三

鉸

拱一、拱的構成及其受力特點組成：桿件多為曲桿（也有折線桿），至少有兩個水平約束，支座不能自由移動。受力特點：在（向下的）豎向荷載作用下，支座產生（向內的）水平推力。因為有水平推力的存在，拱軸上各個截面上的彎矩通常比相應的曲梁（或簡支梁）小。拱的優點：拱軸截面中的彎矩較小，以承受軸向壓力為主。可以用抗拉性能差而抗壓性能好的材料（如磚、石材混凝土等）建造。經濟、美觀、凈空大、自重輕。拱的缺點：對支承部分的受力要求嚴格。制造較復雜。Clf拱軸線FP1FP2FP3FVAFVBFHAFHB跨度矢高拱頂拱趾CFP1FP2FP3FHAFHBFVAFVBFP1FP2FP30FVAFVB相應的曲梁FP1FP3FVARBFP2FHA二、拱的類型1、基本類型：靜定：三鉸拱超靜定：二鉸拱無鉸拱2、其他分類方法：可按：拱軸的曲線形式（如拋物線，圓，懸鏈線等）；拱軸的構造（實體式，桁架式，帶拉桿式等）；拱趾的位置（平拱，斜拱）等分類方式。實體三鉸拱平拱帶拉桿的拱斜拱三、三鉸拱的數解法(一)、支座反力的計算公式：

（注：平拱，豎向荷載）

由∑MA=0,∑MB=0可得：FVA=∑FPibi/lFVB=∑FPiai/l由∑x=0

FHA=

FHB=

FHClfFP1FP2FP3FVAFVBFHAFHBl1l2xya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3

相應簡支梁由∑MA=0,∑MB=0可得：FVA=∑FPibi/l

FVB=∑FPiai/l由∑x=0,FHA=

FHB=

FH由∑MC=0,可以看出，與相應簡支梁相比，三鉸拱的豎向反力恰等于相應簡支梁的豎向反力。三鉸拱的水平反力公式的分子部分相當于相應簡支梁截面C處的彎矩M0C。因此，公式可寫為：

FAy=F0VAFBy=F0VB（3-7）FH=M0C/f（3-8）

水平反力只與三個鉸的位置有關，與拱軸曲線的形狀無關。

水平反力與拱的高跨比成反比。1、彎矩的計算公式規定：使拱的內側纖維受拉的彎矩為正，反之為負。

MK=[FVAxK–FP1(xK–a1)]-FHyK

M=M0-FHy

（3-9）

由此可見，因為推力的存在，使得拱軸截面上的彎矩比相應簡支梁對應截面上的彎矩小。（二）、內力的計算公式ClfFP1FP2FP3FVAFVBFHAFHBxya1a2a3b1b2b3CFP1FP2FP3KxkykφkAKFVAFHAFP1KφkMKFQKFNK2、剪力的計算公式規定：拱軸內的剪力正負號規定同材料力學。任一截面K的剪力FQK

等于該截面一側所有各力沿該截面方向投影的代數和。

FQK=FVAcosφK–FP1cosφK-FHsinφK=(FVA–FP1)cosφK-FHsinφK

FQ=

F0Qcosφ-FH

sinφ(3-10)

式中：φ為截面K處拱軸切線的傾角，φ在左半拱為正，在右半拱為負。3、軸力的計算公式規定：軸力使拱軸截面受拉為正。任一截面K的軸力FNK

等于該截面一側所有各力沿該截面處拱軸切線方向投影的代數和。

FNK=-FVAsinφK+FP1sinφK-FHcosφK=-(FVA–FP1)sinφK-FHcosφK

FN=-F0Qsinφ-FH

cosφ(3-10)式中：φ為截面K處拱軸切線的傾角，φ在左半拱為正，在右半拱為負。注：以上公式只適用于豎向荷載作用下的平拱。對于一般荷載作用下的三鉸平拱，可由平衡方程求反力，再求各截面內力。CfFVAFVBFHAFHBl1l2q帶拉桿的三鉸平拱：拉桿常采用鋼拉桿，拉桿軸力FN代替了三鉸拱的水平推力FH，FN=M0C/f。ABCl1l2fFP1FP2FVAFVBFN例：（書例3-14，P.112）

作圖示三鉸拱的內力圖。拱軸為一拋物線。CFH=6kNFH=6kNFVA=7kNFVB=5kNxy16m4kN1kN/mf=4m8m4m4mD

因為無論拱上的荷載形式如何，拱的內力圖均為曲線圖形，為此，將拱跨分成八等份，然后列表計算各個截面上的內力，最后畫出內力圖。1234567CFH=6kNFH=6kNFVA=7kNFVB=5kNxy16m4kN1kN/mf=4m8m4m4mD08具體計算過程見教材P.112–P.114。在此，給出拱彎矩與相應簡支梁彎矩的比較圖，以期同學們對三鉸拱的受力特性有更深刻的認識。FP=4kNq=1kN/ml=8×1.5m=12mFP=4kNq=1kN/mABC012345678122024242024.5四、三鉸拱的合理軸線

合理拱軸：使拱軸各截面處于無彎矩（和剪力）狀態的軸線，稱為拱的合理軸線。拱在給定荷載作用下，當拱上各個截面不產生彎矩和剪力，各截面都處于均勻受壓的狀態，此時，材料能得到充分的利用，相應的拱截面尺寸將是最小的。

從上節的推導可知：拱軸上各截面的彎矩，不但與荷載有關，還與拱的軸線有關。對于豎向荷載作用下的三鉸拱，可用數解法來定出拱的合理軸線方程。由：M=M0-FHy（3-9）當拱軸為合理軸線時，拱中各個截面上的彎矩均應為零，故有：M=M0-FHy=0由此得出：

y

=M0K/FH(3-12)例:試求圖示三鉸拱在沿全跨長的水平荷載作用下的合理拱軸線。xyflABCqq解：相應簡支梁的彎矩方程為：M0=1/2·q·x·(l-x)FH=M0C/f=(1/8·q·l2)/f=q·l2/8f

由公式（4-10）得拱的合理軸線方程：

y=[1/2·q·x·(l-x)]/(q·l2/8f)=(4f/l2)·