7下期末復習專題

一角度問題(壓軸)

⑥專練習

1.(2016春?蘇州期中)如圖①所示的圖形像我們常見的學習用品-圓規，我們不妨把這

樣的圖形叫做“規形圖”，那么在這樣一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？

下面就請你發揮聰明才智，解決以下問題：

(1)觀察“規形圖”，試探究NBDC與/A、NB、NC之間的關系，并說明理由；

(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖②，把一塊三角尺XYZ放置在aABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好

經過點B、C,若NA=50°,則NABX+/ACX=°；

②如圖③，DC平分NADB,EC平分NAEB,若NDAE=50°,ZDBE=130°,求N

DCE的度數；

③如圖①，NABD、NACD的10等分線分別相交于點Gi、G2、…、G9,若NBDC=140°,

ZBGiC=77°,求NA的度數.

2.學習幾何的一個重要方法就是要學會抓住基本圖形，讓我們來做一次研究性學習

(1)如圖①所示的圖形，像我們常見的學習用品一一圓規，我們常把這樣的圖形叫做‘'規

形圖”.請你觀察“規形圖”，試探究NBOC與/A,ZB,NC之間的關系，并說明理

由；

(2)如圖②，若AABC中，BO平分NABC,CO平分NACB,且它們相交于點O,試

探究/BOC與NA的關系；

(3)如圖3,若aABC中，ZABO=AzABC,NACO=』NACB,且BO,CO相交

33

于點0,請直接寫出NBOC與NA的關系式為

3.（2019春?東臺市期中）（1）如圖（1）,在AABC中，NA=62°,NABD=20°,

ZACD=35",求NBDC的度數.

（2）圖（1）所示的圖形中，有像我們常見的學習用品--圓規.我們不妨把這樣圖形

叫做“規形圖”，觀察“規形圖”圖（2）,試探究NBDC與NA、NB、NC之間的關

系，并說明理由.

（3）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖（3）,把一塊三角尺XYZ放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰

好經過點B、C,若NA=50°,則NABX+NACX=°.

②如圖（4）DC平分NADB,EC平分/AEB,若/DAE=50°,ZDBE=130°,求N

DCE的度數.

圖3)圖（2）圖（3）圖（4）

4.(2022春?浚縣期末)(1)如圖1,在NBAC內部有一點P,連結BP,CP.求證：Z

BPC=Z1+ZBAC+Z2；

(2)如圖2,在五角星中，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=；并證明你的結論；

(3)如圖3,如果在NBAC內部有兩個向上突起的角，請你根據前面的結論猜想N1,

Z2,N3,Z4,N5,/BAC之間有什么等量關系，直接寫出結論.

5.（2020?黃州區校級自主招生）“轉化”是數學中的一種重要思想，即把陌生的問題轉化

成熟悉的問題，把復雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題.

（1）請你根據已經學過的知識求出下面星形圖（1）中/A+NB+/C+ND+/E的度數；

（2）若對圖（1）中星形截去一個角，如圖（2）,請你求出NA+NB+NC+/D+NE+

/F的度數；

（3）若再對圖（2）中的角進一步截去，你能由題（2）中所得的方法或規律，猜想圖3

中的NA+NB+NC+/D+/E+/F+/G+ZH+/M+NN的度數嗎？只要寫出結論，不需

要寫出解題過程）

6.（2008?莆田）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系.

（1）如圖1,若AB〃CD,點P在AB、CD外部，則有NB=NBOD,又因/80口是4

POD的外角，故NBOD=/BPD+/D.得/BPD=/B-/D.將點P移至ijAB、CD內

部，如圖2,以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則NBPD、NB、ZD

之間有何數量關系？請證明你的結論；

（2）在如圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q,如圖

3,則NBPD、NB、ZD,NBQD之間有何數量關系？（不需證明）；

（3）根據（2）的結論求如圖4中NA+NB+NC+/D+NE的度數.

7.(2020春?福山區期中)直線在同一平面內有平行和相交兩種位置關系，線段首尾連接

可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關系，今天我們就來探究一下

這些奇妙的圖形吧！

【問題探究】

(1)如圖1,請直接寫出NA+NB+NC+/D+NE=；

(2)將圖1變形為圖2,NA+/DBE+NC+ND+NE的結果如何？請寫出證明過程；

(3)將圖1變形為圖3,則NA+NB+NC+ND+/E的結果如何？請寫出證明過程.

【變式拓展】

(4)將圖3變形為圖4,已知/BGF=160°,那么/A+/B+/C+/D+/E+/F的度數

是

8.(2020秋?大觀區校級期中)如圖1,在綠茵場上，足球隊員帶球進攻，為提高進球成功

率，總是盡力沖向球門AB.

(1)如圖1,在D點的射門角度/ADB與在C點的射門角度/ACB哪個大？請說明理

由.

(2)若測得Nl=30°,/2=20°,/ACB=50°,請計算出球員在D點射門的角度/

ADB是多少度.

(3)通過上面的計算你能得到關于/I、N2、/ACB與/ADB四個三角形之間的等量

關系嗎？直接寫出這個結論并利用這個結論，計算圖2五角星中五個角NA+NB+/C+

ND+/E的和.

(4)請寫出圖3中六個角NA,ZB,NC,ZEDC,ZE,NAFE之間的一個等量關系,

并利用(3)的結論進行證明.

9.(2022春?漢陽區期末)當光線經過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角

對應相等例如：在圖①、圖②中，都有/1=/2,N3=/4.設鏡子AB與BC的夾角/

ABC=a.

(1)如圖①，若a=90°,判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關系，并說明理由.

(2)如圖②，若90°<a<180°,入射光線EF與反射光線GH的夾角/FMH=0.探

索a與0的數量關系，并說明理由.

(3)如圖③，若a=120°,設鏡子CD與BC的夾角NBCD=y(90°<y<180°),

入射光線EF與鏡面AB的夾角/I=m(00<m<90"),已知入射光線EF從鏡面AB

開始反射，經過n(n為正整數，且n<3)次反射，當第n次反射光線與入射光線EF平

行時，請直接寫出丫的度數.(可用含有m的代數式表示)

10.(1)如圖①，有一塊直角三角尺XYZ放置在4ABC上，恰好三角尺XYZ的兩條直角

邊XY、

XZ分別經過點B、C,直角頂點X在4ABC的內部，若NA=30°,則/XBC+/XCB=

90°,ZABX+ZACX=60°.

(2)如圖②，已知/A=30°,改變直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的兩條直角

邊XY、XZ仍然分別經過點B、C.直角頂點X還在4ABC的內部.那么NABX+NACX

的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出/ABX+NACX的大小.

知識集結

1.平行線的性質

1＞平行線性質定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補..簡單說成：兩直線平行，同旁

內角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

2.三角形內角和定理

(1)三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內角，且

每個內角均大于0°且小于180°.

(2)三角形內角和定理：三角形內角和是180°.

(3)三角形內角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角.在

轉化中借助平行線.

(4)三角形內角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數.①直接根據兩已知角求第三個角;②依據三角形中角的關系，

用代數方法求三個角；③在直角三角形中，己知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

3.三角形的外角性質

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

(2)三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角.

(3)若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去.

(4)探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角

形的外角.

4.三角形綜合題

三角形綜合題.

5.多邊形內角與外角

(1)多邊形內角和定理：(n-2)780°(n23且n為整數)

此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發引出(n-3)條對角線，將n邊形分割為

(n-2)個三角形，這(n-2)個三角形的所有內角之和正好是n邊形的內角和.除此方法

之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉化為三角形，這也

是研究多邊形問題常用的方法.

(2)多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數是幾，其外角

和永遠為360°.

②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論：外角和=180°n-(n-2)-180°=360°.

參考答案與試題解析

1.（2016春?蘇州期中）如圖①所示的圖形像我們常見的學習用品-圓規，我們不妨把這

樣的圖形叫做“規形圖”，那么在這樣一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？

下面就請你發揮聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規形圖”，試探究/BDC與/A、NB、NC之間的關系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖②，把一塊三角尺XYZ放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好

經過點B、C,若NA=50°,則NABX+NACX=40°；

②如圖③，DC平分NADB,EC平分/AEB,若/DAE=50°,ZDBE=130°,求/

DCE的度數；

③如圖①，NABD、NACD的10等分線分別相交于點Gi、G2、…、G9,若NBDC=140°,

【分析】（1）根據題意觀察圖形連接AD并延長至點F,由外角定理可知，一個三角形

的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，則容易得到/BDC=NBDF+/CDF；

（2）①由（1）的結論可得/ABX+/ACX+NA=/BXC,然后把/A=50°,ZBXC

=90°代入上式即可得到NABX+NACX的值.

②結合圖形可得NDBE=/DAE+/ADB+/AEB,代入/DAE=50°,NDBE=130°

即可得到/ADB+NAEB的值，再利用上面得出的結論可知NDCE=」（NADB+/AEB）

2

+ZA,易得答案.

③由（2）的方法，進而可得答案.

【解答】解：（1）連接AD并延長至點F,

由外角定理可得/BDF=/BAD+/B,NCDF=/C+/CAD；

且NBDC=/BDF+NCDF及/BAC=ZBAD+ZCAD；

相加可得/BDC=NA+/B+/C；

(2)①由(1)的結論易得：ZABX+ZACX+ZA=ZBXC,

又因為NA=50°,ZBXC=90°,

所以NABX+/ACX=90°-50°=40°；

故答案是：40；

②由(1)的結論易得/DBE=NA+/ADB+/AEB,易得NADB+NAEB=80°；

而/DCE”(ZADB+ZAEB)+ZA,

2

代入/DAE=50°,NDBE=130°,易得/DCE=90°；

(3)ZBG1C=J^(ZABD+ZACD)+ZA,

10

VZBGiC=77°，

...設NA為x°,

：/ABD+/ACD=140°-x°

.?.JL(140-x)+x=77,

10

14-J-x+x=77,

10

x=70

???NA為70°.

【點評】本題考查三角形外角的性質，三角形的內角和定理的應用，能求出NBDC=N

A+NB+NC是解答的關鍵，注意：三角形的內角和等于180°,三角形的一個外角等于

和它不相鄰的兩個內角的和.

2.學習幾何的一個重要方法就是要學會抓住基本圖形，讓我們來做一次研究性學習

(1)如圖①所示的圖形，像我們常見的學習用品一一圓規，我們常把這樣的圖形叫做“規

形圖”.請你觀察“規形圖”，試探究NBOC與/A,ZB,NC之間的關系，并說明理

由；

(2)如圖②，若^ABC中，BO平分/ABC,CO平分NACB,且它們相交于點O,試

探究/BOC與/A的關系；

(3)如圖3,若aABC中，ZABO=AzABC,ZACO=AZACB,且BO,CO相交

33

于點O,請直接寫出NBOC與NA的關系式為ZBOC=60°+2/A.

3

【考點】三角形內角和定理.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】（1）NBOH是aABO的外角，則NBOH=NBAH+/B；

（2）利用三角形內角和定理和外角性質即可得到答案；

（3）利用外角性質即可得到答案.

【解答】解：（1）結論：ZBOC-ZBAC+ZB+ZC,

理由：連接AO,并延長AO到H,

：NBOH=NBAH+NB,/COH=/CAH+NC,

ZBOC=ZBAH+ZB+ZCAH+ZC=ZBAC+ZB+ZC.

(2)結論：NBOC=90°+AZA.

2

：BO平分/ABC,CO平分/ACB,

.\ZOBC=AZABC,ZOCB=AZACB.

22

.".ZBOC=180°-A(ZABC+ZACB)

2

=180°-A(180°-NA)

=90°+AZA.

(3)由(1)可證：ZBOC=ZABO+ZA+ZACO.

VZABO=AZABC,ZACO=AZACB,

33

AZBOC=AZABC+ZA+AZACB=1(ZABC+ZACB)+ZA.

333

又；NA+/ABC+/ACB=180°,

AZABC+ZACB=180°-ZA.

.\ZBOC=A（180°-ZA）+ZA=60°+2/A.

33

故答案為：ZBOC=60°+.2.ZA.

3

【點評】本題考查三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和、角平分線的定義，掌

握三角形的外角定理是解題關鍵.

3.（2019春?東臺市期中）（1）如圖（1）,在AABC中，ZA=62°,ZABD=20°,

NACD=35°,求ZBDC的度數.

（2）圖（1）所示的圖形中，有像我們常見的學習用品--圓規.我們不妨把這樣圖形

叫做“規形圖”，觀察“規形圖”圖（2）,試探究/BDC與NA、/B、NC之間的關

系，并說明理由.

（3）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：

①如圖（3）,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰

好經過點B、C,若/A=50°,則NABX+/ACX=40°.

②如圖（4）DC平分NADB,EC平分NAEB,若/DAE=50°,ZDBE=130°,求N

DCE的度數.

【考點】三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【分析】（1）先根據三角形內角和定理求出NACB+/ABC的度數，由NABD=20°,

NACD=35°求出/DBC+NDCB的度數，再根據三角形內角和等于180°即可得出結

論；

（2）連接BC,在AABC中由三角形內角和定理可得出NA+NABD+/ACD=180°-

ZDBC-ZBCD,同理，在△DBC中/BDC=180°-ZDBC-ZBCD,由此即可得出

結論；

（3）①先根據AXBC中，ZX=90°可知/XBC+/XCB=90°,再根據aABC中，Z

A=50°即可得出/ABC+NACB=130°,由此即可得出/ABX+/ACX的度數；

②先根據/DAE=50°,ZDBE=130°得出NADB+/AEB=80°,再由DC平分N

ADB,EC平分/AEB可知NADC=』NADB,ZAEC-AZAEB,故可得出NADC+

22

ZAEC=」（/ADB+/AEB）=40°，/DCE=/A+/ADC+NAEC=50°+40°=90°.

2

【解答】解：（1）在aABC中，

VZA+ZABC+ZACB=180°,

，/ABC+/ACB=180°-62°=118°,

VZABD=20°,ZACD=35°,

.,.ZDBC+ZDCB=118°-20°-35°=63°

.".ZBDC=180°-(ZDBC+ZDCB)=117°；

(2)ZBDC=ZA+ZB+ZC.

理由：連接BC

在AABC中，

VZA+ZABD+ZDBC+ZACD+ZBCD=180°,

ZA+ZABD+ZACD=1800-ZDBC-ZBCD,

在△DBC中，

VZBDC+ZDBC+ZBCD=180°,

...NBDC=180°-ZDBC-ZBCD,

二ZBDC=ZA+ZB+ZC；

⑶①;△XBC中，ZX=90°,

.?./XBC+NXCB=90°,

?.?△ABC中，ZA=50°,

.".ZABC+ZACB=130°,

.".ZABX+ZACX=130°-90°=40°.

故答案為：40；

(2)VZDAE=50°,ZDBE=130°,

，/ADB+/AEB=80°,

：DC平分NADB,EC平分NAEB,

AZADC=AZADB,ZAEC=AZAEB,

22

；./ADC+/AEC=L(NADB+/AEB)=40°,

2

.?./DCE=/A+NADC+NAEC=50°+40°=90°.

BC

【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的

關鍵.

4.(2022春?浚縣期末)(1)如圖1,在/BAC內部有一點P,連結BP,CP.求證：Z

BPC=Z1+ZBAC+Z2；

(2)如圖2,在五角星中，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE^180°；并證明你的結論；

(3)如圖3,如果在NBAC內部有兩個向上突起的角，請你根據前面的結論猜想N1,

Z2,N3,Z4,Z5,/BAC之間有什么等量關系，直接寫出結論.

【考點】多邊形內角與外角；三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】（1）連接AP并延長，再根據三角形內角與外角的性質即可求出NBPC=N1+

ZA+Z2；

（2）先把五角星五個“角”歸結到一個三角形中，再根據三角形內角和定理解答即可；

（3）分別連接AP、AD、AG并延長，再根據三角形外角的性質解答即可.

【解答】解：如圖，

(1)如圖1,連接AP并延長，則/3=/2+/BAP,N4=/1+/PAC,

:.ZBPC=Z3+Z4=Z2+ZBAP+Z1+ZPAC,

VZBAP+ZPAC=ZBAC,

故NBPC=N1+NBAC+N2；

（2）如圖2,利用（1）中的結論，可得/1=/A+NC+ND,

VZ2=ZB+ZE,

：N1+/2=18O°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

故答案為：180°；

（3）Z4+Z5=Z1+Z2+Z3+ZBAC,

如圖3,連接AP、AD、AG并延長，

同（1）由三角形內角與外角的性質可求出N4+/5=/l+N2+N3+NBAC.

【點評】本題考查的是三角形外角的性質及三角形內角和定理，解答此題的關鍵是構造

出三角形，利用三角形內角與外角的關系求解.

5.（2020?黃州區校級自主招生）“轉化”是數學中的一種重要思想，即把陌生的問題轉化

成熟悉的問題，把復雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題.

（1）請你根據已經學過的知識求出下面星形圖（1）中/A+NB+NC+ND+/E的度數；

（2）若對圖（1）中星形截去一個角，如圖（2）,請你求出/A+/B+NC+ND+/E+

/F的度數；

（3）若再對圖（2）中的角進一步截去，你能由題（2）中所得的方法或規律，猜想圖3

中的NA+/B+/C+/D+/E+NF+/G+/H+/M+/N的度數嗎？只要寫出結論，不需

要寫出解題過程）

【考點】多邊形內角與外角；三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【分析】（1）根據三角形外角的性質和三角形內角和定理可得/A+NB+NC+ND+NE

的度數；

（2）根據三角形外角的性質和四邊形內角和等于360°可得NA+/B+/C+ND+NE+N

F的度數；

（3）根據圖中可找出規律NA+/B+NC+ND+NE=180°,并且每截去一個角則會增加

180度，由此即可求出答案.

【解答】解：（1）VZ1=Z2+ZD=ZB+ZE+ZD,Z1+ZA+ZC=180°,

.,.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°；

（2）；Nl=/2+/F=/B+/E+NF,Zl+ZA+ZC+ZD=360°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°；

（3）根據圖中可得出規律NA+NB+NC+/D+/E=180°,每截去一個角則會增加180

度，

所以當截去5個角時增加了180X5度，

則NA+NB+NC+ND+/E+NF+/G+/H+/M+NN=180°X5+180°=10800.

【點評】本題主要考查了多邊形的內角與外角之間的關系.有關五角星的角度問題是常

見的問題，其5個角的和是180度.解此題的關鍵是找到規律利用規律求解.

6.（2008?莆田）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系.

（1）如圖1,若AB〃CD,點P在AB、CD外部，則有NB=NBOD,又因/80口是4

POD的外角，故NBOD=/BPD+ND.得NBPD=NB-ND.將點P移至ijAB、CD內

部，如圖2,以上結論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則/BPD、NB、ZD

之間有何數量關系？請證明你的結論；

（2）在如圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD于點Q,如圖

3,則/BPD、ZB,ZD.NBQD之間有何數量關系？（不需證明）；

（3）根據（2）的結論求如圖4中NA+/B+NC+ND+/E的度數.

【考點】平行線的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【分析】（1）延長BP交CD于點E,根據AB〃CD得出/B=NBED,再由三角形外

角的性質即可得出結論；

（2）連接QP并延長，由三角形外角的性質得出NBPE=NB+/BQE,ZDPE=ZD+Z

DQP,由此可得出結論；

（3）由（2）的結論得：ZAFG-ZB+ZE.ZAGF-ZC+ZD.再根據NA+/AFG+

ZAGF=180°即可得出結論.

【解答】解：（1）不成立，結論是NBPD=/B+/D.

延長BP交CD于點E,

：AB〃CD,

.\ZB=ZBED,

又：NBPD=ZBED+ZD,

.".ZBPD=ZB+ZD；

（2）結論：ZBPD=ZBQD+ZB+ZD.

連接QP并延長，

,/ZBPE是ABPCJ的外角，ZDPE是APDC3的外角，

，NBPE=NB+NBQE,NDPE=/D+/DQP,

AZBPE+ZDPE=ZB+ZD+ZBQE+ZDQP,即/BPD=NBQD+NB+ND；

（3）由（2）的結論得：ZAFG=ZB+ZE.ZAGF=ZC+ZD.

又；NA+/AFG+/AGF=180°

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

（或由（2）的結論得：/AGB=/A+/B+/E且NAGB=NCGD,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

圖3

AB

【點評】本題考查的是平行線的性質，根據題意作出輔助線，構造出三角形，利用三角

形外角的性質求解是解答此題的關鍵.

7.(2020春?福山區期中)直線在同一平面內有平行和相交兩種位置關系，線段首尾連接

可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關系，今天我們就來探究一下

這些奇妙的圖形吧！

【問題探究】

(1)如圖1,請直接寫出NA+NB+NC+ND+NE=180°；

(2)將圖1變形為圖2,/A+/DBE+/C+/D+/E的結果如何？請寫出證明過程；

(3)將圖1變形為圖3,則NA+NB+/C+/D+/E的結果如何？請寫出證明過程.

【變式拓展】

(4)將圖3變形為圖4,已知/BGF=160°,那么/A+/B+NC+ND+NE+/F的度數

是320°.

圖/

【考點】多邊形內角與外角；三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；運算能力.

【分析】(1)根據三角形外角的性質，得到N2=NC+NE,Z1=ZA+Z2,根據三角

形內角和等于180。即可求解.

(2)根據三角形外角的性質，得到NABE=NC+NE,ZDBC=ZA+ZD,即可證明此

結論.

(3)根據三角形外角的性質，得到NDFG=NB+NE,ZFGD=ZA+ZC,即可證明此

結論；

(4)根據三角形外角的性質，得到NBGF=/B+N2=160°,Z2=ZD+ZF,ZBGF

=Nl+/E=160°,Zl=ZA+ZC,即可得到結論.

【解答】(1)解：如圖1,VZ2=ZC+ZE,Z1=ZA+Z2,

/.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=Zl+ZB+ZD=180°,

故答案為：180°；

(2)證明：VZABE=ZC+ZE,ZDBC=ZA+ZD,

ZABE+ZDBE+ZDBC=180°,

，ZA+ZDBE+ZC+ZD+ZE=180°

二將圖①變形成圖②NA+NDBE+NC+/D+/E仍然為180°；

(3)證明：：在4FGD中，ZDFG+ZFGD+ZD=180",

ZDFG=ZB+ZE,ZFGD=ZA+ZC,

.,.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°,

將圖①變形成圖③，則NA+/B+NC+ND+NE還為180°；

(4)解：：NBGF=/B+/2=160°,N2=/D+/F,

.".ZB+ZD+ZF=160°,

?.,/BGF=/l+/E=160°,Zl-ZA+ZC,

.\ZA+ZC+ZE=160o,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=320°,

故答案為：320°.

【點評】此題主要考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，難度不大，屬于基礎題.

8.(2020秋?大觀區校級期中)如圖1,在綠茵場上，足球隊員帶球進攻，為提高進球成功

率，總是盡力沖向球門AB.

(1)如圖1,在D點的射門角度NADB與在C點的射門角度NACB哪個大？請說明理

由.

(2)若測得Nl=30°,Z2=20°,ZACB=50°,請計算出球員在D點射門的角度N

ADB是多少度.

(3)通過上面的計算你能得到關于N1、/2、NACB與/ADB四個三角形之間的等量

關系嗎？直接寫出這個結論并利用這個結論，計算圖2五角星中五個角/A+NB+/C+

ND+/E的和.

(4)請寫出圖3中六個角/A,ZB,/C,ZEDC,ZE,/AFE之間的一個等量關系，

并利用(3)的結論進行證明.

A

A

球門

【考點】三角形內角和定理.

【專題】三角形；推理能力.

【分析】(1)易知，ZDAB<ZCAB<ZCBA,利用三角形內角和定理，即可證明；

(2)由三角形外角和定理，可得N4=/l+/3,/5=/2+/6,而N3+/6=/ACB,

Z4+Z5=ZADB,進而可求出NADB的值；

(3)易得/l+/ACB+/2=/ADB,利用三角形外角和定理可證明，并能求出/A+/

B+NC+ND+NE的和；

(4)連接BE,利用(3)中的結論，即可證明.

【解答】解：(1)VZADB+ZABD+ZDAB=180°,ZACB+ZABC+ZCAB=180°,

而NDAB<NCAB</CBA,

.".ZADB>ZACB；

(2)VZADB+ZABD+ZADAB=180°,NACB+NABC+/CAB=180°,

.,.Zl+ZABD+ZDAB+Z2+ZACB=180i,,

N1+/ACB+/2=ZADB,

.\ZADB=30°+50°+20°=100°；

(3)結論：Z1+ZACB+Z2=ZADB,

由以上結論得到NA+NC+ND=/CFD,

VZB+ZE+ZBFE=180°,/CFD=NBFE,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°；

(4)6個角的關系是：ZA+ZB+ZC+ZE=ZEDC+ZAFE,證明如下，

如圖，連接BE,由(3)結論有，

ZAPE=ZABE+ZA+ZFEB,ZEDC=ZEBC+ZBED+ZC,

VZB=ZABE+ZEBC,ZE=ZFEB+ZBED,

NA+/B+/C+NE=ZEDC+ZAFE.

【點評】本題考查了三角形外角和定理的應用以及推理能力，把證明的結論進行應用是

解本題的關鍵，綜合性較強，難度較大.

9.【考點】平行線的性質；列代數式.

【專題】綜合題；壓軸題；分類討論；線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運算能

力；推理能力.

【分析】（1）在4BEG中，/2+/3+a=180°,a=90°,可得/2+/3=90°,根