3.1.2復數的幾何意義

1.復平面復數z=a+bi(a,b∈R)可以用直角坐標平面內的一個點Z(a,b)來表示,如圖:必備知識·自主學習2.復數的幾何意義【思考】復平面上的點和復數如何建立起一一對應關系?提示:建立直角坐標系,橫軸為實軸,縱軸為虛軸,復數a+bi(a,b∈R)與點(a,b)對應.3.復數的模(1)定義:向量的模r叫做復數z=a+bi(a,b∈R)的模.(2)記法:復數z=a+bi的模記為|z|或|a+bi|.(3)公式:|z|=|a+bi|=r=_______(r≥0,r∈R).【思考】兩個虛數是不能比較大小的,兩個虛數的模能比較大小嗎?提示:復數的模就是復數的長度,它是一個實數,所以兩個虛數的模是能夠比較大小的.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)原點是實軸和虛軸的交點. (

)(2)實軸和虛軸的單位都是1. (

)(3)實軸上的點表示實數,虛軸上的點表示純虛數. (

)(4)復數與復平面內的無數多個向量對應. (

)提示:(1)√.原點既在實軸上又在虛軸上,所以原點是實軸和虛軸的交點.(2)×.實軸的單位是1,而虛軸的單位是虛數的單位i.(3)×.實軸上的點表示實數,而虛軸上的點除原點外都表示純虛數,原點表示實數0.(4)√.復數與復平面內的無數多個向量對應,與以原點為起點的向量是一一對應的,故這種說法是正確的.提示:(1)√.原點既在實軸上又在虛軸上,所以原點是實軸和虛軸的交點.(2)×.實軸的單位是1,而虛軸的單位是虛數的單位i.(3)×.實軸上的點表示實數,而虛軸上的點除原點外都表示純虛數,原點表示實數0.(4)√.復數與復平面內的無數多個向量對應,與以原點為起點的向量是一一對應的,故這種說法是正確的.2.(教材二次開發:習題改編)在復平面內,O為原點,向量對應的復數為8+3i,

與關于y軸對稱,則點B對應的復數為 (

)A.8-3i B.-8-3i C.3+8i D.-8+3i【解析】選D.關于y軸對稱的復數虛部相同,實部互為相反數.3.在復平面內,復數6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應的復數是 (

)A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i【解析】選C.由題意知A(6,5),B(-2,3),則AB中點C(2,4)對應的復數為2+4i.關鍵能力·合作學習類型一復數與復平面內點的關系(直觀想象)【題組訓練】1.已知復數z=-i,其復平面內對應點Z的坐標為 (

)

A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1)2.點(-2,1)所對應的復數是 (

)A.z=1+2i B.z=1-2i C.z=-1+2i D.z=-2+i3.求實數a分別取何值時,復數

對應的點Z滿足下列條件:(1)在復平面的第二象限內;(2)在復平面內的x軸上方.【解析】1.選A.復數z=-i的實部為0,虛部為-1,故復平面內對應點Z的坐標為(0,-1).2.選D.點(-2,1)所對應的復數是z=-2+i.3.(1)點Z在復平面的第二象限內,則解得a<-3.(2)點Z在x軸上方,則即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.【解題策略】利用復數與點的對應解題的步驟

(1)找對應關系:復數的幾何表示法即復數z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內的點Z(a,b)來表示,是解決此類問題的根據.(2)列出方程(組)或不等式(組):此類問題可尋求復數的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.提醒:復數與復平面內的點是一一對應關系,因此復數可以用點來表示.【解題策略】利用復數與點的對應解題的步驟

(1)找對應關系:復數的幾何表示法即復數z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內的點Z(a,b)來表示,是解決此類問題的根據.(2)列出方程(組)或不等式(組):此類問題可尋求復數的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.提醒:復數與復平面內的點是一一對應關系,因此復數可以用點來表示.【補償訓練】在復平面內,若復數z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的對應點(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在直線y=x上,分別求實數m的取值(范圍).【解析】復數z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的實部為m2-m-2,虛部為m2-3m+2.(1)由題意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)由題意得所以所以-1<m<1.(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2,所以m=2.類型二復數與平面向量的關系(直觀想象)【典例】1.向量對應的復數為1+4i,向量對應的復數為-3+6i,則向量

+對應的復數為 (

)

A.-3+2i B.-2+10i C.4-2i D.-12i2.復數4+3i與-2-5i分別表示向量與,則向量表示的復數是________.

3.在復平面內的長方形ABCD的四個頂點中,點A,B,C對應的復數分別是2+3i,3+2i,-2-3i,求點D對應的復數.【思路導引】1.在復平面內,向量對應的復數為z=a+bi(a,b∈R),則向量的坐標是(a,b),點Z的坐標也是(a,b).2.=-.3.結合復數的幾何意義以及平行四邊形的特征進行求解.【解析】1.選B.向量對應的復數為1+4i,向量對應的復數為-3+6i,所以

=(1,4),=(-3,6),所以+=(1,4)+(-3,6)=(-2,10),所以向量+對應的復數為-2+10i.2.因為復數4+3i與-2-5i分別表示向量與,所以=(4,3),=(-2,-5),又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的復數是-6-8i.答案:-6-8i3.記O為復平面的原點,由題意得=(2,3),=(3,2),=(-2,-3).設=(x,y),則=(x-2,y-3),=(-5,-5).由題知,,所以即故點D對應的復數為-3-2i.【解題策略】復數與平面向量的對應關系

(1)根據復數與平面向量的對應關系,可知當平面向量的起點在原點時,向量的終點對應的復數即為向量對應的復數.反之復數對應的點確定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即為復數對應的向量.(2)解決復數與平面向量一一對應的問題時,一般以復數與復平面內的點一一對應為工具,實現復數、復平面內的點、向量之間的轉化.【跟蹤訓練】1.已知平面直角坐標系中O是原點,向量,對應的復數分別為2-3i,-3+2i,那么向量對應的復數是 (

)A.-5+5i B.5-5iC.5+5i D.-5-5i【解析】選B.向量對應的復數分別為z1=2-3i,z2=-3+2i,根據復數與復平面內的點一一對應,可得向量=(2,-3),=(-3,2).由向量減法的坐標運算可得向量=-=(2+3,-3-2)=(5,-5),根據復數與復平面內的點一一對應,可得向量對應的復數是5-5i.2.已知M(1,3),N(4,-1),P(0,2),Q(-4,0),O為復平面的原點,試寫出所表示的復數.【解析】表示的復數為1+3i;表示的復數為4-i;表示的復數為2i;

表示的復數為-4.【補償訓練】

1.在復平面內把復數3-

i對應的向量按順時針方向旋轉

所得向量對應的復數是________.

【解析】3-i對應向量為(3,-),與x軸正半軸夾角為30°,位于第四象限,順時針旋轉60°后所得向量終點在y軸非正半軸上,且模為2.故所得向量對應的復數是-2i.答案:-2i2.已知復數1,-1+2i,-3i,6-7i,在復平面內畫出這些復數對應的向量.【解析】復數1對應的向量為,其中A(1,0);復數-1+2i對應的向量為,其中B(-1,2);復數-3i對應的向量為,其中C(0,-3);復數6-7i對應的向量為,其中D(6,-7).如圖所示.

類型三復數的模的計算與幾何意義的應用(直觀想象、數學運算)【典例】1.已知復數z1=x2+

i,z2=(x2+a)i,對于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立,試求實數a的取值范圍.2.復數z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復平面內對應的點分別為A,B,C,若∠BAC是鈍角,求實數c的取值范圍.【思路導引】1.解決有關復數模的問題的一般思路是利用所給復數的實部和虛部,求出復數的模或復數模的平方,再利用相關的條件解題.2.不共線.【解析】1.因為|z1|>|z2|,所以x4+x2+1>(x2+a)2,所以(1-2a)x2+(1-a2)>0對x∈R恒成立.當1-2a=0,即a=時,不等式成立;當1-2a≠0,即a≠時,需所以-1<a<,綜上,a∈.2.在復平面內三點坐標為A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC為鈍角,得cos∠BAC<0,且A,B,C不共線.=(-3,-4),=(c-3,2c-10),<0,且不共線,得c的取值范圍是.【解題策略】求解與復數模有關問題的兩種方法(1)將z=x+yi(x,y∈R)直接代入所要求的式子中去,把所要求的模用x,y的式子表示出來,轉化為代數問題.(2)因為復數和圖形有著密切的關系,可以利用這種關系把所給條件轉化為幾何問題或向量問題.【跟蹤訓練】1.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列選項中正確的是 (

)

A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】選D.|z1|=|5+3i|=,|z2|=|5+4i|=.因為,所以|z1|<|z2|.2.已知復數z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求實數a的取值范圍.【解析】方法一:因為z=3+ai(a∈R),所以|z|=,由已知得32+a2<42,所以a2<7,所以a∈.方法二:由|z|<4知z在復平面內對應的點在以原點為圓心,以4為半徑的圓內(不包括邊界),由z=3+ai知z對應的點在直線x=3上,所以線段AB(除去端點)為動點Z(3,a)的集合,由圖可知-<a<.【補償訓練】已知復數z滿足z+|z|=2+8i,求復數z.【解析】方法一:設z=a+bi(a,b∈R),則|z|=,代入原方程得a+bi+=2+8i,根據復數相等的充要條件,得解得所以z=-15+8i.方法二:由原方程得z=2-|z|+8i(*).因為|z|∈R,所以2-|z|為z的實部,故|z|=,即|z|2=4-4|z|+|z|2+64,得|z|=17.將|z|=17代入(*)式得z=-15+8i.課堂檢測·素養達標1.下列說法中,錯誤的是 (

)

A.復數的模是非負實數B.“復數等于零”的充要條件是“復數的模等于零”C.“兩個復數的模相等”是“這兩個復數相等”的必要條件D.“復數z1>z2”的充要條件是“|z1|>|z2|”【解析】選D.任意復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=≥0恒成立,故A說法正確.由z=a+bi=0,得所以|z|=0;反之亦成立,故B說法正確.設z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若z1=z2,則有a1=a2,b1=b2,所以|z1|=|z2|;反之,由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,如當z1=1+3i,z2=1-3i時,|z1|=|z2|,但z1≠z2,故C說法正確.兩個復數不一定能比較大小,但任意兩個復數的模總能比較大小,故D說法錯誤.2.已知a∈R,且0<a<1,i為虛數單位,則復數z=a+(a-1)i在復平面內所對應的點位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因為0<a<1,所以a>0且a-1<0,故復數z=a+(a-1)i在復平面內所對應的點(a,a-1)位于第四象限.3.已知復數z對應的點在第二象限,它的模是3,實部為-

,則z為 (

)A.-

+2i B.-

-2iC.-

+3i D.-

-3i【解析】選A.設z=-+bi(b∈R),由|z|==3,解得b=±2,又復數z對應的點在第二象限,則b=2,所以z=-+2i.4.已知0<a<2,復數z的實部為a,虛部為1,則|z|的取值范圍是________.

【解析】依題意,可知z=a+i,則|z|2=a2+1.因為0<a<2,所以a2+1∈(1,5),即|z|∈(1,).答案:(1,)5.如果復數z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)對應的點在第一象限,求實數m的取值范圍.【解析】因為復數z對應的點在第一象限,所以解得m<或m>.所以實數m的取值范圍為Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞4.已知0<a<2