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文檔簡介
2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.2.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時,液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時,液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.3.設P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q4.在區間上隨機取一個數,使得成立的概率為等差數列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.115.設為自然對數的底數,函數,若,則()A. B. C. D.6.幻方最早起源于我國,由正整數1,2,3,……,這個數填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等,這個正方形數陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50507.在平面直角坐標系中,將點繞原點逆時針旋轉到點,設直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.8.設,是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則;其中真命題的個數為()A. B. C. D.9.已知函數,的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.10.設是虛數單位,復數()A. B. C. D.11.設函數(,為自然對數的底數),定義在上的函數滿足,且當時,.若存在,且為函數的一個零點,則實數的取值范圍為()A. B. C. D.12.復數的共軛復數在復平面內所對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,如果把這五個音階全用上,排成一個五個音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側,可排成______種不同的音序.14.某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點的游客數量情況,隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數,得到如下莖葉圖:由此可估計,全年(按360天計算)中,游客人數在內時,甲景點比乙景點多______天.15.如圖,四面體的一條棱長為,其余棱長均為1,記四面體的體積為,則函數的單調增區間是____;最大值為____.16.若雙曲線C:(,)的頂點到漸近線的距離為,則的最小值________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,點為半圓上一動點,若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.(1)求證:;(2)當時,求的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱錐中,側棱底面,,,,是棱的中點.(1)求證:平面;(2)若,點是線段上一點,且,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知數列滿足:對任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比數列,求的通項公式;(3)設,,求證:若成等差數列,則也成等差數列.20.(12分)已知中,,,是上一點.(1)若,求的長;(2)若,,求的值.21.(12分)中國古代數學經典《數書九章》中,將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點D),交PC于N(異于點C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個面的直角(只需寫出結論);若不是,請說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)隨著改革開放的不斷深入,祖國不斷富強,人民的生活水平逐步提高,為了進一步改善民生,2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策,其政策的主要內容包括:(1)個稅起征點為5000元;(2)每月應納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除;(3)專項附加扣除包括①贍養老人費用②子女教育費用③繼續教育費用④大病醫療費用等.其中前兩項的扣除標準為:①贍養老人費用:每月扣除2000元②子女教育費用:每個子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內容如下:級數一級二級三級四級每月應納稅所得額(含稅)不超過3000元的部分超過3000元至12000元的部分超過12000元至25000元的部分超過25000元至35000元的部分稅率3102025(1)現有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養老人,除此之外,無其它專項附加扣除.請問李某月應繳納的個稅金額為多少?(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現收集了某城市500名的公司白領的相關資料,通過整理資料可知,有一個孩子的有400人,沒有孩子的有100人,有一個孩子的人中有300人需要贍養老人,沒有孩子的人中有50人需要贍養老人,并且他們均不符合其它專項附加扣除(受統計的500人中,任何兩人均不在一個家庭).若他們的月收入均為20000元,依據樣本估計總體的思想,試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額的分布列與期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設可得,所以四棱錐的體積,應選答案B.2、B【解析】
根據空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因為,所以.故選:B【點睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎題.3、C【解析】
解:因為P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C4、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區間的長度以及使不等式成立的的范圍區間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區間長度為6,使得成立的的范圍為,區間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關幾何概型與等差數列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數列的通項公式,屬于基礎題目.5、D【解析】
利用與的關系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點睛】本小題主要考查函數值的計算,屬于基礎題.6、C【解析】
因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數的和相等,可得,即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數的和相等,所以階幻方對角線上數的和就等于每行(或每列)的數的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點睛】本題考查了數陣問題,考查了學生邏輯推理,數學運算的能力,屬于中檔題.7、A【解析】
設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導公式即可得到答案.【詳解】如圖,設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A【點睛】本題考查三角函數的定義及誘導公式,屬于基礎題.8、C【解析】
利用線線、線面、面面相應的判定與性質來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面,那么另一條也垂直于這個平面知①正確;當直線平行于平面與平面的交線時也有,,故②錯誤;若,則垂直平面內以及與平面平行的所有直線,故③正確;若,則存在直線且,因為,所以,從而,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關系,里面涉及到了相應的判定定理以及性質定理,是一道基礎題.9、D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數的解析式,又因為當時,,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,所以函數的最小正周期,則,所以,當時,,所以是函數的一條對稱軸,故選:D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數的周期性和對稱性.10、D【解析】
利用復數的除法運算,化簡復數,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復數,故選D.【點睛】本題主要考查了復數的除法運算,其中解答中熟記復數的除法運算法則是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.11、D【解析】
先構造函數,由題意判斷出函數的奇偶性,再對函數求導,判斷其單調性,進而可求出結果.【詳解】構造函數,因為,所以,所以為奇函數,當時,,所以在上單調遞減,所以在R上單調遞減.因為存在,所以,所以,化簡得,所以,即令,因為為函數的一個零點,所以在時有一個零點因為當時,,所以函數在時單調遞減,由選項知,,又因為,所以要使在時有一個零點,只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點睛】本題主要考查函數與方程的綜合問題,難度較大.12、D【解析】
由復數除法運算求出,再寫出其共軛復數,得共軛復數對應點的坐標.得結論.【詳解】,,對應點為,在第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復數的除法運算,考查共軛復數的概念,考查復數的幾何意義.掌握復數的運算法則是解題關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側,此時有種;②若“角”在中間,則不可能出現宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側;③若“角”在第二個或第四個位置上,則有種;綜上,共有種.故答案為:1.【點睛】本題主要考查利用排列知識解決實際問題,涉及分步計數乘法原理和分類計數加法原理的應用,意在考查學生分類討論思想的應用和綜合運用知識的能力,屬于基礎題.14、72【解析】
根據給定的莖葉圖,得到游客人數在內時,甲景點共有7天,乙景點共有3天,進而求得全年中,甲景點比乙景點多的天數,得到答案.【詳解】由題意,根據給定的莖葉圖可得,在隨機抽取了這兩個景點20天的游客人數中,游客人數在內時,甲景點共有7天,乙景點共有3天,所以在全年)中,游客人數在內時,甲景點比乙景點多天.故答案為:.【點睛】本題主要考查了莖葉圖的應用,其中解答中熟記莖葉圖的基本知識,合理推算是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.15、(或寫成)【解析】試題分析:設,取中點則,因此,所以,因為在單調遞增,最大值為所以單調增區間是,最大值為考點:函數最值,函數單調區間16、【解析】
根據雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點,再利用點到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個頂點,所以,解得,則,當且僅當時,取等號,所以的最小值為.故答案為:【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質、點到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗證等號成立的條件,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)分兩種情況討論:①兩切線、中有一條切線斜率不存在時,求出兩切線的方程,驗證結論成立;②兩切線、的斜率都存在,可設切線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯立,由可得出關于的二次方程,利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為,進而可得出結論;(2)求出點、的坐標,利用兩點間的距離公式結合韋達定理得出,換元,可得出,利用二次函數的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點在半圓上,則.①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時,可求得兩切線方程為,或,,此時;②當兩切線、的斜率都存在時,設切線的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據題意得、,,令,則,所以,當時,,當時,.因此,的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明,同時也考查了弦長的取值范圍的計算,考查計算能力,屬于中等題.18、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)的中點,連接,,證明四邊形是平行四邊形可得,故而平面;(2)以為原點建立空間坐標系,求出平面的法向量,計算與的夾角的余弦值得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點,連接,,,分別是,的中點,,,又,,,,四邊形是平行四邊形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以為原點,以,,為坐標軸建立空間直角坐標系,則,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中點,是的三等分點,,1,,,,,,,,,0,,,2,,設平面的法向量為,,,則,即,令可得,,,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面平行的判定,空間向量與直線與平面所成角的計算,屬于中檔題.19、(1)3;(2);(3)見解析.【解析】
(1)依據下標的關系,有,,兩式相加,即可求出;(2)依據等比數列的通項公式知,求出首項和公比即可。利用關系式,列出方程,可以解出首項和公比;(3)利用等差數列的定義,即可證出。【詳解】(1)因為對任意,都有,所以,,兩式相加,,解得;(2)設等比數列的首項為,公比為,因為對任意,都有,所以有,解得,又,即有,化簡得,,即,或,因為,化簡得,所以故。(3)因為對任意,都有,所以有,成等差數列,設公差為,,,,,由等差數列的定義知,也成等差數列。【點睛】本題主要考查等差、等比數列的定義以及賦值法的應用,意在考查學生的邏輯推理,數學建模,綜合運用數列知識的能力。20、(1)(2)【解析】
(1)運用三角形面積公式求出的長度,然后再運用余弦定理求出的長.(2)運用正弦定理分別表示出和,結合已知條件計算出結果.【詳解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故【點睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理,結合三角形熟練運用各公式是解題關鍵,此類題目是常考題型,能夠運用公式進行邊角互化,需要掌握解題方法.21、(1)證明見解析,是,,,,;(2)【解析】
(1)根據是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標系,設,由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個法向量,代入公式求解.【詳解】(1)因為是球的直徑,則,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據證明可知,四面體是鱉臑.它的每個面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點,,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標系,則,,,,.M為中點,從而.所以,設,則.由,得.由得,即.所以.設平面的一個法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題主要考查線面垂
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