2023年上海高考數學名師模擬卷(14)

一.填空題(共12小題)

1

1.二項式(x-)8展開式中的常數項是(用數字作答).

y/x

2.已知i為虛數單位，〃為正實數，若151=2,則。=___

i

3.已知數列(??)的前n項和為5?=2"-1,則此數列的通項公式為.

4.已知|初=1,|5|=2,4+5=(-2,6),則|2d-b|=.

22

5.若橢圓上+21=1(機>3)的一個焦點為尸，橢圓上一點P到焦點F的最大距離是3,則

m3

橢圓的離心率為.

x+y..0

6.已知x,y滿足約束條件％,0,則z=3x-y的最小值為

x-y+2..0

7.集合A={x|y=，x+1},B={y|y=log2(x+1)},則408=.

8.已知圓G：(x+3)2+y2=l,G：Q_3)2+y2=8i,動圓c與圓c「G都相切，則動圓C

的圓心軌跡E的方程為一.

9.等差數列｛4｝中，公差為d,設S“是｛可｝的前〃項之和，且d>l,計算

..,5?1.

hm(----——+—)=___.

-wo("+i)a"d"

10.定義“規范01數列”他“｝如下：共有2機項，其中機項為0,機項為1,且對任

意、k”2m,4,生…%中0的個數不少于1的個數.若帆=4,則不同的“規范01數列”

共有個.

11.已知耳,色?是空間單位向量，e,-e2=e2-e3=e3-e,>若空間向量不滿足

a=xe,+ye^(x,yeR),\a\=2,則|心分|的最大值是.

12.在AABC中，ZA=150°,￡>,,D2,…，依次為邊3c上的點，且

BD、=D、D,=D,D、=...=DfQ2mo=DwoC,設NBAD、=a、,Z.DXAD-,=a-,>...>

ZD2Qt9AD2O2O=aM2O,ZD2020AC=aMl,則包巧包&*"L的值為_.

sina?sina4sina2020

二.選擇題(共4小題)

13.已知平面直角坐標系中不垂直于x軸的直線/，則“/的斜率等于k”是“/的傾斜角等

于arctan%”的()

A.充要條件B,充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又不必要條件

14.函數g(x)=4x3*的圖象可看成將函數/(x)=3,的圖象()

A.向左平移log：4個單位得到

B.各點縱坐標不變，橫坐標伸長的原來的4倍得到

C.向右平移log,4個單位得到

D.各點縱坐標不變，橫坐標縮短的原來的1倍得到

4

15.已知拋物線V=4y上的動點尸到直線/：y=-3的距離為d,A點坐標為(2,0),則

1PAi+〃的最小值等于()

A.4B.2+石C.2石D.3+行

16.若/(》)是R上的奇函數，且f(x)在［0,+8)上單調遞增，則下列結論：

①y=lf(x)l是偶函數；

②對任意的xeR都有/(-x)+"(X)1=0；

③y=f(_x)在(-00,0］上單調遞增；

④y=/(X)/(-X)在(-8，0］上單調遞增?

其中正確結論的個數為()

A.1B.2C.3D.4

三.解答題(共5小題)

17.設&=(1,及(sinx+cosx)),Z?=(1-2sin2(A+—),cos(x+—)),f(x)=a*(a+b),求：

44

(I)函數f(x)的最小正周期及最大值與最小值；

(II)函數〃幻的單調遞增區間.

18.某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統，以提高分揀效率和降

低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)=*Y+X+150萬元.

(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？

(2)現按(1)中的數量購買機器人，需要安排族人將郵件放在機器人上，機器人將郵件

送達指定落袋口完成分揀.經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量

.8

的〃?)=不皿6°-附，1釉，30(單位：件)，已知傳統人工分揀每人每日的平均分揀量為1200

470,"7>30

件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多

可減少百分之幾？

19.如圖，在四棱錐中，PC_L平面ABCD,AB//DC,DCrAC.

(1)求證：ZX7，平面PAC；

(2)求證：平面平面以C；

(3)設點E為他的中點，在棱尸5上是否存在點尸，使得P4//平面CM?說明理由.

2

20.已知點6、K為雙曲線C:V一方=13>0)的左、右焦點，過工作垂直于X軸的直線，

在X軸的上方交雙曲線C于點M,且NMK6=30。.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線/過點(0,1)且與雙曲線C交于A、B兩點,若A、3中點的橫坐標為1.求直

線/的方程；

(3)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為[、P2,求證:

PPx-PP2為定值.

21.(1)集合。={x|x=(X],x2,x?)>占=0或1},對于任意xeQ,定義/(x)=￡x：,

1=1

對任意左￡{0,1,2,...?/?},定義A*={x|/(x)=Z,xeQ}f記4為集合&的元素個數,

求4+2生+…+的值；

(2)在等差數列{4}和等比數列仍"中，4=々=2,—+b,是否存在正整數6,

使得數列仍〃}的所有項都在數列{凡}中，若存在，求出所有的人，若不存在，說明理由；

(3)已知當時，有一^=1-2x+4f—...+(_2x)"+...,根據此信息，若對任意|x|J,

2\+2x2

X

都有=4+qx+/廠+...+a,x”+…，求a“,的值.

(1-X3)(1+2X)

2023年上海高考數學名師模擬卷(14)

一.填空題(共12小題)

1

1.二項式(x-,展開式中的常數項是28(用數字作答).

y/x

4r

【解答】解:通項公式1+i=撤"=（T）<x3

令8——=0，解得r=6.

3

，常數項=鶯=28.

故答案為：28.

2.已知i為虛數單位，〃為正實數，若|漢旦|=2,貝lja=_6_.

i

【解答】解：|巴〃|=|-<"+1|=|出一1|=2,

i

:.a2+1=4,

解得a=±G?

,.?a為正實數，

a=>/3,

故答案為：6

3.已知數列｛4｝的前〃項和為S,,=2"-1,則此數列的通項公式為=

,l，

【解答】解：ln—1lb|'?a｝=Sj=2-1=1>

當.2時,a?=S?-S?_,=2"-1—(2"T_1)=2"-',

又2'T=1,所以=2"，

故答案為：a?=2'-'.

4.已知5|=1,出|=2,萬+5=(-2,6)，則12萬一5|=2

【解答】解：v|a|=l,|^|=2,4+石=(-2,我，

（a+b）2=a2+b2+2a-b=\+4+2a-b=1,解得ab-l<

\2a-b\=7（2a-ft）2=^4a2+b2-4a-b=,4+4-4=2.

故答案為：2.

?＞2

5.若橢圓土+匕=1（機＞3）的一個焦點為尸，橢圓上一點。到焦點尸的最大距離是3,則

m3

橢圓的離心率為-.

~2~

22

【解答】解：由橢圓二+二=1（加＞3）方程得，ci1=m."=3,所以〃c=Jm—3,

m3

又橢圓上一點P到焦點F的最大距離是3,所以而+而導=3,

解得m=4?

所以〃=2,c=1,

所以橢圓的離心率為e=￡=1.

a2

故答案為：

2

x+y..0

6.已知r,y滿足約束條件,用,0,則z=3x—y的最小值為_-4_.

x-y+2..0

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖,

聯立[x+y=O解得A（_]/），

[x-y+2=0

由z=3x-y,得y=3x-z,由圖可知，當直線y=3x-z過A時,

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為-4.

故答案為：-4.

7.集合A={x|y=Jx+1},B={y|y=log2(x+1)},則4n呂=—[TJ_+8)

【解答】解：?.?A={x|x…—1},B=R,

始8=[-1,4-00).

故答案為：[-1，+<?).

8.已知圓G:(x+3)2+y2=1,C?:(x-3)2+y2=81,動圓C與圓G，g都相切，則動圓C

。20)

的圓心軌跡E的方程為三+二=1或三+上=1.

—2516—167—

【解答】解：圓G的圓心為G(-3,0)，半徑為I，圓C2的圓心為C2(3,0),半徑為9,

①動圓〃同時與圓G內切，與圓G內切，

動圓M的半徑=|CGI+1=9-1CGI，g|J|CC21+1CC,|=8,

的軌跡為到定點C-C2距離和為常數8的點的集合，

22

即M的軌跡是橢圓：4=4,c=3,則8=4，M的軌方程為：—+—=1.

167

②動圓M同時與圓G外切，與圓C2內切，

可得動圓M的半徑=iCG?-1=9-1cc2\,8|J|CC21+1cc,i=io,

:.M的軌跡為到定點G,C2距離和為常數10的點的集合，

22

即M的軌跡是橢圓：4=5,c=3,則b=4,M的軌方程為：—+^-=1.

2516

2222

故答案為：工+工=1或三+二=1.

2516167

9.等差數列｛凡｝中，公差為4,設S“是｛%｝的前〃項之和，且d>l,計算

m2(n+\)and"2

【解答】解：在等差數列｛〃〃｝中，有4=4+(九-1)4,

S,="4+--—d-

n(n-1).d2,d、

s1照+d1不〃+(q—不)〃

則----——+—=----------------+—=3------------------

5+1)4dn5+l)(q+-l)d)dndrr++4—d

ci2/a、u.

S1不〃+(4-7)〃—I

故lim(-------——+——)=-------------——).

nw

〃一京(〃+1)4d^0°dn+axn+a}-dd2

故答案為：—.

2

10.定義“規范01數列”｛為｝如下：｛q｝共有2機項，其中團項為0,加項為1,且對任

意鼠2"，“，火…4中0的個數不少于1的個數.若枕=4,則不同的“規范01數列”

共有14個.

【解答】解：由題意可知，“規范01數列”有偶數項2m項，口所含0與1的個數相等，首

項為0,末項為1,若機=4,說明數列有8項，滿足條件的數列有:

0,0,0,0,1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1；0,0,0,1,1,0,1,1；0,

0,0,1,1,I,0,1；0,0,1,0,0,1,b1；

0,0,1,0,1,0,1,1；0,0,1,0,1,1,0,1；0,0,1,1,0,1,0,1；0,

0,1,1,0,0,1,1；0,1,0,0,0,1,1,1；

0,L0,0,1,0,L1：0,1,0,0,L1,0,1；0,L0,L0,0,1,1；0,

1,0,1,0,1,0,1.共14個.

故答案為14

H.已知冢wa是空間單位向量，&w=￡w=4G=g,若空間向量值滿足

a=xe^+ye^(x,yeR)9|a|=2,則|萬的最大值是_.

【解答】解：空間向量5滿足〃=*+ye2(x,yeR),=4=W=］，

由|圳=2,

整理得|32=萬.萬=4,

即f+>2+孫=4,

又|M?e3H(xq+W2)?631=；|x+y|，

由于f+y?..2盯，

所以由犬+9+個=4,整理得3孫，,，4,

4

即初,-，

所以|%+、|2=/+丁2+2xy-x2+y2+Ay+D,,4+g=4,

4

故Ix+yI,,—r=,

v3

in7M

所以I。/\=-\x+y\?

2，33

士后免去斗,26

故答案為：-----

3

12.在AABC中，ZA=150°,0,D2,…，巴磔依次為邊3C上的點，且

BD、=D、D?-D2Dy=…=。刈9。2020=D2020c，設/BAD、=%,ZD1AD2=a2

則sin%3吟0吟期的值為1

N02OI94^2O2O=^2020，N02O2()AC—^2021，

sina2sinaAsina2020—4042

【解答】解：注意到4+%+...+%020=150°，

在△叫中，&AB=二,

sin,sinNBD[AsinB

在△RAD,中，=—"一=屹

sin%s\nZAD2Bsin/AQC

sin。〕sin3

..—?

sina2s\nZAD2B

sin%_sinZADBsincrsinZADB

同理可得sm“3=sm/AD2B420192018

sin%sinZAD4Bsina6sinZ.ADbBsina2020sinZAD2O2OB

又。20200AC

sin—sinZAD2020C

5mC?sinZAD^C

sina2021=一^---------竺竺一，

AC

sin,sinc^sinazozi_AO2o^*sinB_BC乂sin8_sin15001

sina2sina4sina2O2OAC2021AC20214042

]

故答案為:

4042

13.已知平面直角坐標系中不垂直于x軸的直線/則“/的斜率等于人”是“/的傾斜角等

于arctanZ”的（）

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又不必要條件

【解答】解：當女..。時，由/的斜率等于3可得/的傾斜角等于arctan%,

當A<0時，山/的斜率等于％,可得/的傾斜角等于一4+arctank,

反之，I的傾斜角等于arctank，則直線/的斜率為tan(arctank)=k.

“/的斜率等于2”是“/的傾斜角等于arctan%”的必要非充分條件.

故選：C.

14.函數g(x)=4x3'的圖象可看成將函數/(x)=3、的圖象()

A.向左平移log34個單位得到

B.各點縱坐標不變，橫坐標伸長的原來的4倍得到

C.向右平移log34個單位得到

D.各點縱坐標不變，橫坐標縮短的原來的,倍得到

4

【解答】解：設宜線y=r與函數/(x)=3*及函數g(x)=4?3*的圖象分別相交于A、8兩點,

令3*=f,可得x=log,t,4x3*=f可得x=logy—>

故A、B兩點之間的距離為log.?t-logy==log3/-(log,t-log,4)=log34,

故函數g(x)=4x3*的圖象可看成將函數f(x)=y的圖象，向左平移logs4個單位得到的，

故選：A.

15.已知拋物線丁=4)，上的動點尸到直線/:)，=-3的距離為d,A點坐標為(2,0),則

|PA|+d的最小值等于()

A.4B.2+>/5C.2布D.3+逐

【解答】解：設拋物線的焦點為F,則F的坐標為(0,1),準線方程為>'=-1,

由拋物線的定義知，|PA|+d=|PA|+|PF|+2...|4F|+2=V^+2,當且僅當A,P,f三點

共線時，等號成立，

所以|PA|+d的最小值等于5/5+2.

故選：B.

16.若/(x)是A上的奇函數，且/(x)在［0,+O上單調遞增，則下列結論:

①y=|/(x)|是偶函數；

②對任意的xwR都有/(-x)+|7(x)1=0：

③y=/(-X)在(-00,0］上單調遞增：

④y=/(x)/(-x)在(-8，0］上單調遞增?

其中正確結論的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：是R上的奇函數，且〃x)在［0,+8)上單調遞增,

.?.y=|/a)|是偶函數,故①正確;

對任意的xeH,不，定有/(-%)+"(x)1=0,故②不正確；

丁=/(-工)在(口，0］上單調遞減，故③不正確；

y=/(x)f(-x)=-［/(^)］2在(-co,0］上單調遞增，故④正確.

故選：B.

三.解答題(共5小題)

17.設3二(1,板(sinx+cosx)),=(1-2sin2(JC+—),cos(x+—)),f(x)=a^a+b),求：

44

(I)函數/(x)的最小正周期及最大值與最小值；

(II)函數/*)的單調遞增區間.

【解答】解：(I),/f(x)=a2+a4y

=1+2(cosx+sinx)2+(l-2sin2(x+—))+2sin(x+—)cos(x+—)

444

7C71

=3+2sin2x+cos(2x+—)+sin(2x+—)

=3+sin2x+cos2x=3+后sin(2x+—)

4

；J(x)的最小正周期T言=乃，/(x)nMX=3+夜,/*),,“》=3-0.

(II)令2k7i+—2k/r+工(％￡Z)

242

解得左乃-網領kk兀+%(kwZ)；

88

函數f(x)的單調遞增區間為伙萬-四，版■+三］OleZ).

88

18.某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統，以提高分揀效率和降

低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本°(工)=焉/+犬+150萬元.

(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？

(2)現按(1)中的數量購買機器人，需要安排"?人將郵件放在機器人上，機器人將郵件

送達指定落袋口完成分揀.經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量

,8

的…石皿6°一叫掇物30(單位：件)，已知傳統人工分揀每人每日的平均分揀量為1200

470,巾>30

件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多

可減少百分之幾？

【解答】解：(I)由總成本°(箱=卷/+；1+150萬元，可得每臺機器人的平均成本,

P(R)1150,-,1150,?

y=---XH--------F1..2.1---X*'?—+1=2.

x600x600

當且僅當」-%=空，即％=300時，上式等號成立.

600x

???若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺.

(2)引進300臺機器人后,

①當掇加30時，300臺機器人的日平均分揀量為160皿60-〃?)=-160療+9600機，

當帆=30時，日平均分揀量有最大值144000件.

②當，〃>30時，日平均分揀量為470x300=141(XX)(件).

.-.300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144000件.

若傳統人工分揀144000件，則需要人數為幽”=120(人).

1200

??.II平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前

的用人數量最多可減少空Wx100%=75%.

120

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PC_L平面ABC。，AB//DC,DCVAC.

(1)求證：0c，平面B1C；

(2)求證：平面Q4B_L平面R1C；

(3)設點E為4?的中點，在棱上是否存在點尸，使得PA//平面CEF?說明理由.

【解答】（1）證明：?.?「（7_1平面438,OCu平面A3CD,

：.PCVDC,

-,?DCA.AC,PCp|AC=C,

.?.DCJ■平面BIC；

（2）證明：rABUDC,DCVAC,

ABVAC,

PC，平面ABCD,ABu平面ABCD,

:.PCVAB,

PCQAC=C,

平面PAC,

?.?ABu平面以3，

平面B4B_L平面RAC；

(3)解：在棱依上存在中點尸，使得PA〃平面CEF.

?.?點E為的中點，

：.EF//PA,

24U平面CEF,砂u平面CEF,

.?.尸4//平面8尸.

20.已知點耳、F2為雙曲線C:f-5■二可。〉。)的左、右焦點，過尸?作垂直于x軸的直線，

在x軸的上方交雙曲線C于點例，且NW瑪=30。.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線/過點(0,1)且與雙曲線C交于A、5兩點，若A、3中點的橫坐標為1,求直

線/的方程；

(3)過雙曲線C上任意一點尸作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為斤、P2,求證：

而??所2為定值.

【解答】解：(1)山雙曲線的方程可得。=1,

在直角三角形"耳用中，。，

NM￡R=30MF2LF2FX,

可得LI=2|M|,且月|-|M乙|=2a=2,

/?2

解得|=2,又—=從，

a

所以6=2,

2

則雙曲線的方程為V-工=1;

2

(2)由題意可得直線/的斜率存在，設為2,直線/的方程為y=fcc+l,

聯立,可得(2—公*_2區—3=0,

[2x-y=2

△=4^+12（2-標）>0,解得-Q<k（百

設A,3的橫坐標分別為芭，X,,則玉+

乙一K

山A、5中點的橫坐標為I,可得」方=1,

2-k2

解得&=1或-2(舍去)，

所以直線/的方程為y=x+l;

(3)證明：設P(m,〃)，則2療-4=2,

)-V2xm+yllnV2/H+2/1

由V2,解得4(一—，一一.

y-n=---(x-m)JJ

)\[lxm-y/ln-桓m+2n、

由72，解得巴(——，一；一

y-n=——(X-77Z)35

所以五和=(駕空y[2m—n-2m-\f2n-41m—n

---?--)?(--------

333-,

(血〃-2m)(一2"?-A/2H)(垃m-〃)(-J5"?-ri)-2n2+川一2/n2

--------------------------------------1----------------------------------=---------------------------------

999

2m2-n22

-9-=9