2.3.2平面向量的正交分解及坐標表示2.3.3平面向量的坐標運算必備知識·自主學習導思(1)在平面內,規定e1,e2為基底,那么一個向量關于e1,e2的分解是唯一的嗎?(2)在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,任作一向量=xi+yj,那么(x,y)與A點的坐標相同嗎?如果向量也用(x,y)表示,那么這種向量與實數對(x,y)之間是否一一對應?(3)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何求a+b,a-b,λa的坐標?若A(x1,y1),B(x2,y2),你能求出的坐標嗎?1.平面向量坐標的相關概念【思考】

(1)正交分解與平面向量基本定理有何聯系?提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直時).(2)向量的坐標就是其終點的坐標嗎?提示:不一定,以坐標原點O為始點的向量坐標就是該向量的終點坐標,如果向量不是以坐標原點為始點,則向量坐標就跟終點坐標不同,而對同一向量或相等向量(向量坐標相同),若選擇不同的始點坐標,則終點坐標也不同.2.平面向量的坐標運算若a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則:(1)a+b=____________,(2)a-b=____________,(3)λa=___________.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)即兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差,數乘向量的積的坐標等于數乘向量的相應坐標.(4)向量坐標的幾何意義:如圖所示,在平面直角坐標系中,若A(x1,y1),則=(x1,y1),若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1).【思考】(1)平面向量的加法坐標運算法則若寫成“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(y1+y2,x1+x2)”可以嗎?提示:不可以,兩向量的橫坐標之和作為和向量的橫坐標,縱坐標之和作為和向量的縱坐標.(2)“若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x1-x2,y1-y2)”對嗎?提示:不對,應該用終點坐標減去始點坐標.【思考】(1)平面向量的加法坐標運算法則若寫成“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(y1+y2,x1+x2)”可以嗎?提示:不可以,兩向量的橫坐標之和作為和向量的橫坐標,縱坐標之和作為和向量的縱坐標.(2)“若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x1-x2,y1-y2)”對嗎?提示:不對,應該用終點坐標減去始點坐標.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個向量的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同. (

)(2)當向量的始點在坐標原點時,向量的坐標就是向量終點的坐標. (

)(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關. (

)(4)點的坐標與向量的坐標相同. (

)提示:(1)×.兩個終點不同的向量可能是相等向量,它們的坐標相同.(2)√.根據向量的坐標表示,當始點在原點時,終點與始點坐標之差等于終點坐標.(3)×.根據兩向量差的運算,兩向量差的坐標與兩向量的順序有關.(4)×.當向量的始點在坐標原點時,向量的坐標等于(終)點的坐標.2.若3x-2(x-a)=0,則向量x等于 (

)

A.2a B.-2a C.a D.-a【解析】選B.由題知3x-2x+2a=0所以x=-2a.3.(教材二次開發:練習改編)已知A(3,1),B(2,-1),則的坐標是 (

)A.(-2,-1) B.(2,1)C.(1,2) D.(-1,-2)【解析】選C.=(3,1)-(2,-1)=(1,2).【解析】選C.=(3,1)-(2,-1)=(1,2).關鍵能力·合作學習類型一向量的坐標表示(數學運算、直觀想象)【題組訓練】1.(2020·青島高一檢測)已知=(1,3),且點A(-2,5),則點B的坐標為 (

)A.(1,8) B.(-1,8) C.(3,2) D.(-3,2)2.如圖所示,在正方形ABCD中,O為中心,且=(-1,-1),則=________;=________;=________.

3.在平面直角坐標系xOy中,向量a,b,c的方向如圖所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分別計算出它們的坐標.【解析】1.選B.設B的坐標為(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),所以解得所以點B的坐標為(-1,8).2.如題干圖,=-(-1,-1)=(1,1),由正方形的對稱性可知,B(1,-1),所以=(1,-1),同理=(-1,1).答案:(1,-1)

(1,1)

(-1,1)3.設a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),則a1=|a|cos45°=a2=|a|sin45°=b1=|b|cos120°=b2=|b|sin120°=c1=|c|cos(-30°)=c2=|c|sin(-30°)=4×=-2.因此a=(,),c=(2,-2).【解題策略】求向量坐標的方法(1)平移法:把向量的起點移至坐標原點,終點坐標即為向量的坐標.(2)求差法:先求出這個向量的始點、終點坐標,再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標.【補償訓練】1.已知O是坐標原點,點A在第二象限,||=6,∠xOA=150°,向量的坐標為________.

【解析】設點A(x,y),則x=||cos150°=6cos150°=-3,y=||sin150°=6sin150°=3,即A(-3,3),所以=(-3,3).答案:(-3,3)2.已知邊長為2的正三角形ABC,頂點A在坐標原點,AB邊在x軸上,C在第一象限,D為AC的中點,分別求向量,,,的坐標.

【解析】如圖,正三角形ABC的邊長為2,則頂點A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),所以C(1,),所以=(2,0),=(1,),3.如圖,已知在邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.如圖,求點B和點D的坐標和與的坐標.【解析】由題意知B,D分別是30°,120°角的終邊與單位圓的交點.設B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函數的定義,得x1=cos30°=,y1=sin30°=,所以B.x2=cos120°=-,y2=sin120°=,所以D所以類型二向量的坐標運算(直觀想象、數學運算)【題組訓練】1.已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-3,-3),則向量(

)

A.(3,2) B.(-3,-2)C.(-1,-2) D.(1,2)2.已知向量a,b的坐標分別是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐標.3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且求M,N及的坐標.【解析】1.選B.因為A(0,1),B(3,2),所以=(3,1),所以2.a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),3a=3(-1,2)=(-3,6),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).3.方法一:由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6).設M(x1,y1),N(x2,y2),則=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20;=(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2),=(9,2)-(0,20)=(9,-18).方法二:設點O為坐標原點,則由可得從而所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),即點M(0,20),N(9,2),故=(9,2)-(0,20)=(9,-18).【解題策略】平面向量坐標運算的技巧(1)若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的運算法則進行.(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算.(3)向量的線性坐標運算可完全類比數的運算進行.【補償訓練】1.已知M(3,-2),N(-5,-1),則P點坐標為________.

【解析】設P(x,y),=(x-3,y+2),=(-8,1).所以

答案:

2.若A,B,C三點的坐標分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐標.【解析】因為=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18).-=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).類型三向量坐標運算的應用(數學運算、邏輯推理)角度1利用坐標運算表示向量

【典例】如圖,已知O是△ABC內一點,∠AOB=150°,∠BOC=90°,設=a,=b,=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,試用向量a,b表示向量c.【思路導引】建立直角坐標系,由所給條件結合三角函數定義寫出點A,B,C的坐標.結合坐標運算公式可用待定系數法求得向量c.【解析】如圖,以O為原點、為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系,由三角函數的定義,得B(cos150°,sin150°),C(3cos240°,3sin240°).即又因為A(2,0),故a=(2,0),b=,c=設c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R).所以c=-3a-3b.【變式探究】

本例條件不變，試用向量a，c表示向量b【解析】如圖,以O為原點、為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系,由三角函數的定義,得B(cos150°,sin150°),C(3cos240°,3sin240°).即又因為A(2,0),故a=(2,0),b=

設b=λ1a+λ2c(λ1,λ2∈R).所以角度2利用坐標運算求參數

【典例】已知A(-3,0),B(0,2),O為坐標原點,點C在∠AOB內,|OC|=2,且∠AOC=.設(λ∈R),則λ=________.

【思路導引】由題意畫出圖形,根據向量線性運算法則對條件“”適當轉化,再應用向量坐標運算解決.【解析】如圖,過C作CE⊥x軸于點E,由∠AOC=知,|OE|=|CE|=2,所以所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=.答案:

【解題策略】(1)由向量的坐標定義知,兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b?x1=x2且y1=y2.(2)利用向量的坐標運算解題,主要是根據相等的向量坐標相同這一原則,通過列方程(組)進行求解.(3)利用坐標運算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐標,再用待定系數法求出相應系數.【題組訓練】1.(2020·濟寧高一檢測)已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10).若

(λ∈R),試求λ為何值時,(1)點P在一、三象限角平分線上.(2)點P在第三象限內.【解析】設點P的坐標為(x,y),則=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).因為

(1)若P在一、三象限角平分線上,則5+5λ=4+7λ,所以λ=,所以λ=時,點P在一、三象限角平分線上.(2)若P在第三象限內,則所以λ<-1.當λ<-1時,點P在第三象限內.2.已知點O(0,0),A(1,2),B(4,5),及是否存在t值,使四邊形OABP為平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.【解析】因為=(1,2),=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).所以=(3-3t,3-3t).若四邊形OABP為平行四邊形,則,所以該方程組無解.故不存在t值使四邊形OABP成為平行四邊形.【拓展延伸】線段定比分點坐標公式如圖所示,若點P是線段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的點,且滿足=λ,即=λ,則點P的坐標為【拓展訓練】證明上述命題的正確性.【證明】設點P(x,y),由=λ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),

當λ≠-1時,則P點坐標為特別地,①當λ=1時,點P坐標為,這就是線段P1P2的中點坐標公式;②若λ<0,則點P在P1P2的延長線或其反向延長線上,點P的坐標不變.【補償訓練】已知A(2,1),B(3,-1)及直線l:y=4x-5,直線AB與l相交于P點,求P點分的比λ的值.【解析】設P(x,y),則由=λ及定比分點坐標公式得:(x,y)=,又因為P點在直線l上,所以所以λ=-.1.(2020·包頭高一檢測)下列說法正確的有 (

)①向量的坐標即此向量終點的坐標.②位置不同的向量其坐標可能相同.③一個向量的坐標等于它的終點坐標減去它的始點坐標.④相等的向量坐標一定相同.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個課堂檢測·素養達標【解析】選C.向量的坐標是其終點坐標減去起點對應坐標,故①錯誤;②正確;③正確;④正確.2.已知=a,且則λa等于(

)【解析】選A.因為3.(教材二次開發:練習改編)設平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則2a-3b等于 (

)A.(0,7) B.(12,7) C.(-1,7) D.(12,3)【解析】選B.2a-3b=(6,10)-(-6,3)=(12,7).4.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),則=________.

【解析】因為A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以=(2,3),=(-3,3).所以=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).答案:(-4,9)5.如圖,在平面直角坐標系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時圓上一點P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動.當圓滾動到圓心位于(2,1)時,求的坐標.【解析】設A(2,0),B(2,1),由題意知劣弧長為2,半徑為1,∠ABP==2.設P(x,y),則x=2-1×cos=2-sin2,y=1+1×sin=1-cos2,所以的坐標為(2-sin2,1-cos2).Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholda