4.1導數的概念、運算及幾何意義內容索引0102強基礎固本增分研考點精準突破課標解讀1.理解導數概念的實際背景,知道導數是關于瞬時變化率的數學表達,體會導數的內涵與思想,體會極限思想.2.能通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義.3.能根據導數定義求函數y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的導數.4.能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則,求簡單函數的導數;能求簡單的復合函數的導數.5.熟練使用導數公式表.強基礎固本增分1.導數的概念

導數是用極限來刻畫的

(3)導函數:對于函數y=f(x),當x=x0時,f'(x0)是一個唯一確定的數,當x變化時,f'(x)就是x的函數,我們稱它為函數y=f(x)的導函數(簡稱導數),即微點撥

關于導數概念的理解(1)瞬時變化率是平均變化率的極限.(2)導數就是瞬時變化率.(3)導數的物理意義:若物體運動的路程與時間的關系式是s(t),則s'(t)就是速度與時間的關系式.2.導數的幾何意義函數y=f(x)在x=x0處的導數f'(x0),就是曲線y=f(x)在x=x0處的切線的斜率k0,即k0=

f'(x0)

.

即在點(x0,f(x0))處微思考

“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”有何區別?提示

“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”含義是不同的,“曲線在點P處的切線”,點P是曲線上的點,且點P就是切點;而“曲線過點P的切線”,點P不一定在曲線上,點P不一定是切點.3.基本初等函數的導數公式

4.導數的運算法則(1)[f(x)±g(x)]'=

f'(x)±g'(x)

.

(2)[f(x)g(x)]'=

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

,特別地,[cf(x)]'=

cf'(x)

.

5.復合函數的導數(1)復合函數的概念:一般地,對于兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成

x

的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數,記作

y=f(g(x))

.

(2)復合函數的求導法則:復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為y'x=

y'u·u'x

,即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.

常用結論1.奇函數的導數是偶函數,偶函數的導數是奇函數,周期函數的導數還是周期函數.3.曲線的切線與曲線不一定只有1個公共點.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.f'(x0)是函數y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(

)2.與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(

)3.曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線與過點P(x0,y0)的切線相同.(

)×××題組二

回源教材

5.(人教A版選擇性必修第二冊第五章習題5.2第11題改編)設曲線y=e2ax在點(0,1)處的切線與直線2x-y+1=0垂直,則a的值為

.

研考點精準突破考點一導數的運算答案

(1)ACD

(2)B

(3)-2(3)由函數f(x)=f'(0)e2x-e-x求導得,f'(x)=2f'(0)e2x+e-x,當x=0時,f'(0)=2f'(0)+1,解得f'(0)=-1,因此,f(x)=-e2x-e-x,所以f(0)=-2.規律方法

函數常見形式及具體求導的6種方法

連乘形式先展開化為多項式形式,再求導三角形式先利用三角函數公式轉化為和或差的形式,再求導分式形式先化為整式函數或較為簡單的分式函數,再求導根式形式先化為分數指數冪的形式,再求導對數形式先化為和、差形式,再求導復合函數先確定復合關系,由外向內逐層求導,必要時可換元考點二導數的幾何意義(多考向探究預測)考向1求切線方程例題(1)(2024·山東菏澤一模)曲線

在點(-1,-2)處的切線方程為

.

(2)已知函數f(x)=ex+2x,過點(1,2)作曲線y=f(x)的切線,則函數的切線方程為

.

答案

(1)5x-y+3=0

(2)(e2+2)x-y-e2=0規律方法

利用導數幾何意義求切線方程的方法

對點訓練(2024·河北秦皇島二模)已知函數f(x)為偶函數,當x>0時,f(x)=lnx-e1-x,則曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為(

)A.y-e2+1=0B.y+1=0C.(e2-1)x-y+e2-2=0D.2x+y+3=0答案

D解析

因為f(x)為偶函數,設x<0,則-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)-e1+x,所以f(-1)=-1.因為當x<0時,f'(x)=-e1+x,所以f'(-1)=-2,所以曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0.考向2求曲線的切點坐標題組(1)若曲線f(x)=x3-2x在點P處的切線與直線x-y-2=0平行,則點P的坐標為

.

(2)(2024·山東威海乳山高三檢測)若點P是曲線y=x2-2lnx上任意一點,則點P到直線y=x-3的距離的最小值為(

)答案

(1)(-1,1)

(2)A規律方法

已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數的導數,再讓導數等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數解析式求出切點的縱坐標.考向3求參數的值(或范圍)例題(2022新高考Ⅰ,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是

.

答案

(-∞,-4)∪(0,+∞)規律方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關于參數的方程(組)或者參數滿足的不等式(組),進而求出參數的值或取值范圍.考點三兩曲線的公切線問題例題(多選)(2024·河北保定二模)若直線y=3x+m是曲線y=x3(x>0)與曲線y=-x2+nx-6(x>0)的公切線,則(

)A.m=-2 B.m=-1C.n=6 D.n=7答案

AD解析

設直線y=3x+m與曲線y=x3(x>0)相切于點(a,a3),與曲線y=-x2+nx-6(x>0)相切于點(b,3b+m),對于函數y=x3(x>0),y'=3x2,則3a2=3(a>0),解得a=1.所以13=3+m,即m=-2.對于函數y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,則-2b+n=3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7.規律方法

利用導數幾何意義解決公切線問題的基本方法利用導數的幾何意義解決兩條曲線的公切線問題,通常有兩種基本方法:(1)利用其中一條曲線在某點處的切線與另一條曲線相切,列出關系式求解;(2)若兩曲線解析式分別為f(x),g(x),分別設出公切線與兩曲線的切點P1(x1,