第4章不定積分

§4.1不定積分的概念§4.2基本積分公式和運算法則§4.3換元積分法§4.4分部積分法§4.1不定積分的概念

一、原函數

二、不定積分的概念

三、不定積分的幾何意義內容提要

四、不定積分的性質一、原函數二、不定積分的概念三、不定積分的幾何意義圖4-1四、不定積分的性質1.原函數（1）理解原函數的概念，會求一些函數的原函數（2）掌握原函數存在定理2.不定積分的概念（1）理解不定積分的概念（2）會求一些函數的不定積分3.不定積分的幾何意義小結（1）理解不定積分的幾何意義（2）會利用不定積分的幾何意義求曲線方程4.不定積分的性質掌握不定積分的性質，利用其求不定積分§4-2基本積分公式和運算法則

一、基本積分公式二、不定積分的運算法則內容提要一、基本積分公式二、不定積分的運算法則1.基本積分公式熟記基本積分公式，會求一些函數的不定積分2.不定積分的運算法則（1）理解不定積分運算法則（2）會利用直接積分法求不定積分，掌握常用的恒等變形小結§4.3換元積分法

一、第一類換元法(湊微分法)

二、第二類換元法內容提要利用不定積分的直接積分法所能計算的積分是十分有限的，因此，有必要進一步研究不定積分的求法．最常用的積分方法是換元積分法，簡稱換元法.換元積分法就是通過適當的變量替換，使所求積分在新變量下具有積分基本公式的形式或用直接積分法求解．一、第一類換元法(湊微分法)例1：求

分析：因為被積函數是一個復合函數，基本積分公式中沒有這樣的公式，所以不能直接應用公式解

因為函數是和復合成的，所以例1的解法特點是引入新變量，從而將原積分化為積分變量為的積分，再用積分基本公式求解．第一節多元函數MultipleFunction定理4-1若，且有連續函數，則這種先“湊”微分，再作變量代換的方法，稱為第一類換元積分法，也稱為湊微分法.一般地，我們可以得到如下的結論：第一類換元積分法的特點是被積函數由兩部分組成，即復合函數和(復合函數內層函數的導數)，換元(湊微分)是將內層函數進行換元(湊微分).第一換元積分是復合函數微分的逆運算.在使用湊微分過程中，最常見的有以下類型：例2求不定積分（1）（2）（3）（4）,

.

（1）因為，所以解（2）因為，所以（4）因為，所以（3）因為，所以解利用湊微分法求不定積分需要一定的技巧，而且往往要作多次試探，初學者不要怕失敗，應注意總結規律性的技巧，當運算熟練以后，變量代換和回代這兩個步驟，可省略不寫，直接按得出結果.第一節多元函數MultipleFunction

二、第二類換元法

在第一類換元積分法中，是選擇新變量u代換被積函數中的可微函數進行換元.但有些積分，如等，卻不易用上述方法代換，我們設想，如果令進行換元，那么則積分一般地，我們可以得到如下的結論：定理4-2若

是連續函數，

有連續的導數

,其反函數存在且可導，又設,則有換元公式：這種換元的方法稱為第二類換元積分法.第一節多元函數MultipleFunction常見的第二類換元積分方法有：（一）簡單根式代換例6求下列不定積分：（1）（2）解（1）因為被積函數含有根號，為了去掉根號，可先換元，令，即，于是

，所以（2）令，，則，于是有再回代，得出注使用第二類換元積分法的關鍵是如何選擇函數.如果被積函數中含有根式時，一般可作變量代換去掉根式.*（二）三角代換例7求下列不定積分：（1）（2）

（3）

（1）為了去掉根號，考慮變量代換構造直角三角形(如圖4-2)，則

，鄰邊，于是因為，所以，由圖4-2，顯然有代入上面的結果，有圖4-2（2）為了去掉根號，考慮作變量代換(對于的情形可類似考慮)，構造直角三角形(如圖4-3)，則，于是有根據圖4-3，顯然有，，回代得出圖4-3，其中（3）對于()，構造直角三角形(如圖4-4)，作變量代換，則斜邊.于是有圖4-4注如果被積函數含有可分別作，，的變換去掉根式，這種代換統稱為三角代換.第二類換元積分法是變量代換法，主要有三角代換，根式代換和倒代換，適用于積分式中有根式的.1.第一類換元法(湊微分法)理解第一類換元法，會求帶有復合函數的不定積分小結2.第二類換元法理解第二類換元法，會求帶有根式的不定積分§4.4