兩條異面直線所成的角

一、素質教育目標

(-)知識教學點

1.兩異面直線所成角的定義及兩異面直線互相垂直的概念.

2.兩異面直線的公垂線和距離的概念及兩異面直線所成角及距離的求法.

(二)能力訓練點

1.利用轉化的思想，化歸的方法掌握兩異面直線所成角的定義及取值范圍,

并體現了定義的合理性.

2.利用類比的方法掌握兩異面直線的公垂線和距離等概念，應用在證題中

體現了嚴格的邏輯思維，并會求兩條異面直線所成角與距離.

(三)德育滲透點

進一步培養學生的空間想象能力，以及有根有據、實事求是等嚴肅的科學態度和品質.

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1.教學重點：兩異面直線所成角的定義；兩異面直線的公垂線及距離的概

念；兩異面直線所成角和距離的求法.

2.教學難點：兩異面直線所成角及距離的求法.

3.教學疑點：因為兩條異面直線既不相交，但又有所成的角，這對于初學

立體兒何的學生來說是難以理解的.講解時，應首先使學生明了學習異面直線所

成角的概念的必要性.

三、課時安排

1課時.

四、教與學的過程設計

(-)復習提問引入課題

師：上新課前，我們先來回憶：平面內兩條相交直線一般通過什么來反映它們之間的

相互位置關系？

生：通過它們的夾角.如圖1一46,a、b的位置關系與a'、b'的位置關系是

不一樣的，a、b的夾角比a，、b，的夾角來的小.

師：那么兩條異面直線是否也能用它們所成的角來表示它們之間相互位置的不同狀

況.例如要表示大橋上火車行駛方向與橋下輪船航行方向間的關系，就要用到兩條異面直線

所成角的概念.

圖1-46

（二）異面直線所成的角

師：怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉化為用共面直線所成的角來表示呢?

生：可以把異面直線所成角轉化為平面內兩直線所成角來表示.如圖1-47,異面直

線a、b,在空間中任取一點0,過點0分別引a'〃a,b'//b,則a',b'所

成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.

師：針對這個定義，我們來思考兩個問題.

問題1：這樣定義兩條異而直線所成的角，是否合理？對空間中的任一點0

有無限制條件？

圖1-48

答：在這個定義中，空間中的一點是任意取的.若在空間中，再取一點0',過點0'

作a"〃a,b"〃b，根據等角定理，a"與b"所成的銳角（或直角）和a'與b'

所成的銳角（或直角）相等.即過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面

直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取

的點位置無關，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時，為

了方便，可將點0取在a或b上.

問題2：這個定義與平面內兩相交直線所成角是否有矛盾？

答：沒有矛盾.當a、b相交時，此定義仍適用，表明此定義與平面內兩相交

直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣.

師：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90°],若兩條異面直線所

成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直（出示模型：正方體）.例如,

正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱

相交，有的和這條棱異面.

（三）兩條異面直線的距離

圖1-49

師：（出示模型）觀察模型，思考問題：a與b,a'與b所成角相等，但是否就

表示它們之間的相互位置也一樣呢？

生：不是.它們之間的遠近距離不一樣，從而得到兩條異面直線的相互位置除了用它

們所成的角表示，還要用它們之間的距離表示.

師：那么如何表示兩條異面直線之間的距離呢？我們來回憶在平面幾何中，兩條平行

線間的位置關系是用什么來表示的？

生：用兩平行線間的距離來表示.

師：對.如圖1—50,要知道它們的距離，先要定義它們的公垂線，如圖1一

50：a〃b,a'〃b',c_La,c'_La',則a、b與a'、b'的公垂線分別為c、

c',且線段AB、A'B'的長度分別是a、b與a'、b'之間的距離.

對兩條異面直線的距離，我們可以應用類似的方法先定義它們的公垂線.

定義：和兩條異血直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.

師：根據定義，思考問題.

問題1:和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？

答：無數條.因為兩條異面直線互相垂直時，它們不一定相交，所以公垂線的定義要

注意“相交”的含義.

圖1-51

問題2：兩條異面直線的公垂線有幾條？

答：有且只有一條（出示正方體骨架模型），能和AA'、B'C'都垂直相交的只

有A，B'一條；能和AB與面A'C'內過點A'的直線都垂直相交的直線只有一

條AA'.

師：有了兩條異面直線公垂線的概念，我們就可以定義兩條異面生成的距離.

定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線

的距離.

如圖1-52中的線段AB的長度就是異面直線a、b間的距離.

下面，我們來完成練習和例題.

（四）練習

例設圖1一53中的正方體的棱長為a,（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA'

成異面直線？

（2）求直線BA'和CC'所成的角的大小.

(3)求異面直線BC和AA'的距離.

解：(1)?；A'平面BC',而點B,直線CC'都在平面BC'

內，且B孽CCJ

直線BA'與CC'是異面直線.

同理，直線C'D'、D'D、DC、AD、B'C'都和直線BA'成異面直線.

圖1-53

(2)VCCZ〃BB',

.?.BA'和BB'所成的銳角就是BA'和CC'所成的角.

；=NA'BBZ=45°,

.?.BA'和CC'所成的角是45°.

(3)VAB±AAZ,ABAAA'=A,

又???AB_LBC,ABHBC=B,

.?.AB是BC和AA'的公垂線段.

AB=a,

.?.BC和AA'的距離是a.

說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時要注意書寫

規范.

【練習】

(P.16練習1、3.)

1.(1)兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？

答：不一定，還可能異面.

（2）垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關系？