2022年廣東省茂名市五大聯(lián)盟學(xué)校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.2.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時,液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時,液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.3.設(shè)P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q4.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.115.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.6.幻方最早起源于我國,由正整數(shù)1,2,3,……,這個數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等,這個正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.50507.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn),設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為,則等于()A. B. C. D.8.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則;其中真命題的個數(shù)為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.10.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時,.若存在,且為函數(shù)的一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,如果把這五個音階全用上,排成一個五個音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),可排成______種不同的音序.14.某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點(diǎn)的游客數(shù)量情況,隨機(jī)抽取了這兩個景點(diǎn)20天的游客人數(shù),得到如下莖葉圖:由此可估計(jì),全年(按360天計(jì)算)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多______天.15.如圖,四面體的一條棱長為,其余棱長均為1,記四面體的體積為,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____;最大值為____.16.若雙曲線C:(,)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為,則的最小值________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,點(diǎn)為半圓上一動點(diǎn),若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點(diǎn).(1)求證:;(2)當(dāng)時,求的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,是棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知數(shù)列滿足:對任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比數(shù)列,求的通項(xiàng)公式;(3)設(shè),,求證:若成等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列.20.(12分)已知中,,,是上一點(diǎn).(1)若,求的長;(2)若,,求的值.21.(12分)中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點(diǎn)O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點(diǎn)D),交PC于N(異于點(diǎn)C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)隨著改革開放的不斷深入,祖國不斷富強(qiáng),人民的生活水平逐步提高,為了進(jìn)一步改善民生,2019年1月1日起我國實(shí)施了個人所得稅的新政策,其政策的主要內(nèi)容包括:(1)個稅起征點(diǎn)為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除;(3)專項(xiàng)附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費(fèi)用②子女教育費(fèi)用③繼續(xù)教育費(fèi)用④大病醫(yī)療費(fèi)用等.其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為:①贍養(yǎng)老人費(fèi)用:每月扣除2000元②子女教育費(fèi)用:每個子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下:級數(shù)一級二級三級四級每月應(yīng)納稅所得額(含稅)不超過3000元的部分超過3000元至12000元的部分超過12000元至25000元的部分超過25000元至35000元的部分稅率3102025(1)現(xiàn)有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養(yǎng)老人,除此之外,無其它專項(xiàng)附加扣除.請問李某月應(yīng)繳納的個稅金額為多少?(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料,通過整理資料可知,有一個孩子的有400人,沒有孩子的有100人,有一個孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人,沒有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人,并且他們均不符合其它專項(xiàng)附加扣除(受統(tǒng)計(jì)的500人中,任何兩人均不在一個家庭).若他們的月收入均為20000元,依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,試估計(jì)在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額的分布列與期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.2、B【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因?yàn)椋?故選:B【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

解:因?yàn)镻={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C4、D【解析】

由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題目.5、D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛小⒚織l對角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛小⒚織l對角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.7、A【解析】

設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為,由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值,依題有,則,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖,設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上,所以依題有,則,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面,那么另一條也垂直于這個平面知①正確;當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時也有,,故②錯誤;若,則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線,故③正確;若,則存在直線且,因?yàn)椋裕瑥亩盛苷_.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系,里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理,是一道基礎(chǔ)題.9、D【解析】

由題,得,由的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因?yàn)楫?dāng)時,,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因?yàn)榈膱D象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.10、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對函數(shù)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因?yàn)椋裕詾槠婧瘮?shù),當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖冢裕裕喌茫裕戳睿驗(yàn)闉楹瘮?shù)的一個零點(diǎn),所以在時有一個零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時,,所以函數(shù)在時單調(diào)遞減,由選項(xiàng)知,,又因?yàn)椋砸乖跁r有一個零點(diǎn),只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題,難度較大.12、D【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.【詳解】,,對應(yīng)點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè),此時有種;②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè);③若“角”在第二個或第四個位置上,則有種;綜上,共有種.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用排列知識解決實(shí)際問題,涉及分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用,意在考查學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用和綜合運(yùn)用知識的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、72【解析】

根據(jù)給定的莖葉圖,得到游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)共有7天,乙景點(diǎn)共有3天,進(jìn)而求得全年中,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多的天數(shù),得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)給定的莖葉圖可得,在隨機(jī)抽取了這兩個景點(diǎn)20天的游客人數(shù)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)共有7天,乙景點(diǎn)共有3天,所以在全年)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多天.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用,其中解答中熟記莖葉圖的基本知識,合理推算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、(或?qū)懗?【解析】試題分析:設(shè),取中點(diǎn)則,因此,所以,因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是,最大值為考點(diǎn):函數(shù)最值,函數(shù)單調(diào)區(qū)間16、【解析】

根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線,頂點(diǎn),再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【詳解】由雙曲線C:(,,可得一條漸近線,一個頂點(diǎn),所以,解得,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值,注意驗(yàn)證等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

(1)分兩種情況討論:①兩切線、中有一條切線斜率不存在時,求出兩切線的方程,驗(yàn)證結(jié)論成立;②兩切線、的斜率都存在,可設(shè)切線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由可得出關(guān)于的二次方程,利用韋達(dá)定理得出兩切線的斜率之積為,進(jìn)而可得出結(jié)論;(2)求出點(diǎn)、的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合韋達(dá)定理得出,換元,可得出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(1)由于點(diǎn)在半圓上,則.①當(dāng)兩切線、中有一條切線斜率不存在時,可求得兩切線方程為,或,,此時;②當(dāng)兩切線、的斜率都存在時,設(shè)切線的方程為(、的斜率分別為、),,,,.綜上所述,;(2)根據(jù)題意得、,,令,則,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,.因此,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明,同時也考查了弦長的取值范圍的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)的中點(diǎn),連接,,證明四邊形是平行四邊形可得,故而平面;(2)以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算與的夾角的余弦值得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,,分別是,的中點(diǎn),,,又,,,,四邊形是平行四邊形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以為原點(diǎn),以,,為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中點(diǎn),是的三等分點(diǎn),,1,,,,,,,,,0,,,2,,設(shè)平面的法向量為,,,則,即,令可得,,,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定,空間向量與直線與平面所成角的計(jì)算,屬于中檔題.19、(1)3;(2);(3)見解析.【解析】

(1)依據(jù)下標(biāo)的關(guān)系,有,,兩式相加,即可求出;(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知,求出首項(xiàng)和公比即可。利用關(guān)系式,列出方程,可以解出首項(xiàng)和公比;(3)利用等差數(shù)列的定義,即可證出。【詳解】(1)因?yàn)閷θ我猓加校裕瑑墒较嗉樱獾茫唬?)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,因?yàn)閷θ我猓加校杂校獾茫郑从校喌茫矗颍驗(yàn)椋喌茫怨省#?)因?yàn)閷θ我猓加校杂校傻炔顢?shù)列,設(shè)公差為,,,,,由等差數(shù)列的定義知,也成等差數(shù)列。【點(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,綜合運(yùn)用數(shù)列知識的能力。20、(1)(2)【解析】

(1)運(yùn)用三角形面積公式求出的長度,然后再運(yùn)用余弦定理求出的長.(2)運(yùn)用正弦定理分別表示出和,結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理,結(jié)合三角形熟練運(yùn)用各公式是解題關(guān)鍵,此類題目是常考題型,能夠運(yùn)用公式進(jìn)行邊角互化,需要掌握解題方法.21、(1)證明見解析,是,,,,;(2)【解析】

(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進(jìn)而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個法向量,代入公式求解.【詳解】(1)因?yàn)槭乔虻闹睆剑瑒t,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.它的每個面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,則,,,,.M為中點(diǎn),從而.所以,設(shè),則.由,得.由得,即.所以.設(shè)平面的一個法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂

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