高中數學導數變化的快慢與變化率專題含答案

學校:班級:姓名:考號:

1.某運動物體的位移S（單位：米）關于時間t（單位：秒）的函數關系式為S=2t2—

1,則該物體在t=1秒時的瞬時速度為（）

A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒

2.某運動物體的位移s（單位：米）關于時間t（單位：秒）的函數關系式為s=2t?+

3則該物體在t=2秒時的瞬時速度為（）

A.10米/秒B.9米/秒C.7米/秒D.5米/秒

3.某物體的運動方程為s=5-2t2,則該物體在時間［1,2］上的平均速度為（）

A.-6B.2C.-2D.6

4.一個物體的位移s（米）與時間t（秒）的關系為s=2+12,則該物體在4秒

末的瞬時速度是（）

A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D.5米/秒

5.設函數y=f（x）,當自變量x由%o改變到刈）時，函數值的改變量4丫為（）

A.y0+AyB./（x0+zlx）C.f（Zx）D./（x0+Ax'）-/（x0）

6.函數/（x）=x2+c（cGR）在區間口,3］上的平均變化率為（）

A.2B.4C.cD.2c

7.已知函數/（%）=-/+2x,函數/（%）從2到2+4%的平均變化率為（）

A.2-AxB.—2—4%C.24-AxD.（21x）2—2-Ax

8.某物體運動的位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的函數關系為s=5-2d,則

該物體在《=2時的瞬時速度為（）

A.-3米/秒8.-8米/秒C.8米/秒D.3米/秒

9.已知函數/（x）在x=x0處可導，若碗丁刈3=1,則/（）=（）

AX

A.lB.iC.3D.-

34

10.設函數y=，（%）,當自變量無由&改變到與+△X時，函數值的改變量等于（）

A./(x0+△%)B./(x0)+△x

C./(x0)-△xD/(%o+△%)-/(x0)

12.已知函數/(x)在％=%o處可導，若‘9。"""4"；""-"")1，則r(a)=

()

A.lB.-C.3D.-

34

13.若函數f（久）=/一c在區間［l,m］上的平均變化率為4,則m等于—

14.一質點的運動方程為S=/+10（位移單位：771；時間單位：S）,則該質點在t=

3時的瞬時速度為m/s

15.函數f（x）=Inx在區間［l,e］上的平均變化率為.

試卷第2頁，總18頁

16.已知函數y=3L則函數在區間［1,3］上的平均變化率為

17.水波的半徑以2m/s的速度向外擴張，當半徑為5m時，這水波面的圓面積的瞬時膨

脹率是m2/s.

18.在高臺跳水運動中，ts時運動員相對水面的高度（單位：m）是九（t）=一4.912+

6.5t+10,高臺跳水運動員在t=Is時的瞬時速度為.

19.已知物體運動的方程為s（t）=vt-^gt2,則在t=1時的瞬時速度是.

20.已知某質點的位移s（單位：m）與時間t（單位：s,te［1,5］）的關系式為t=，+

\bt2+t（b>0）,則該質點的瞬時速度的最小值為m/s.（用含有b的式子表

示）

21.如果質點4按規律S=2t2+：運動，則在t=2秒的瞬時速度為.

22.勻速運動物體的運動方程是s（t）=s（）+%t,求物體在時刻t的瞬時速度.

23.一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離九（單位：m）與時間t（單位：s）

之間的函數關系為h=t2,求t=4s時此球在垂直方向的瞬時速度.

24.一種質量為1kg的物質，在化學分解中，經過時間t（單位：min）后，所剩的質量

m（單位：kg）與時間t的關系可以表示為m=e-2t.

（1）求當t從1變到2時，質量m關于t的平均變化率.并解釋它的實際意義；

（2）求m'（2）并解釋它的實際意義.

25.當h無限趨近于0時，（3+h?-32無限趨近于多少?空手無限趨近于多少？

hh

26.對于函數/（%）,若尸（出）存在，則當九無限趨近于0時，下列式子各無限趨近于何值？

⑴fg+（一〈））-fg）

-h

/h

27.求函數/(x)=——+比在％=3附近的平均變化率，并求出在該點處的導數.

28.求函數/'(x)=ax+b在區間［m,n］上的平均變化率.

29.如圖，煤場的煤堆形如圓錐，設圓錐母線與底面所成的角為a.(a為常數)

(2)傳輸帶以0.3m3/min往煤場送煤形成新的煤堆，求當半徑r=1.7m時的r對于時間

t的變化率.

(參考數據:兀取3.14,1.72=2.89,1.73?4.91,為計算方便可取3.14x2.89a9,

3.14x4.91?15)

X

30.已知函數/(%)=尤-14-6.

(1)若函數/(乃在點(l,f(l))處的切線平行于％軸，求a的值:

(II)求函數/(%)的極值.

31.已知函數/(x)=ax+lnx,其中a為常數，設e為自然對數的底數.

(1)當a=-l時，求/Q)的最大值；

(2)若f(x)在區間(0,e］上的最大值為-3,求a的值;

(3)若/'(x)在x€(1,e)有極值.函數g(x)=爐一%-2,證明：VxrG(1,e),3x0G

(l,e),使得g(&)=f(%)成立.

試卷第4頁，總18頁

參考答案與試題解析

高中數學導數變化的快慢與變化率專題含答案

一、選擇題(本題共計12小題，每題3分，共計36分)

1.

【答案】

D

【考點】

變化的快慢與變化率

導數的運算

【解析】

根據瞬時速度與導數的關系，先對S求導，再把t=1代入S，進行運算即可得解.

【解答】

解：：s=2t2-l,

s'=4t,

當t=1時，s'=4x1=4.

故選D.

2.

【答案】

B

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由s(t)=2/+3得s(t)=4t+l,

則物體在t=2秒時的瞬時速度。=s(=2=9米/秒.

故選B.

3.

【答案】

A

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據平均速度公式可得答案

【解答】

解：丫s=5—2t2,

物體在時間［1,2］上的平均速度為

'(5-2X22)-(5-2xl2).

v=-------------------=—6.

2-1

故選4

4.

【答案】

A

【考點】

變化的快慢與變化率

導數的運算

【解析】

此類運動問題中瞬時速度問題的研究一般借助函數的導數求其某一時刻的瞬時速度，

解答本題可以先求s=2+lot-t2的導數，再求得t=4秒時的導數，即可得到所求的

瞬時速度.

【解答】

解：:一個物體的位移s(米)和與時間t(秒)的關系為s=2+lot-￡2,

s'=10—2t,

：.該物體在4秒末的瞬時速度是10-2x4=2(米/秒).

故選4.

5.

【答案】

D

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據題意函數y=f(x),我們知道當自變量x變化時，因變量也要發生變化，因此把X。

和X。+△X分別代入函數y=/(%),然后相減求出△y.

【解答】

解：；自變量X由出改變到殉+dx,

當x=x0,y=fQo),

當x=x0+Ax,y=/(x0+Ax'),

4y=fd+4x)-/(x0).

故選D.

6.

【答案】

B

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據函數的平均變化率的公式？=求解即可.

【解答】

解."="3)~f⑴_(32+c)-(F+c)=

腑.Ax-3-1-2一?

故選B.

7.

【答案】

B

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

【解答】

解：???/(2)=-22+2x2=0,

試卷第6頁，總18頁

/(2+Ax)=-(2+4x)2+2(2+4%)

=-24%—(Ax')2,

f(2+3-f(2)=_2_2x.

Ax

故選B.

【答案】

B

【考點】

變化的快慢與變化率

導數的運算

【解析】

根據瞬時速度與導數的關系，先對s求導，再把t=2代入s'進行運算即可得解.

【解答】

解：s=5—2t2,

s'——4t,

當t=2時，s'=-4x2=-8.

即該物體在t=2時的瞬時速度為-8米/秒.

故選B.

9.

【答案】

D

【考點】

極限及其運算

導數的幾何意義

變化的快慢與變化率

【解析】

此題暫無解析

【解答】

f(xo+34x)-f(xo-4x)_]

解：Um

AX->0Ax

4nf(xo+3dx)-f(xo-4x)

m=1,

Ax->044X

limf(Xo+3/X)-f(Xo-4X)_1

4x->044x4

函數/'(X)在X=沏處可導,

/.(々)+34x)-/(x()-1

。)=lim

/QQ4Ax41

故選D.

10.

【答案】

D

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據題意函數y=f(x),我們知道當自變量x變化時，因變量也要發生變化，因此把出

和Xo+△x分別代入函數y=f(x),然后相減求出△y.

【解答】

解：；自變量比由改變到X。+△X,

當X=%,y=/(x0).

當x=xo+z\x,y=f(x0+Ax),

Ay=/(xo+△%)-/(xo).

故選。.

11.

【答案】

B

【考點】

函數的圖象

變化的快慢與變化率

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：:函數/(x)為奇函數，故排除A,C.

..(、_2xsinxcosx-sinzx

?/⑺=9/

???Y)=T<。，

故圖象在％=次的切線斜率為負.

故選B.

12.

【答案】

D

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據題意，由極限的性質分析可得limf(Xo+3A7-f(X°-AX)=1由導數的定義

分析可得答案.

【解答】

解：limlim一/'(丫。-'幻二1；

△x-?0△x

4limfg+3Ax)-f(x。--)=],

△x->04△x

.|jm儕+3△乃-f(%一△一_1

△X->04△X4'

函數f(x)在X=Xo處可導，

...=「m-。+3")-m,-Ax)=I

"'"AX"?04AX4

故選D.

二、填空題(本題共計9小題，每題3分，共計27分)

13.

試卷第8頁，總18頁

【答案】

3

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：因為竺二(m-c).(iz_c)=4,

Axm-1

所以m=3.

故答案為：3.

14.

【答案】

6

【考點】

變化的快慢與變化率

導數的運算

【解析】

由題意，根據導數的實際意義得到公式，再將值帶入求解即可.

【解答】

解：已知一質點的運動方程為S=t2+io

則U=S'=2t,

所以該質點在t=3時的瞬時速度為6zn/s.

故答案為：6.

15.

【答案】

1

e—1

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據平均變化率的公式進行求解即可.

【解答】

解：函數f(x)=Inx在區間［l,e］上的平均變化率為：

-----------.

e-1e-1

故答案為：——

e-1

16.

【答案】

12

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

利用函數解析式求出區間兩個端點的函數值，再根據平均變化率公式求出函數在區間

［1,3］上的平均變化率.

【解答】

因為y=/(x)=3"且-3)=38=27,f(l)=3,

所以該函數在區間［1,5］上的平均變化率為

Ay27-8

△x=3-1=2=12.

故答案為：12.

17.

【答案】

207r

【考點】

導數的幾何意義

變化的快慢與變化率

【解析】

無

【解答】

解：因為水波的半徑以u=2m/s的速度向外擴張，

水波面的圓面積為S=nr2=?r(vt)2=4nt2,

所以水波面的圓面積在時刻％的瞬時膨脹率S'(t=t0)=8兀玲，

當半徑為5?n時，t=|s,

所以S'(t=|)=8TTx|=20TT>

即半徑為5nl時，該水波面的圓面積的瞬時膨脹率是207rm2/s.

故答案為：207r.

18.

【答案】

—3.3

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據導數的物理意義可知，h(t)函數的導數即是t時刻的瞬時速度.求導數即可.

【解答】

解：；/i(t)=-4.9t2+6.5t+10,

h'(t)=-4.9x2t+6.5=—9.8t+6.5,

在t=Is時的瞬時速度為九'(1)=-9.8+6.5=-3.3,

故答案為：—3.3.

19.

【答案】

v-g

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

利用導數的物理意義v=s'和導數的運算法則即可得出.

【解答】

解：；s(t)=vt-^gt2,

試卷第io頁，總18頁

v=s'(t)=v—gt,

把1=1代入可得￡=1時的瞬時速度為u-g

故答案為：v—g

20.

【答案】

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

21.

【答案】

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

三、解答題(本題共計10小題，每題10分，共計100分)

22.

【答案】

1.'s(t)=s0+vot,

s'(t)—v4,

故物體在時,亥狂的瞬時速度為%.

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據瞬時速度與導數的關系，對s(t)求導可得s'(t)=%,此即為物體在時亥丘的瞬時速

度.

【解答】

s(t)=s04-vot,

s'(t')=v4,

故物體在時刻t的瞬時速度為先.

23.

【答案】

解：：球的運動方程為/l=t2,

h'=2t

該球在t=4s的瞬時速度為2x4=8(m/s).

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據題意，對九=t2進行求導，然后令t=2代入即可得到答案.

【解答】

解：：球的運動方程為/l=t2,

h'=2t

該球在t=4s的瞬時速度為2x4=8(m/s).

24.

【答案】

---2-412

設平均變化率為y,貝0=怨=中一=上:，它的實際意義為在單位時間內質量平

△c1—2e

均減少為kg.

m'(t)=e-2t.(-2t)'=-2e-2t,所以M(2)=-2eT.它的實際意義為在時間t=2時，

瞬時質量減少2e-4/cg.

【考點】

導數的運算

變化的快慢與變化率

【解析】

(1)由平均變化率怨代入即可；

(2)利用復合函數求導，代入t=2即可.

【解答】

設平均變化率為y,貝如=怨=<三二=耳，它的實際意義為在單位時間內質量平

△c1-ze

均減少為kg.

m'(t)=e-2t.(-2t)'=-2e-2t,所以M(2)=-2eT.它的實際意義為在時間t=2時，

瞬時質量減少2e-4/cg.

25.

【答案】

根據題意，(3+『=中』+6,則有4m吟匕=lim(/i+6)=6,

hhhi)hh->0

故當/i無限趨近于0時，的簪無限趨近于6,

n

V3+h-V33+/1-31rmi士V3+h-V3..z1x1V3

h-h(V3+K+V3)-V^+6、八駕h-h^y/3+h+^~母一~6；

故當/l無限趨近于0時，絲￥一32無限趨近于g

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據題意，先將式子變形，進而求出九無限趨近于0時，式子的極限值，即可得答案.

【解答】

根據題意，(3+”)2-32=立些=h+6,則有lim(3+亦㈤=|際一+6)=6,

hhh->0h八一o'7

故當人無限趨近于。時，空亭蘭無限趨近于6,

h

y/3+h—y/33+h—31rrt.i-y--..V3+/l—\/3「/1、1V3

-h-=M師+-=師+、中人「有心~h-=盤(即+6)=動=T

故當九無限趨近于0時，(3+?2-32無限趨近于

h6

試卷第12頁，總18頁

26.

【答案】

/?(。0+(-八))-/(%)=〃與+(一八))—〃%),

一/1(&+(一九))一"0'

|/。0+(一八))一/(口0)|jm/Oo+(f)—)

im)，

h->0-hh->0(&+(f))ro=((%0

則當/!無限趨近于0時，回上%3無限趨近于f'（與）,

f（x0+h）-f（x0-h）_9/（x0+h）-/（x0-/i）

h2h

又由Hm年吐處如匚”=2lim上吐處外二竺=2f（x0）,

h-0h九TO2hJ's

則當人無限趨近于O時，f（「+田1g-h）無限趨近于2/，（&）.

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據題意，先將式子變形，結合導數的定義分析可得答案.

【解答】

/&+（一九））-/（々）=/（&+（一八））一/?（%）,

一八（%o+（一1））一"0'

|f(xo+(f))/(%o)

lj))/(□(>)_jm

m=r（%o），

九TO-hh->0(%o+(f))T0

則當九無限趨近于o時，曲生乎g無限趨近于尸（久。）,

=2X/（%0+幻一/（%0一九）

h~2h

又由lim上。+“管。-&）=2lim"R+2-f（xo-h）=2f（x0）,

fl—OhfiTO2/17

則當h無限趨近于0時，小吟也也無限趨近于2/'（與）.

27.

【答案】

解：函數f（x）=-X2+X在X=0附近的平均變化率V="3+應-/⑶=士立二絲=

''/AXAXAX

一△X—5.

則（（3）=4110（_4工_5）=—5.

【考點】

導數的運算

變化的快慢與變化率

【解析】

利用平均變化率公式，即可求出函數f（x）=-x2+x在x=3附近的平均變化率和導數

【解答】

解：函數/"（%）=-X2+久在X=0附近的平均變化率絲="3+AXM3）=-（Ax）fAX=

“'AXAXAX

一△x-5.

則/■'⑶=J：0(_Ax_5)=_5.

28.

【答案】

解：函數/（X）=ax+b在區間［私用上的平均變化率=等詈=出佇如處

故其平均變化率為a.

【考點】

變化的快慢與變化率

【解析】

利用平均變化率的公式即可得出.

【解答】

解：函數/（X）=ax+b在區間［m,汨上的平均變化率="普=嗎二:吟

故其平均變化率為以

29.

【答案】

由題意知，tana=，，h=rtana

記tmin時煤堆的體積為V,

3

則V=2fl—17rrtana=0.31①

...丫=§巧且行②

yjTrtana

②式兩邊對t求導,得“t）=1

Trtana

（注：①式兩邊對t求導，同樣可得，只不過是隱函數求導了，教師可以作此理解）

設r=1.7m時對應的時刻為t（）,由①得片=喏x1.73

0.9

2

7rtana--.__

(z-------)x3X1.772???

0、0.9J

代入③式得,

!0.9_2130.97rtana二°

r，（t）=----------3=三?(B)3XL7-2

ETrtana3、Trtana

0.3°0.30.033

----------X1.7-2——(m/min)

Trtana9tanatana

【考點】

根據實際問題選擇函數類型

變化的快慢與變化率

試卷第14頁，總18頁

【解析】

(1)由題意知，tana=士從而得出高九與底面半徑r的關系.

(2)記Cmin時煤堆的體積為V,寫出圓錐的體積公式，求底面半徑對于時間的變化率,

即半徑的函數式對于時間t求微分，代入所給的數據做出結果.

【解答】

由題意知，tana=，，/./i=rtana

記tmin時煤堆的體積為V,

3

則V=gjrr2fl—17rrtana=0.3t①

r=H②

②式兩邊對t求導，得「'(￡)=：

TTtana

(注：①式兩邊對t求導，同樣可得，只不過是隱函數求導了，教師可以作此理解)

設r=1.7m時對應的時刻為功,由①得片=嘿x1.73

0.9

...不理馬qX1.7-2-

ok0.97

代入③式得，

13)0.92130.97rtana2

2

r'")=i-----tn-3=------(——Y3x1.7-

-----=-----(m/min)

7rtana9tanatana

【答案】

XX

(1)由/(%)=%—1+巳,得/(%)=1—2

a

由函數/(%)在點(7,得/'(1)=1一巳，解得a=e

X

(2)f(x)=i-e

①當QW2時，/'(%)>0,/(%)無極值

②當。>0時，令/(%)=3,

xG(—8,Ina)時，xG(Ina,/z(x)>0,

函數/(%)在(一8,Ina)上單調遞減，+8)上單調遞增.

/(%)在x=Ina處取得極小值，且極小值為f(lna)=lna

綜上，當aWO時；

當a>6時，/(x)在x=lna處取得極小值Ina.

【考點】

變化的快慢與變化率

利用導數研究曲線上某點切線方程

【解析】

(I)先求導，根據導數的幾何意義即可求出，

(□)先求導，再根據導數和函數極值的關系即可求出.

【解答】

aa

XX

(1)由f(x)=x-i+a，得/(x)=i-e

a

由函數f(x)在點(7,得尸(1)=1-e,解得a=e

X

(2)f(%)=i-e

①當aS2時，f'(x)>0,f(x)無極值

②當a>0時，令((x)=3,

x6(-8,Ina)時，xE.(Ina,>0,

函數/'(x)在(-8,Ina)上單調遞減，+8)上單調遞增.

/(x)在x=lna處取得極小值，且極小值為f(lna)=lna

綜上，當aWO時；

當a>6時，/(%)在x=lna處取得極小值Ina.

31.

【答案】

(1)解:易知/(X)定義域為(0,+8),

當a=-1時，/(x)=—x+Inx,f'(x)=?，令/''(X)=0，得x=1.

當0<x<1時，/(x)>0；當x>1時，/'(x)<0.

/(X)在(0,1)上是增函數，在(1,+8)上是減函數.

/(x)max=f(l)=-l.

函數f(x)在(0,+8)上的最大值為一1.

(2)解：；f(x)=a+p%6(0,e],^G[j,+oo)

①若則/'(x)20,從而/(x)在(0,e]上增函數，

/(x)max=/(e)=ae+1>0,不合題意?

②若a<%則由/''(x)>0得a+：>0,即0<x<-：

由((x)<0得a+?<0,即一5cxWe.

從而f(x)在(0,上增函數，在(-[e)為減函數

"x)max=〃T=T+ln(-*

試卷第16頁，總18頁

令-l+ln(一》=-3,則ln(_*=—2

22

--=e~,即。=-e?.—e<-Q-e2為所求.

ae=

(3)證明：由g(x)二/—x—2求導可得“(%)=3/—1

令g'(%)=3%2—1=0,解得％=±y

令g，(x)-3x2—1>0,解得%<—4或%>y

又XG(1,e)￡(苧,+00