第10講直線的傾斜角與斜率【學習目標】1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式3.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直【基礎知識】一、直線的傾斜角1.當直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向

與直線l向上的方向之間所成的角α

叫做直線l的傾斜角.2.規定:當直線l與x軸平行或重合時,直線l的傾斜角為0°

.因此,直線的傾斜角α的取值

范圍為0°≤α<180°

二、直線的方向向量1.直線P1P2上的向量?以及與它平行的向量都是直線的方向向量

.2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直線P1P2上的兩點,則直線P1P2的一個方向向量的坐標為三、直線的斜率1.一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=

tanα

(α≠90°).2.所有的直線都有傾斜角,但不是所有的直線都有斜率,傾斜角是90°的直線沒有斜率.3.過兩點的直線的斜率公式經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式是k=.4.直線的方向向量與斜率的關系(1)經過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線,其方向向量為=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)?,因此,當直線的斜率k存在時,直線的一個方向向量的坐標為(1,k)

.(2)當直線的一個方向向量的坐標為(x,y)(x≠0)時,直線的斜率k=.四、兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在圖示??對應關系l1∥l2?k1=k2

兩直線斜率都不存在?l1∥l2

五、兩條直線垂直的判定類型斜率都存在有直線斜率不存在圖示??對應關系l1⊥l2?k1k2=-1

斜率不存在，斜率為0?l1⊥l2

【考點剖析】考點一：求直線的傾斜角例1．若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為______．【答案】【解析】設直線的傾斜角為，因為直線與直線垂直，直線的斜率為，則，因為，因此，.考點二：求直線傾斜角的范圍例2．已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是(

)．A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，直線的傾斜角為，則，因為，即，結合正切函數的性質，可得．故選B．考點三：求直線的斜率例3．經過兩點,的直線的斜率為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】經過兩點,的直線的斜率為：；故選B.考點四：求直線斜率的范圍例4．已知兩點，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是(

)A． B．或 C． D．【答案】B【解析】如下圖示，當直線過A時，，當直線過B時，，由圖知：或.故選B考點五：兩直線平行問題例5．若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.【答案】【解析】因為直線與直線平行，直線的斜率為，所以直線的斜率與直線的斜率相等，即直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，所以，即直線的傾斜角為考點六：兩直線垂直問題例6．已知直線經過，，直線經過點，．如果，求的值．【答案】5或2【解析】因為直線經過點，，且，所以的斜率存在，設斜率為，當時，直線斜率不存在，，則，此時與垂直．當時，，此時直線斜率存在．由，得．解得．綜上，的值為或．【真題演練】1.(2022學年黑龍江省齊齊哈爾市第八中學高二下學期開學考試)直線，若的傾斜角為30°，則的斜率為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴.故選B.2.(2022學年江蘇省鎮江市第一中學高二上學期期末)若傾斜角為的直線過，兩點，則實數(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選C3.(2022學年江西省南昌市實驗中學高二12月月考)經過點、兩點的直線的傾斜角為(

)A．90o B．120o C．135o D．150o【答案】D【解析】因直線過點、，則直線l的斜率，直線l的傾斜角為滿足，顯然，則有，解得，所以直線的傾斜角為.故選D4.(多選)(2022學年湖南省懷化市第五中學高二上學期期中)在下列四個命題中，錯誤的有()A．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是[0，π]C．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為45度D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα【答案】ABD【解析】對于A，傾斜角為的直線斜率不存在，所以A錯誤對于B，直線的傾斜角的取值范圍為，所以B錯誤對于C，因為且，所以，所以C正確對于D，傾斜角為的直線斜率不存在，所以D錯誤，故選ABD5.(多選)(2022學年黑龍江省七臺河市勃利縣高級中學高二上學期期中)已知經過點和點的直線與經過點和點的直線互相垂直，則實數(

)．A． B． C． D．【答案】BC【解析】當時，直線的斜率為，直線不存在斜率，此時滿足直線互相垂直；當時，直線的斜率為，直線的斜率為，若兩直線垂直，則，解得，滿足題意.綜上所述：或.故選BC.6.(2022學年上海市控江中學高二下學期期中)設，若直線l經過點?，則直線l的斜率是___________.【答案】1【解析】因為直線l經過點?，所以直線l的斜率是7.(2022學年四川省綿陽市南山中學高二上學期10月月考)若三點，，在同一條直線上，則實數___________.【答案】【解析】由題意可知，，三點所在的直線的斜率存在，所以，即，解得8.(2022學年河北省石家莊十二中高二上學期期中)已知兩點，求：(1)直線的斜率k；(2)已知實數，求直線的傾斜角的范圍.【解析】(1)當時，直線的斜率不存在，當時，直線的斜率，(2)當時，，當時，，因為，且，所以，且，所以或，即或，所以，綜上，直線的傾斜角【過關檢測】1.(河北省保定市2022學年高二上學期期末)若直線經過，兩點，則直線的傾斜角為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】斜率，∴傾斜角．故選A．2.以點，，為頂點的三角形是(

)．A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】由題意，同理，，，，三角形是直角三角形．故選B．3．(2022學年湖北省荊州市八縣市高二上學期期末)直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關系是(

)A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直【答案】C【解析】設方程的兩根為、，則．直線、的斜率，故與相交但不垂直．故選C．4．(2022學年河北省唐山市灤南縣第一中學高二上學期10月月考)過點的直線與軸?軸分別交于兩點，且恰好是的中點，則的斜率為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】設，，則，解得：，，，.故選D.5.(2020-2021學年內蒙古包頭市第四中學高二上學期月考)設點，，直線過點且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是()A．或 B．C． D．以上都不對【答案】A【解析】如圖所示，直線PB，PA的斜率分別為，結合圖形可知或，故選A6．(多選)下列四個命題中，錯誤的有(

)A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為【答案】ACD【解析】因為直線的傾斜角的取值范圍是，即，所以，當時直線的斜率，故A、C均錯誤；B正確；對于D：若直線的斜率，此時直線的傾斜角為，故D錯誤；故選ACD7.(多選)如果直線l過原點(0，0)且不經過第三象限，那么l的傾斜角可能是(

)A．0° B．120°C．90° D．60°【答案】ABC【解析】依題意，直線過原點，且不經過第三象限，則或，所以ABC選項符合，D選項不符合.故選ABC8.(2022學年湖南省湖湘教育三新探索協作體高二上學期11月期中)如圖所示，直線的頻斜角，直線，則直線的斜率為________．【答案】【解析】由題意知，直線的斜率，因為，所以，所以的斜率．9．在△ABC中，已知A(3，﹣2)，B(1，﹣3)，C(1，1).(1)求直線AB，AC，BC的斜率；(2)判斷直線AC的傾斜角是銳角還是鈍角或直角.【解析】(1)由A(3，﹣2)，B(1，﹣3)，C(1，