第07講空間向量基本定理【學習目標】1.了解空間向量基本定理及其意義，2.掌握空間向量的正交分解【基礎知識】一、空間向量基本定理1.如果三個向量a,b,c不共面

,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

.我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底

,a,b,c都叫做基向量

.空間任意三個不共面

的向量都可以構成空間的一個基底2.基向量的選擇和使用方法用已知向量表示未知向量時,選擇一個恰當的基底可以使解題過程簡便易行,選擇和使用向

量應注意:(1)所選向量必須不共面,可以利用共面向量定理或常見的幾何圖形的幾何性質幫助判斷;(2)所選基向量與要表示的向量一般應在同一封閉圖形內,能用基向量的線性運算表示未知

向量;(3)盡可能選擇具有垂直關系的、從同一起點出發的三個向量作為基底.【解讀】3.用基底表示向量的步驟(1)定基底:根據已知條件,確定三個不共面的向量構成空間的一個基底.(2)找目標:用確定的基底(或已知基底)表示目標向量,需要根據三角形法則或平行四邊形法則,結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡,最后求出結果.(3)下結論:利用空間向量的一個基底{a,b,c}可以表示出空間所有向量,即結果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二空間向量的正交分解如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直

,且長度都為1

,那么這個基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a,均可以分解為三個向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進行正交分解.【考點剖析】考點一：對平面向量基本定理的理解例1．(多選)(2022學年河北省邯鄲市高二上學期期末)已知，，是空間的一個基底，則下列說法中正確的是(

)A．若，則B．，，兩兩共面，但，，不共面C．一定存在實數x，y，使得D．，，一定能構成空間的一個基底考點二：對基底的理解例2．設，，，且是空間的一個基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有(

)A．1 B．2 C．3 D．4考點三：選擇基底表示某一向量例3．(2022學年河南省鄭州市高二上學期期末)已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于(

)A． B． C． D．考點四：選擇基底求解向量的模或線段長度例4．(2022學年江蘇省常州市金壇區高二下學期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為(

)A． B． C． D．考點五：選擇基底求解角度問題例6．(2022學年重慶市四川外語學院高二上學期10月月考)二面角的棱上有兩個點、，線段與分別在這個二面角的兩個面內，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為_________.考點六：選擇基底求解數量積問題例7．(2022學年江蘇省南通市海安市實驗中學高二下學期期中)已知四面體，所有棱長均為2，點E，F分別為棱AB，CD的中點，則(

)A．1 B．2 C．-1 D．-2【真題演練】1.(2022學年四川省綿陽南山中學高二下學期期中)已知O，A，B，C為空間四點，且向量，，不能構成空間的一個基底，則一定有(

)A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點共線C．與共線 D．O，A，B，C四點共面2.(2022學年福建省福安市第一中學高二下學期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則(

)A． B．C． D．3.(2022學年安徽省六安中學高二上學期期中)如圖，已知空間四邊形，其對角線為，分別為的中點，點在線段上，，若，則(

)A． B． C． D．4.(2022學年福建省福州市八縣(市)一中高二上學期期中)若是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間一個基底的是(

)A． B．C． D．5.(多選)(2022學年福建省福州市高二下學期期中)如圖，在平行六面體中，，，．若，，則(

)A． B．C．A，P，三點共線 D．A，P，M，D四點共面6.(多選)(2022學年上海市控江中學高二下學期期中)如圖，在四面體中，是的中點，設，，，請用??的線性組合表示___________.7.(2022學年河北省邯鄲市高二上學期期末)已知平行六面體的棱長均為4，，E為棱的中點，則___________.8.(2022學年江蘇省徐州市王杰中學高二下學期3月階段性測試)如圖，在空間四邊形中，已知是線段的中點，在上，且．(1)試用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【過關檢測】1.(2022學年江蘇省蘇州市昆山市七校高二上學期12月聯考)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形．若，且，則的長為(

)A． B． C． D．22.(2022學年廣東省佛山市南海區桂城中學高二下學期第二次段考)四面體中，，，，點在上，且，是的中點，則(

)A． B．C． D．3.(2022學年廣東省揭陽市揭西縣高二上學期期末)若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是(

)A．，， B．，，C．，， D．，，4.(2022學年四川省綿陽南山中學高二下學期3月月考)已知MN是正方體內切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2022學年江蘇省徐州市沛縣高二下學期第一次學情調研)若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是(

)A．，， B．，， C．，， D．，，6.(多選)(2022學年江蘇省鎮江中學高二下學期期中)如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是(

)A． B．C．的長為 D．7．(多選)(2022學年浙江省金華市曙光學校高二上學期10月月考)已知點為三棱錐的底面所在平面內的一點，且(，)，則，的值可能為(

)A．， B．， C．， D．，8.(2022學年陜西省寶雞市渭濱區高二上學期期末)已知向量，，不共線，點在平面內，若存在實數，，，使得，那么的