專題15等式性質與不等式性質【知識點梳理】知識點一、符號法則與比較大小實數的符號：任意，則(為正數)、或(為負數)三種情況有且只有一種成立.兩實數的加、乘運算結果的符號具有以下符號性質：①兩個同號實數相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數相乘，積是正數符號語言：； ③兩個異號實數相乘，積是負數符號語言：④任何實數的平方為非負數，0的平方為0符號語言：，.比較兩個實數大小的法則：對任意兩個實數、①；②；③.對于任意實數、，，，三種關系有且只有一種成立.知識點詮釋：這三個式子實質是運用實數運算來比較兩個實數的大小關系.它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據.知識點二、不等式的性質不等式的性質可分為基本性質和運算性質兩部分基本性質有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運算性質有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質是不等式同解變形的依據.知識點三、比較兩代數式大小的方法作差法：任意兩個代數式、，可以作差后比較與0的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個值為正的代數式、，可以作商后比較與1的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則(實質是不等式的傳遞性).一般選擇0或1為中間量.【題型歸納目錄】題型一：用不等式(組)表示不等關系題型二：作差法、作商法比較兩數(式)的大小題型三：利用不等式的性質判斷命題真假題型四：利用不等式的性質證明不等式題型五：利用不等式的性質比較大小題型六：利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍【典例例題】題型一：用不等式(組)表示不等關系例1．(2023·甘肅酒泉·高一統考期末)鐵路總公司關于乘車行李規定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c(單位：cm)，這個規定用數學關系式可表示為(

)A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由長、寬、高之和不超過130cm得，由體積不超過得.故選：C.例2．(2023·四川眉山·高一校考階段練習)將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關系為(

)A． B．或C． D．【答案】D【解析】由題意,可知另一段繩子的長度為.因為兩段繩子長度之差不小于，所以，化簡得：.故選：D例3．(2023·西藏林芝·高一校考期中)下列說法正確的是(

)A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”【答案】B【解析】對于A，某人收入x不高于2000元可表示為，A錯誤；對于B，變量y不超過a可表示為，B正確；對于C，變量x至少為a可表示為，C錯誤；對于D，小明身高，小華身高，小明比小華矮表示為，D錯誤.故選：B.變式1．(2023·黑龍江雙鴨山·高一校考期中)完成一項裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現有工人工資預算2000元，設木工人，瓦工人，則請工人滿足的關系式是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，請工人滿足的關系式是，即.故選：D變式2．(2023·全國·高一專題練習)在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點100米以外(含100米)為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區，導火索的長度x(單位：厘米)應滿足的不等式為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導火索的長度x(單位：厘米)，故導火索燃燒的時間為秒，人在此時間內跑的路程為米，由題意可得．故選：B．變式3．(2023·安徽蚌埠·高一蚌埠二中校考開學考試)在數軸上點對應的數分別是，點在表示和的兩點之間(包括這兩點)移動，點在表示和0的兩點(包括這兩點)之間移動，則以下四個代數式的值，可能比2021大的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意.可知：而是負數，只有的值可以超過2021，如，故選：D.題型二：作差法、作商法比較兩數(式)的大小例4．(2023·高一課時練習)比大小：_____．【答案】>【解析】因為，，所以，，因為，所以，所以.故答案為：.例5．(2023·湖南郴州·高一校考階段練習)已知，，則的大小關系是_______．【答案】【解析】由于，所以.故答案為：例6．(2023·四川成都·高一校考階段練習)已知，，則與的大小關系為__________．【答案】/【解析】因為，，所以，所以.故答案為：變式4．(2023·吉林長春·高一校考階段練習)設、為實數，比較兩式的值的大小：_______(用符號或=填入劃線部分)．【答案】【解析】因為，時等號成立，所以．故答案為：變式5．(2023·全國·高一專題練習)，則的大小關系為_______．【答案】≥【解析】因為，則由所以故答案為：變式6．(2023·上海寶山·高一校考期中)如果，，那么，，從小到大的順序是___________【答案】【解析】因為三個式子很明顯都是負數，所以，所以；同理，所以。綜上：故答案為：題型三：利用不等式的性質判斷命題真假例7．(多選題)(2023·高一單元測試)如果滿足，且，那么下列不等式中一定成立的是()A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由實數滿足，且，可得，對于A中，由，可得，所以A正確；對于B中，由，可得，因為，所以，所以B正確；對于C中，當，則，可得，所以C不正確；對于D中，由，可得，因為，所以，所以D正確.故選：ABD.例8．(多選題)(2023·全國·高一專題練習)下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】對于A，當時，不等式不成立，故A是假命題；對于B，若，則，，所以，故B是真命題；對于C，若，則，所以，故C是假命題；對于D，若，則成立，故D是真命題.故選：BD.例9．(多選題)(2023·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級中學校聯考階段練習)已知∈R，則下列結論正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對于A：因為，所以，所以，故A正確；對于B：因為，所以，兩邊同乘以得，故B正確；對于C：因為，所以，所以，又，兩式相乘得，故C錯誤；對于D：,因為，所以,所以，所以，故D正確.故選：ABD變式7．(多選題)(2023·湖南長沙·高一校聯考階段練習)下列不等式成立的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【解析】對于A，當時，則，故A錯誤；對于B，由，則，，故B正確；對于C，當，則，故C錯誤；對于D，由，，則，所以，故D正確．故選：BD．變式8．(多選題)(2023·寧夏吳忠·高一統考期中)若是不為0的實數，且，則下列不等式一定成立的是(

)A． B． C． D．【答案】BD【解析】對于A，當，時，，故A不正確；對于B，因為，，即，故B正確；對于C，當時，，故C不正確；對于D，由可得或或，當時，則，故，即，當時，則，故，當時，則，所以由可得，故D正確.故選：BD．變式9．(多選題)(2023·遼寧丹東·高一統考期末)若，，則下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于A，由，則，故A正確；對于B，，由，所以，故B錯誤；對于C，由，可得，所以，所以，故C錯誤；對于D，，由，則，即，故D正確.故選：AD.題型四：利用不等式的性質證明不等式例10．(2023·高一課時練習)證明下列不等式：(1)已知，求證(2)已知，求證：．【解析】(1)證明：，，，，又因為，即，所以.(2)證明：，，；又，，；.例11．(2023·河北石家莊·高一校考期中)(1)比較與的大小．(2)已知，求證：；【解析】(1)，所以.(2)因為，所以，所以，所以，即.例12．(2023·內蒙古呼和浩特·高一統考期中)證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【解析】(1)證明：，因為，，所以，，又bd＞0，所以，，即.(2)證明：因為a＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，成立；因為，，所以，，又，所以，成立.所以，有.變式10．(2023·高一課時練習)閱讀材料：(1)若，且，則有(2)若，則有．請依據以上材料解答問題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．【解析】因為a，b，c是三角形的三邊，則，由材料(1)知，，同理，，由材料(2)得：，所以原不等式成立.變式11．(2023·河北衡水·高一校考階段練習)已知，，求，的取值范圍．【解析】因為，所以．

又，所以，即．

因為，所以，因為，所以，

所以，即．

所以的取值范圍是，的取值范圍是．題型五：利用不等式的性質比較大小例13．(2023·高一課時練習)已知，則下列結論不正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正確；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正確；取，則，此時，故C錯誤；∵c＞d＞0，則，又a＞b＞0，則，故D正確．故選：C．例14．(2023·高一課時練習)若，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，C，令，滿足，而，，AC錯誤；對于B，令，，B錯誤；對于D，，D正確.故選：D例15．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學校校考期中)設、、為實數，且，則下列不等式正確的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因為、、為實數，且，所以，，，，故A錯誤，D正確；當時，故B錯誤，因為，所以，故C錯誤；故選：D變式12．(2023·福建泉州·高一校考期中)若，一定成立的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】若，則，故A正確；當時，，故BC錯誤；當時，，故C錯誤.故選：A.變式13．(2023·全國·高一專題練習)已知，且，則下列結論中正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且，可得，A正確；取，滿足條件，但，B錯誤；取，滿足條件，但，，C，D錯誤；故選：A變式14．(2023·安徽合肥·高一校考期末)下列命題為真命題的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】對于A，若，則，當時不成立，故A錯誤；對于B，若，所以，則，故B正確；對于C，若，則，取，計算知不成立，故C錯誤；對于D，若，則，取，計算知不成立，故D錯誤.故選：B.題型六：利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍例16．(2023·高一課時練習)已知，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，在中，∵，∴，解得：，故答案為：.例17．(2023·江西贛州·高一上猶中學校考周測)若α，β滿足，則的取值范圍是______________【答案】【解析】因為，所以，，∴，又，∴．故答案為：例18．(2023·貴州貴陽·高一校聯考期中)已知，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】∵，∴，∵，∴.故答案為：.變式15．(2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習)已知，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設，所以，解得，因為，，則，，因此，.故答案為：.變式16．(2023·上海寶山·高一上海市吳淞中學校考階段練習)若，，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】令，則，解得，因為，，故.故答案為：變式17．(2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考階段練習)已知，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意可得，因為，所以，故，即的取值范圍是，故答案為：變式18．(2023·高一課時練習)若、滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，則，，且，所以，，所以，.故的取值范圍是.故答案為：.變式19．(2023·吉林·高一吉林毓文中學校考階段練習)若實數，滿足，則的取值范圍為__．【答案】【解析】由不等式的性質求解即可．，因為實數，滿足，所以，即的取值范圍為．故答案為：．【過關測試】一、單選題1．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山區第一中學校考期末)已知，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】,，又，故選：C2．(2023·山東濟寧·高一曲阜一中校考期末)已知，，則的范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設，得，解得：，所以，因為，，所以，，所有的范圍是.故選：C3．(2023·高一課時練習)下列各式中，不能判斷其符號的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，故A正確；，故B正確；當時，；當時，，故C正確；當時，；當時，；當時，，則的值可正，可負，也可能為0，故D錯誤.故選：D.4．(2023·高一課時練習)若，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則，則，即，即，故選：D.5．(2023·高一單元測試)設，，則有(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】，∴.故選：A.6．(2023·廣西·高一校聯考期中)下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【解析】對于A：當時，，A錯誤；對于B：當時，，B錯誤；對于C：取滿足，，而，此時，C錯誤；對于D：當時，則，所以，即，又，所以，D正確.故選：D.7．(2023·高一校考課時練習)下列說法中，錯誤的是(

)A．若，則一定有 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對于A，若，則，故A錯誤.對于B，由，可知，所以，所以.故B正確.對于C，，因為，所以，所以.故C正確.對于D，因為，所以.又，所以.故D正確.故選：A.8．(2023·江蘇鹽城·高一統考期中)設，，，則P，Q，R的大小順序是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，而，，而，，即，綜上，.故選：B.二、多選題9．(2023·浙江·高一校聯考期中)已知實數，則下列不等式正確的是(

)A． B． C． D．【答案】BCD【解析】對于A項，取，，，，則，，所以，故A項錯誤；對于B項，由已知可得，，，所以，故B項正確；對于C項，因為，所以.因為，所以，故C項正確；對于D項，因為，所以.因為，所以，所以，所以.又，所以，，所以，故D項正確.故選：BCD.10．(2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學校考階段練習)已知，則下列結論正確的為(

)A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【解析】對于A：當，，則，若，，，，顯然滿足，，但是、，此時，故選項A錯誤；對于B：因為若，所以，又，則，故選項B錯誤；對于C：因為，所以，即，所以，故選項C正確；對于D：若，則，又因為，所以根據不等式的同向可加性，得，故選項D正確；故選：CD11．(2023·云南昆明·高一昆明一中統考期末)已知為實數，則(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】當時，，A錯誤；，則，即，B正確；，則，，∴，∴，C正確；，則，，，∴，即，D正確．故選：BCD．12．(2023·吉林長春·高一校考階段練習)已知，，則下列不等式不正確的是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】，，，，故A正確；，，，，故B不正確；設，則，，，，，，，，，，故C正確、D錯誤；故選：BD.三、填空題13．(2023·高一課時練習)已知均為實數，有下列說法:①若，則;②若，則;③若，則;④若，則.其中，正確的結論是________.(填序號)【答案】③【解析】①用特殊值法檢驗．令，有，故①錯誤；②當時，有，故②錯誤；③當時，有，從而，故③正確；④當時，顯然有，故④錯誤．綜上，只有③正確.故答案為：③14．(2023·北京·高一北京市十一學校校考期末)已知對于實數，，滿足，，則的最大值為______.【答案】7【解析】由，可得，，因為，，所以，故，則的最大值為7，故答案為：715．(2023·上海黃浦·高一上海外國語大學附屬大境中學校考階段練習)已知，有四個推理：①；②；③；④，其中正確的序號是_____．【答案】③【解析】對于①，當時，顯然不等式不成立，故①錯誤；對于②，當時，滿足，不滿足，故②錯誤；對于③，由，則，即，故③正確；對于④，由得同號，故當時，等價于，故，故④錯誤.故答案為：③16．(2023·青海玉樹·高一校聯考期末)已知，則__________．(填“＞”“＜”或“＝”)【答案】【解析】，因為