2.2《平方根》第一課時教學(xué)設(shè)計

(-)創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

活動一：復(fù)習(xí)舊知

問題1：老師手中有一正方形圖片，若已知邊長是3時，同學(xué)們說其面積是多少呢？

生：32=9并在黑板上寫出.

問題2：以上算式屬于我們學(xué)過的什么運算？在此算式中存在幾個量？分別是什么？

生：乘方運算；存在三個量；底數(shù)、指數(shù)和暴.

問題3：乘方運算是知道了哪些量求哪個量的運算？

生：底數(shù)、指數(shù)求累的運算.

活動二：探究新知

問題4：若正方形的面積是9時，同學(xué)們說其邊長是多少呢？

師：同學(xué)們我們比較這兩種運算，有什么區(qū)別？

生：第一種運算，是知道了底數(shù)、指數(shù)求累的運算即乘方運算；第二種運算，是知道了

累、指數(shù)求底數(shù)的運算.

師：很好，第二種運算就是今天我們要學(xué)習(xí)的一種新運算一求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的

運算.

(板書1)§2.2算術(shù)平方根

設(shè)計意圖：通過利用舊知，引入新知.學(xué)生樂于去做，敢于發(fā)言，同時，讓學(xué)生感受到，

通過自己的探究，“玩”出了很多意想不到的收獲，使數(shù)學(xué)課不再枯燥.注重了用數(shù)學(xué)的方法

去研究問題，從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，使數(shù)學(xué)課更具有數(shù)學(xué)味，同時，也揭示了本節(jié)課的

問題5：若正方形的面積是3時，同學(xué)們說其邊長必又是多少呢？

師：通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道它的范圍是多少？它具體是多少，你知道嗎？

生：1.7<w<l.8,1.73<w<l.74,???；是無限不循環(huán)小數(shù).

師：同學(xué)們，這是我們在小學(xué)遇到過“兀”的基礎(chǔ)上，又一次遇到不能準(zhǔn)確的去表示一

個數(shù)，為了能精確的表示它，我們引進一個新的記號“「，讀作“根號”.我們就用73

來表示相，這就好比小學(xué)中我們學(xué)過的圓周率3.1415926…，它就是一個無限不循環(huán)小數(shù)，

為了能表示它，就用一個符號“力”來表示一樣的道理.

設(shè)計意圖：通過自主探索，讓學(xué)生親身體驗概念的形成過程，感受到概念引入的必要性，

充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體作用.

結(jié)論：像以上算式〃？=3中，我們就把正數(shù)，"叫做3的算術(shù)平方根.記作：”，即

"7=G

問題6：請仿照上面表示''若加2=3,則根=百”的辦法，試著分別表示出下列正數(shù)x.

(1)^=3(2)/=5(3)/=7(4)>~=a(〃>0)

設(shè)計意圖：算術(shù)平方根的概念是由具體到抽象、由特殊到一般而形成的.通過問題6

的嘗試，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.

(二)多方聯(lián)動、理解新知

師：現(xiàn)在我們一起來概括算術(shù)平方根的定義：

(板書2)：一般的，一個正數(shù)x的平方等于“，即則這個正數(shù)x就叫做。的算術(shù)

平方根.記為“無”讀作“根號.

(板書3)：0的算術(shù)平方根是0,即、同=0.

問題1：用含根號的式子表示下列各數(shù)的算術(shù)平方根.(多媒體出示)

(1)16(2)25(3)7(4)14

(學(xué)生獨立完成后交流，并不失時機地追問)

師：通過此問題，你會有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：象屈=4,后=5一樣，這些正數(shù)可以寫成有理數(shù)平方的形式，其算術(shù)平方根就

可以用一個非負有理數(shù)表示，而有些正數(shù)寫不成有理數(shù)平方的形式，其算術(shù)平方根只能用根

號表示，如上面的7和14,它們的算術(shù)平方根只能分別寫成J7、V14.

設(shè)計意圖：強化對算術(shù)平方根概念的認識，當(dāng)細則細，為求出數(shù)的算術(shù)平方根搭建引橋，

目的在于慢中求進，扎實有效.

師：根據(jù)同學(xué)們的認識，我們一起來完成例題1.

例題1:求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（多媒體出示）

（1）1（2）900

解：（2）（老師板演第2題的解題過程）

V3（）2=900

，900的算術(shù)平方根是30

即曲頌0

設(shè)計意圖：規(guī)范學(xué)生解題的格式，讓學(xué)生明確解題的思路.

49

（3）106（4）—

64

解：（4）（老師板演第4題）

497

/.碑算術(shù)平方根是g

（5）10

設(shè)計意圖：體臉求一個正數(shù)的算術(shù)平方根的過程，摸索利用平方運算求一個正數(shù)的算術(shù)

平方根的方法，讓學(xué)生明白有的正數(shù)的算術(shù)平方根可以開出來，有的正數(shù)的算術(shù)平方根只能

用根號表示，如：io的算.術(shù)平方根是同時，突出了本節(jié)課的教學(xué)重點.

思考：通過上面的例題，大家思考一下，我們在求算術(shù)平方根時是借助于哪一種運算來

求的？（多媒體出示）

設(shè)計意圖：讓學(xué)生感知平方運算和求正數(shù)的算術(shù)平方根是互逆的關(guān)系.

問題2：仿照''例題1"，請同學(xué)們自己編寫兩道類似的題目，供其他同學(xué)解答.

設(shè)計意圖：要把所學(xué)的新知識，融入到自己已有的知識結(jié)構(gòu)中來，通過編題，增進學(xué)生

對概念的理解，力求做到學(xué)以致用，舉一反三.

師：同學(xué)們，我們都能編題了，真了不得！看來下面的實際問題已不在話下.（出示例

題2）

例題2：自由下落的物體的高度〃（米）與下落時間/（秒）的關(guān)系為H4.9R有一鐵球從19.6

米高的建筑物上自由下落，到達地面需要多長時間？（多媒體出示）

（多媒體演示解題過程）

解：將6=19.6代入公式6=4.9產(chǎn)得尸=4,所以仁"=2（秒），即鐵球到達地面需要2秒.

設(shè)計意圖：用算術(shù)平方根的知識解決實際問題，把數(shù)學(xué)與生活實施了鏈接，以增進學(xué)生

對數(shù)學(xué)價值的體悟.

問題3：◎有意義嗎？為什么？（多媒體出示）

分析：q無意義，因為任何數(shù)的平方都是非負數(shù)，即/NO,故j萬無意義.

（板書4）：性質(zhì)

算術(shù)平方根是非負數(shù)，負數(shù)沒有算術(shù)平方根.用式子表示為為非負數(shù)，這是算

術(shù)平方根的一條很重要的性質(zhì).

設(shè)計意圖：讓學(xué)生認識到算術(shù)平方根.定義中的兩層含義：G中的a是一個非負數(shù)，a

的算術(shù)平方根G也是一個非負數(shù)，負數(shù)沒有算術(shù)平方根.這也是算術(shù)平方根的性質(zhì)一一雙

重非負性.

師：現(xiàn)在，同學(xué)們對算術(shù)平方根的認識可以說已經(jīng)較為全面，事實到底如何呢？小試

牛刀，看看自己的身手吧！

（三）自主運用、強化新知

1.填空：（多媒體出示）

（1）工的算術(shù)平方根是.

9

7

（2）1-的算術(shù)平方根為.

9

（3）商的算術(shù)平方根為.

設(shè)計意圖：通過三個遞進式的填空題，檢測學(xué)生對算術(shù)平方根概念的把握情況，并通過

（3）小題突出審題意識、優(yōu)化學(xué)生的思維習(xí)慣.

2.若一個正方形的邊長為3時;當(dāng)面積擴大原來的4倍后，其大正方形的邊長6變?yōu)樵?/p>

來的多少倍？（多媒體出示）

解：，：8=4X3?=36

b=V36=6

HP：大正方形的邊長是原來邊長的2倍.

3.請同學(xué)們寫出一些數(shù)的算術(shù)平方根，使它分別是整數(shù)、分數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù).（多

媒體出示）

設(shè)計意圖：通過這樣的開放式訓(xùn)練，使學(xué)生對算術(shù)平方根概念的認識和理解得到升華，

讓學(xué)生再一次品嘗到成功的喜悅.在師生互動的過程中，將課堂推向了高潮，把難以理解的

知識，像剝竹筍一樣一層一層的剝開，使學(xué)生眼前豁然一亮.同時，也突破了本節(jié)課的教學(xué)

難點.

師：同學(xué)們說的都很好，看來我們通過今天的學(xué)習(xí)，有了很多的收獲.

（四）合作交流、歸納總結(jié)

同學(xué)們，通過本節(jié)課的共同學(xué)習(xí)，請你從知識、方法與情感等方面談一談自己的認識.

師:這節(jié)課主要就平方根中的算術(shù)平方根進行討論，求一個正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個

正數(shù)的平方正好是互逆的過程，因此，求正數(shù)的算術(shù)平方根實際上可以轉(zhuǎn)化為求一個數(shù)的平

方運算.只不過，只有正數(shù)和。才有算術(shù)平方根，負數(shù)沒有算術(shù)平方根.

設(shè)計意圖：

通過回顧、梳理、反思，使學(xué)生對所學(xué)知識得到充分的消化和吸收，理順了各知識點間

的關(guān)系.老師重點從以下幾個方面進行強調(diào)：

1.算術(shù)平方根概念引入的重要性，尤其是讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程以及里面所蘊含的

數(shù)學(xué)思想；

2.算術(shù)平方根概念應(yīng)用的廣泛性；

3.倡導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、敢于創(chuàng)新.

（五）布置作業(yè)，自我鞏固

1.必做題：P40習(xí)題1、2、3.

2.選做題：

（1）一個正方形的面積為原來的100倍時，它的邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?/p>

（2）一個正方形的面積變?yōu)樵瓉淼摹ū稌r，它的邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?/p>

設(shè)計意圖：

設(shè)置分層作業(yè)，兼顧不同水平的學(xué)生，關(guān)注差異，使學(xué)生獲得各自的發(fā)展，加深學(xué)生對

“公式”的進一步理解的同時，擴展學(xué)生的思維，讓優(yōu)秀生有舒展的舞臺.

附

課外閱讀材料：“根號的由來”

現(xiàn)在，我們都習(xí)以為常地使用根號（如J-，曠等等），并感到它使用起來既簡明又方

便，那么，根號是怎樣產(chǎn)生和演變成現(xiàn)在這種樣子的呢？

古時候，埃及人用記號表示平方根；印度人在開平方時，在被開方數(shù)的前面寫上

ka；阿拉伯人用語表示相；1840年前后，德國人用一個點”.”來表示平方根，兩點”

表示4次方根，三個點”表示立方根，比如3、..3、...3就分別表示3的平方根、

4次方根、立方根。到十六世紀初，可能是書寫快的緣故，小點上帶了一條細長的尾巴，變

成‘‘我"。1525年，路多爾夫在他的代數(shù)著作中，首先采用了根號，比如他寫正4是2,

正9是3,并用表示我，朝。但是這種寫法未得到普遍的認可與采納.

與此同時，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個字母的大寫R來表示開方運算,

并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個字母q,或“立方”的第一個字母c,來表示開

的是多少次方。例如，現(xiàn)在的屈克，當(dāng)時有人寫成R.q.4352.現(xiàn)在的.7+、河，用數(shù)學(xué)

家邦別利（1526—1572年）的符號可以寫成R.c.e7p.R.q.14,其中。相當(dāng)于今天用

的括號，P相當(dāng)于今天用的加號（那時候，連加減號“+還沒有通用）.

直到十七世紀，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650年）第一個使用了現(xiàn)今用的根號

在一本書中，笛卡爾寫道：“如果想求a?的平方根，就寫作+/,如果想求

&3_63+口瓦）的立方根，則寫作Jed_/+a訕。”

這是出于什么考慮呢？有時候被開方數(shù)的項數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫

線把這幾項連起來，前面放上根號J（不過，它比路多爾夫的根號多了一個小鉤）就為現(xiàn)在

的根號形式。

現(xiàn)在的立方根符號出現(xiàn)得很晚，一直到十八世紀，才在一書中看到符號

%%'3的使用，比如25的立方根用歸表示。以后，諸如?，0，▼等等

形式的根號漸漸使用開來。

由此可見，一種符號的普遍采用是多么地艱難，它是人們在悠久的歲月中，經(jīng)過不斷改

良、選擇和淘汰的結(jié)果，它是數(shù)家們集體智慧的結(jié)晶，而不是某一個人憑空臆造出來的，不

是從天上掉下來的.

學(xué)生學(xué)情分析：

根據(jù)八年級學(xué)生的身心發(fā)展特點，我從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)現(xiàn)狀等方

面分析.

1.學(xué)生的已有基礎(chǔ)

學(xué)生在七年級時已學(xué)過了乘方的運算，上節(jié)課又學(xué)習(xí)了無理數(shù)，這就是本節(jié)課的

教學(xué)出發(fā)點，有助于本節(jié)學(xué)習(xí)活動的進行.

2.學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

此階段的學(xué)生具有很強的好奇心、強烈的“自我”和自我發(fā)展的意識，因此

對新鮮事物或新內(nèi)容特別感興趣，但缺乏學(xué)習(xí)的方法.學(xué)生已具備了對無理數(shù)的

認識，知道只有有理數(shù)是不夠的.學(xué)生還具備了乘方運算的基礎(chǔ)，并且有計算正

方形等幾何圖形面積的技能.在前面的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)

習(xí)的過程，具備了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗與交流的能力.這節(jié)課的教學(xué)，力求從

學(xué)生實際出發(fā)，以他們熟悉的問題情景引入學(xué)習(xí)主題，在關(guān)注現(xiàn)實生活的同時,

更加關(guān)注數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的挑戰(zhàn)性.

效果分析

關(guān)于評測練習(xí)：

第1題：學(xué)生有95%的能夠掌握，并且步驟敘述的比較規(guī)范；

第2、3題訓(xùn)練學(xué)生對概念的綜合應(yīng)用，有70%的學(xué)生能夠掌握。

第4、5題訓(xùn)練學(xué)生對算數(shù)平方根性質(zhì)綜合應(yīng)用，真是應(yīng)了那句“提出一個問題往往

比解決一個問題更困難”，只有約30%的學(xué)生完成的很輕松。

關(guān)于知識點的掌握：

達到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

教材分析：

本節(jié)課題是北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書八年級上冊第二章第二

節(jié)《平方根》第一課時的內(nèi)容.是在七年級學(xué)習(xí)了乘方運算的基礎(chǔ)上安排的，是

學(xué)習(xí)實數(shù)的準(zhǔn)備知識.由于實際計算中需要引入無理數(shù)，使數(shù)的范圍從有理數(shù)擴

充到了實數(shù)，從而完成了初中階段數(shù)的擴展；運算方面，在乘方的基礎(chǔ)上引入了

開方運算，使代數(shù)運算得以完善.因此，本節(jié)課是有助于了解n次方根的概念，

為今后學(xué)習(xí)根式運算、方程、函數(shù)等知識作出了鋪墊.

教學(xué)重點：

理解算關(guān)平方根的概念、性質(zhì)，會用根號表示一個正數(shù)的算術(shù)平方根.

教學(xué)難點：

根據(jù)算關(guān)平方根的概念正確求出非負數(shù)的算術(shù)平方根.

課堂達標(biāo)作業(yè)：

1.下列各數(shù)的算術(shù)平方根：

9

(1)36；(2)16；(3)13；(4)0.81；(5)104；

2.在直角三角形ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=5,求AB的長.

3.如圖，從帳篷支撐竿AB的頂部A向地面拉一根繩子AC固定帳

篷.若繩子的長度為8米，地面固定點C到帳篷支撐竿底部B的距

離是6.4米，則帳篷支撐竿的高是多少米？

A

4.一個正方形的面積為原來的100倍時，它的邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌?/p>

倍？

5.一個正方形的面積變?yōu)樵瓉淼膎倍時，它的邊長變?yōu)樵瓉淼亩嗌?/p>

倍？

課后反思：

這是一節(jié)概念教學(xué)課，要想讓學(xué)生正確、牢固地樹立起算術(shù)平方根的概念，

不僅需要讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，而且還要加強識別、辨析的訓(xùn)練.算術(shù)平

方根的概念是歷經(jīng)由具體到抽象、由特殊到一般的過程而形成的.