考點13：矩形1.(2023達州）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為（）A.9 B.12 C.15 D.182.(2023樂山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（）

A. B.3 C. D.43.(2023綿陽）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（） B. C. D.4.(2023宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（）

A. B. C. D.5．(2023內江）（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．6.(2023雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．7.(2023眉山）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．8.(2023自貢）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．9.(2023成都）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．

（1）【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．（2）【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發生變化，當是線段中點時，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數式表示）．10.(2023南充）如圖，在矩形中，點O是的中點，點M是射線上動點，點P在線段上（不與點A重合），．

（1）判斷的形狀，并說明理由．（2）當點M為邊中點時，連接并延長交于點N．求證：．（3）點Q在邊上，，當時，求的長．11.(2023自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發生改變（四邊形具有不穩定性）．（1）通過觀察分析，我們發現圖中線段存在等量關系，如線段由旋轉得到，所以．我們還可以得到＝，＝；（2）進一步觀察，我們還會發現∥，請證明這一結論；（3）已知，若恰好經過原矩形邊的中點，求與之間的距離．考點13：矩形1.(2023達州）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為（）A.9 B.12 C.15 D.18答案:C解析：分析：根據折疊的性質可得，設，則，則，在中勾股定理建列方程，求得，進而求得，根據，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，,，，，設，則，，在中，即，解得，，，，，，，，，在中，，．故選C．【點睛】本題考查了矩形與折疊的性質，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．2.(2023樂山）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（）

A. B.3 C. D.4答案:D解析：分析：當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．求出CF的長即可解決問題．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，則CE=AD=2，當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．

∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，∴MN=BF=4，∴點M的運動路徑長為4，故選：D．【點睛】本題考查點的軌跡、矩形的判定和性質、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找點M的運動軌跡，學會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．3.(2023綿陽）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．則四邊形EFGH的周長為（） B. C. D.答案:A解析：分析：證明四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設，表示出，，，，進一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，進一步可求出邊形EFGH的周長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，∵，，∴，，在和中，∴，∴，同理：，∴，∴四邊形EFGH為平行四邊形，作交于點P，交于點K，設，∵，，，，∴，，，，∴，，∴，∵，∴ABKH為矩形，即，∵，，∴，即，解得：，∴四邊形EFGH的周長為：，故選：A.【點睛】本題考查矩形的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，勾股定理，全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是利用求出a的值．4.(2023宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（）

A. B. C. D.答案:C解析：分析：先根據矩形的性質和折疊的性質，利用“AAS”證明，得出，，設，則，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程得出x的值，最后根據余弦函數的定義求出結果即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數的定義，根據題意證明，是解題的關鍵．5．(2023內江）（6分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是10．分析：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE＝FG，則AF+CE＝AF+FG，可知當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，利用勾股定理求出AG的長即可．【解答】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點評】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理等知識，作輔助線將AF+CE的最小值轉化為AG的長是解題的關鍵．6.(2023雅安）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．答案:解析：分析：利用矩形與軸對稱的性質先證明再利用勾股定理求解再利用三角形的面積公式可得答案．【詳解】解：把一張矩形紙片沿對角線折疊，BC＝9，CD＝3，解得：故答案為：【點睛】本題考查的是矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，證明是解本題的關鍵．7.(2023眉山）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．答案:6解析：分析：作點B關于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；然后求出和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，作點B關于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；∵AC是矩形的對角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對稱的性質，得，，∴，∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，特殊角的三角函數值，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的找到點P使得有最小值．8.(2023自貢）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．答案:解析：分析：如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，可得四邊形EFCH是平行四邊形，從而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的長，即可求解．【詳解】解：如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴，即的最小值為．故答案為：【點睛】此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題，矩形的性質，勾股定理等知識，確定GE+CF最小時E，F位置是解題關鍵．9.(2023成都）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．

（1）【嘗試初探】在點的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由．（2）【深入探究】若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發生變化，當是線段中點時，求的值．（3）【拓展延伸】連接，，當是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數式表示）．答案:（1）見解析（2）或（3）或解析：分析：（1）根據題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求證；（2）根據題意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根據△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；（3）根據題意可得EG=nBE，然后分兩種情況：當FH=BH時，當FH=BF=nBE時，即可求解．【小問1詳解】解：根據題意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；【小問2詳解】解：根據題意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，設DH=x，AE=a，則AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；【小問3詳解】解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如圖，當FH=BH時，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如圖，當FH=BF=nBE時，

，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質，矩形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識是解題的關鍵．10.(2023南充）如圖，在矩形中，點O是的中點，點M是射線上動點，點P在線段上（不與點A重合），．

（1）判斷的形狀，并說明理由．（2）當點M為邊中點時，連接并延長交于點N．求證：．（3）點Q在邊上，，當時，求的長．答案:（1）為直角三角形，理由見解析（2）見解析（3）或12解析：分析：（1）由點O是的中點，可知，由等邊對等角可以推出；（2）延長AM，BC交于點E，先證，結合（1）的結論得出PC是直角斜邊的中線，推出，進而得到，再通過等量代換推出，即可證明；（3）過點P作AB的平行線，交AD于點F，交BC于點G，得到兩個K型，證明，，利用相似三角形對應邊成比例列等式求出QF，FP，再通過即可求出DM．【小問1詳解】解：為直角三角形，理由如下：∵點O是的中點，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為直角三角形；【小問2詳解】證明：如圖，延長AM，BC交于點E，

由矩形的性質知：，，∴，∵點M為邊中點，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，即C點為BE的中點，由（1）知，∴，即為直角三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴；【小問3詳解】解：如圖，過點P作AB的平行線，交AD于點F，交BC于點G，

由已知條件，設，，則，，．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴，解得，∴，將代入得，整理得，解得或．∵，，∴，∴，即，∴，∴當時，，當時，，此時點M在DC的延長線上，綜上，的長為或12．【點睛】本題考查矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，相似三角形的判定與性質等，第3問有一定難度，解題關鍵是作輔助線構造K字模型．11.(2023自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發生改變（四邊形具有不穩定性）．（1）通過觀察分析，我們發現圖中線段存在等量關系，如線段由旋轉得到，所以．我們還可以得到＝，＝；（2）