）A.所有的矩形都相似； B.所有的等腰梯形都相似；C.所有的等邊三角形都相似； D.含有角的所有等腰三角形都相似4.(2023華二紫雙10月考5）如果線段b是線段a，c的比例中項，a：c=4：9，那么下列結論中正確的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：25.(2023華二紫雙10月考1）已知：在一張比例尺為1：2000的地圖上，量得A、B兩地的距離是5cm，那么A、B兩地的實際距離是（）A.50m B.100m C.500m D.1000m6.（青浦2020一模5）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結論一定正確的是（）A.； B.； C.； D.．7.（奉賢2019期中1）已知，下列說法中，錯誤的是（）A. B. C. D.8.（閔行2020期末2）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是()A. B. C. D.9.（奉賢2019期中5）已知線段a,b,c求線段x,使ac=bx,下列作法正確的是（）A.B.C.D.10.(2023新竹園9月考3）如圖，正方形ABCD中，E，F分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是A. B. C. D.11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．12.（奉賢2019期中8）已知點P是線段AB的黃金分割點，AB=4厘米，則較短線段AP的長是______厘米．13.(2023進才北10月考7）在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實際距離為km．14．（浦東新區2020一模7）已知x＝3y，那么＝．15.（奉賢2019期中7）已知線段a=4cm,b=9cm,且線段a是線段b和線段c的比例中項，則線段c是_________．16.(2023進才北10月考8）線段a是線段b，c的比例中項，且b=4cm，c=9cm，則a=____________cm17.(2023華二紫雙10月考13）如圖，已知舞臺AB長10米，如果報幕員從點A出發站到舞臺的黃金分割點P處，且，那么報幕員應走________米報幕；18.（嘉定區2019期中8）已知點P是線段AB上的點，且BP2＝AP?AB，如果AB＝2cm，那么BP＝cm．19.（川中南2019期中13）如圖，中，已知，F是CD的中點，則________20.（奉賢2019期中11）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，點G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.21.（浦東四署2019期中18）如圖，在中，，點在邊上，線段繞點逆時針旋轉，端點恰巧落在邊上的點處.如果，.那么用含的代數式表示是：_________.22.（普陀2019期中18）如圖，中，，，將繞點順時針旋轉得到，點的對應點落在邊上，已知，，則的長為_______.23.(2023華二紫雙10月考19）已知，，求：代數式的值.24.（長寧天山2019期中20）如圖，直線分別交直線于點交直線于點且，已知,.（1）求的長；（2）當時，求的長.25.（浦東南片2019期中21）如圖，已知∥∥，它們依次交直線、于點、、和點、、，，；（1）求、的長；（2）如果，，求的長；26.(2023進才北10月考21）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為邊BC上一點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點M，交BD于點G，過點G作GF∥BC交DC于點F．求證：．27.(2023育才10月考23）已知：如圖所示，中，D、E分別在邊AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．第01講相似形與比例線段（核心考點講與練）【基礎知識】一、相似形的概念及性質1、相似形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形．2、相似多邊形的性質如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例．當兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應邊的長度的比值為1．二、比例的性質1、比和比例一般來說，兩個數或兩個同類的量與相除，叫做與的比，記作（或表示為）；如果（或），那么就說、、、成比例．2、比例的性質（1）基本性質：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質：如果，那么．三、比例線段1、比例線段的概念對于四條線段、、、，如果（或表示為），那么、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．2、黃金分割如果點把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點稱為線段的黃金分割點．其中，，稱為黃金分割數，簡稱黃金數．四、三角形一邊的平行線性質定理1、三角形一邊的平行線性質定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點和點，那么．五、三角形一邊的平行線性質定理推論1、三角形一邊的平行線性質定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．如圖，點、分別在的邊、上，，那么．2、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點，三條中線交點叫三角形的重心．性質：三角形重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍．六、三角形一邊的平行線判定定理及推論1、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．2、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點和點，如果那么//．七、平行線分線段成比例定理1、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．2、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．【考點剖析】【考點1】相似形例題1（奉賢2020一模4）下列命題中，真命題是（）A.鄰邊之比相等兩個平行四邊形一定相似 B.鄰邊之比相等的兩個矩形一定相似C.對角線之比相等的兩個平行四邊形一定相似 D.對角線之比相等的兩個矩形一定相似答案:B解析：解：∵鄰邊之比相等的兩個平行四邊形，對應角不一定相等，∴鄰邊之比相等的兩個平行四邊形不一定相似，故A錯誤；∵鄰邊之比相等的兩個矩形一定相似，故B正確；∵對角線之比相等的兩個平行四邊形對應角不一定相等，∴對角線之比相等的兩個平行四邊形不一定相似，故C錯誤；∵對角線之比相等的兩個矩形，對應邊之比不一定相等，∴對角線之比相等的兩個矩形不一定相似，故D錯誤.故選B.【考點2】比例線段例題2(2023華二紫雙10月考5）如果線段b是線段a，c的比例中項，a：c=4：9，那么下列結論中正確的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：2答案:B解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵線段b是線段a，c的比例中項，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故選：B．例題3（崇明2020一模7）已知，那么___________．答案:解析：解:∵，∴x＝,∴．故答案為：．例題4（奉賢2019期中8）已知點P是線段AB的黃金分割點，AB=4厘米，則較短線段AP的長是______厘米．答案:；解析：解：∵點P是線段AB的黃金分割點，∴較長線段BP=×4=2-2（厘米），∴較短線段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案為．例題5(2023進才北10月考7）在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實際距離為km．答案:96；解析：解：設AB兩地實際距離為，根據題意得：，解得：（cm），∴AB兩地實際距離為96km.【考點3】三角形一邊的平行線例題6（靜安2020一模3）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列結論中正確的是（）A. B. C. D.答案:B；解析：解：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，則∴△ADE∽△ABC，∴，故A錯誤；則，故B正確；則，故C錯誤；則，故D錯誤.故選B.例題7（浦東南片2019期中5）在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列條件能夠判斷DE//BC的是（）（A）； （B）； （C）； （D）．答案:C；解析：解：根據三角形一邊平行線的判定定理可知：當時，可得DE//BC，又AD=2，BD=4，所以，所以，故答案選C.例題8(2023楊浦10月考12）如圖，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝_____cm．答案:5；解析：解：∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，∵AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，∴＝，解得：CH＝5（cm），故答案為：5．【考點4】重心例題9.如圖，在中，，是的重心，過作邊的平行線交于 點，求的長．【難度】★★答案:2．解析：連結并延長交于點，根據重心的定義， 可知為中點，則， 根據重心的性質，又，可得：，求得．【總結】考查三角形重心的性質．【考點5】A型、X型綜合例10.如圖，點在線段上，和都是等邊三角形．求證：（1）；（2）．【難度】★★解析：證明：（1）和是等邊三角形，．∵點在線段上，．，．（2）同（1）易證得，則有．和是等邊三角形，，，．【總結】初步認識相似三角形中的“”字型，一個圖形中存在往往不只一個，可用來進行等比例轉化．例題11.如圖，，，，求的值．【難度】★★答案:．解析：由，得：，又， 可得，故．【總結】考查相似三角形中“雙”字型的綜合應用，得到比例關系．例題12.如圖，在梯形中，，對角線、交于點，點在上，且，已知，．求的長．【難度】★★答案:2．解析：由，可得：，故，由，，求得．【總結】相似三角形中“”字型和“”字型的綜合應用，可得到相等比例關系式．【過關檢測】1.（奉賢2020一模4）下列命題中，真命題是（）A.鄰邊之比相等兩個平行四邊形一定相似 B.鄰邊之比相等的兩個矩形一定相似C.對角線之比相等的兩個平行四邊形一定相似 D.對角線之比相等的兩個矩形一定相似答案:B解析：解：∵鄰邊之比相等的兩個平行四邊形，對應角不一定相等，∴鄰邊之比相等的兩個平行四邊形不一定相似，故A錯誤；∵鄰邊之比相等的兩個矩形一定相似，故B正確；∵對角線之比相等的兩個平行四邊形對應角不一定相等，∴對角線之比相等的兩個平行四邊形不一定相似，故C錯誤；∵對角線之比相等的兩個矩形，對應邊之比不一定相等，∴對角線之比相等的兩個矩形不一定相似，故D錯誤.故選B.2.（崇明2020一模1）下列各組圖形一定相似的是（）A.兩個菱形； B.兩個矩形； C.兩個直角梯形； D.兩個正方形．答案:D；解析：解：A．任意兩個菱形，邊的比相等、對應角不一定相等，不一定相似，本選項不合題意；B．任意兩個矩形，對應角對應相等、邊的比不一定相等，不一定相似，本選項不合題意；C．任意兩個直角梯形，形狀不一定相同，不一定相似，本選項不合題意；D．任意兩個正方形的對應角對應相等、邊的比相等，一定相似，本選項符合題意；故選：D．3.（普陀2019期中2）下列命題中，正確的是（）A.所有的矩形都相似； B.所有的等腰梯形都相似；C.所有的等邊三角形都相似； D.含有角的所有等腰三角形都相似答案:C；解析：解：A.∵矩形的邊不一定成比例，∴矩形不一定相似，故不正確；B.∵等腰梯形的邊不一定成比例，∴等腰梯形不一定相似，故不正確；；C.所有的等邊三角形都相似，正確；D.∵含有角的等腰三角形的邊不一定成比例，∴含有角的等腰三角形不一定相似，故不正確；故選C.4.(2023華二紫雙10月考5）如果線段b是線段a，c的比例中項，a：c=4：9，那么下列結論中正確的是（）A.a：b=4：9;B.b：c=2：3;C.a：b=3：2;D.b：c=3：2答案:B解析：解：∵a：c=4：9，∴9a=4c，∴．∵線段b是線段a，c的比例中項，∴a：b=b：c，即b2=ac=c2=a2，∴b=c=a，∴a：b=c：c=2：3，∴b：c=a：b=2：3；故選：B．5.(2023華二紫雙10月考1）已知：在一張比例尺為1：2000的地圖上，量得A、B兩地的距離是5cm，那么A、B兩地的實際距離是（）A.50m B.100m C.500m D.1000m答案:B；解析：解：設A，B兩地的實際距離為xcm,由題意得：，解：x=10000，又10000cm=100m所以A，B兩地的實際距離是100m，故選B.6.（青浦2020一模5）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結論一定正確的是（）A.； B.； C.； D.．答案:A；解析：解：∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，A選項正確；∵GE∥BD，∴，∵GF∥AC，∴，∴，B選項錯誤；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴，∴，C選項錯誤；∵GE∥BD，∴，D選項錯誤；故選：A.7.（奉賢2019期中1）已知，下列說法中，錯誤的是（）A. B. C. D.答案:C；解析：解：A、根據合比性質，由，得，故A正確；B、根據合比性質，由，得，故B正確；C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故C錯誤；D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故該選項正確.故選C．8.（閔行2020期末2）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是()A. B. C. D.答案:A；解析：解：∵點P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即，故A正確，B、C錯誤；，故D錯誤；故答案選A.9.（奉賢2019期中5）已知線段a,b,c求線段x,使ac=bx,下列作法正確的是（）A.B.C.D.答案:C；解析：解：由A得，即bc=ax；由B得，，即bc=ax；由C得，，即ac=bx；

由D得，，即ab=cx．故選：C．10.(2023新竹園9月考3）如圖，正方形ABCD中，E，F分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是A. B. C. D.答案:C；解析：解：如圖作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四邊形ANFD是平行四邊形，∵∠D=90°，∴四邊形ANFD是矩形，∵AE=3DE，設DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴，故選C．11.（崇明2020一模7）已知，那么___________．答案:解析：解:∵，∴x＝,∴．故答案為：．12.（奉賢2019期中8）已知點P是線段AB的黃金分割點，AB=4厘米，則較短線段AP的長是______厘米．答案:；解析：解：∵點P是線段AB的黃金分割點，∴較長線段BP=×4=2-2（厘米），∴較短線段AP=4-（2-2）=（厘米），故答案為．13.(2023進才北10月考7）在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實際距離為km．答案:96；解析：解：設AB兩地實際距離為，根據題意得：，解得：（cm），∴AB兩地實際距離為96km.14．（浦東新區2020一模7）已知x＝3y，那么＝．答案:；解析：解：∵x＝3y，∴＝．故答案為：．15.（奉賢2019期中7）已知線段a=4cm,b=9cm,且線段a是線段b和線段c的比例中項，則線段c是_________．答案:；解析：解：∵c是線段a，b的比例中項，∴a2=bc，∵a=4cm，b=9cm，∴42=9c，∴c=cm．16.(2023進才北10月考8）線段a是線段b，c的比例中項，且b=4cm，c=9cm，則a=____________cm答案:6；解析：解：由題意得，a2=bc，∵b=4cm，c=9cm，∴a2=36，∴a=6，a=-6（舍去）；故答案為：6．17.(2023華二紫雙10月考13）如圖，已知舞臺AB長10米，如果報幕員從點A出發站到舞臺的黃金分割點P處，且，那么報幕員應走________米報幕；答案:；解析：解：根據黃金分割的定義可知且AB=10，∴PB=5(-1)，又∵，∴AP=AB-AP=10-5(-1)=15-5.18.（嘉定區2019期中8）已知點P是線段AB上的點，且BP2＝AP?AB，如果AB＝2cm，那么BP＝cm．答案:；解析：解：∵點P在線段AB上，BP2＝AP?AB，∴點P為線段AB的黃金分割點，AB＝2cm，∴BP＝2×＝（）cm.19.（川中南2019期中13）如圖，中，已知，F是CD的中點，則________答案:；解析：解：延長BF交AD延長線于H，因為F是CD中點，易知BC=DH=AD，因為所以BE：BC=1：4，BE：AH=1：8，因為BC//AD，故GE：AG=BE：AH=1：8.20.（奉賢2019期中11）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，點G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC=______.答案:12；解析：解：本題主要考查的是三角形的重心．延長AG交BC于點D，根據重心的性質可知點D為BC的中點，且AG=2DG=4，則AD=6，再根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解．延長AG交BC于點D．∵點G是△ABC的重心，AG=4，∴點D為BC的中點，且AG=2DG=4，∴DG=2，∴AD=AG+DG=6，∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊的中線，∴B