第09講函數的基本性質(7大考點)

U考點考向

區間與無窮的概念

【知識點的認識】

設〃〈方，①開區間：{x|“<x<6}=(a,b)

②閉區間：=b]

③半開半閉區間：{x[a<xW6}=Ca,句{x|aWx<b}=[a,b)

正無窮：在實數范圍內，表示某一大于零的有理數或無理數數值無限大的一種方式，沒有具體數字，

但是正無窮表示比任何一個數字都大的數值.符號為+8.數軸上可表示為向右箭頭無限遠的點.

負無窮：某一負數值表示無限小的一種方式，沒有具體數字，但是負無窮表示比任何一個數字都小的

數值.符號為-8.

{x|aWx}=[a,+°°)

{x[a<x}=(a,+8)

{x|xWa}=(-8,a]

{x\x<a]=(-8,a)

{x|x6R}=(-°°,+°°)

【解題方法點撥】通常情況下，解答不等式，函數的單調性的問題利用單調性的定義，或者函數的導數等

知識，注意函數的定義域，變量的取值范圍，集合一般利用區間表示，函數的單調性多個區間時，區間之

間必須用“，”分開；不能利用并集符號連接.解題時注意區間的端點的數值的應用.

【命題方向】區間上的最值，函數的單調性，函數的導數在閉區間上的最值，恒成立等知識有關問題，高

考?？碱}目.

二.函數的單調性及單調區間

【知識點的認識】

一般地，設函數f(x)的定義域為/,如果對于定義域/內某個區間。上的任意兩個自變量XI,X2,

當加<%2時，都有了(XI)</(%2),那么就說函數/(X)在區間。上是增函數；當X1<X2時，都有一(XI)

>/(X2),那么就說函數/(X)在區間。上是減函數.

若函數/(X)在區間。上是增函數或減函數，則稱函數/(X)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間。

叫做y=/(x)的單調區間.

【解題方法點撥】

判斷函數的單調性，有四種方法：定義法；導數法；函數圖象法；基本函數的單調性的應用；復合函數遵

循“同增異減”；證明方法有定義法；導數法.

單調區間只能用區間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調區間應分別寫，不能用符號“U”聯

結，也不能用“或”聯結，只能用“和”或“，”連結.

設任意xi,x2E[a,句且X1#X2,那么

①'在出，句上是增函數；

xl-x2

f(X)-f(X)

----------------<()??/(X)在[4,句上是減函數.

xrx2

②(XI-X2)If(xi)-f(X2)]>0?y(x)在[a,切上是增函數；

Cxi-X2)If(xi)-f(%2)]<0<=>/(x)在[a,句上是減函數.

函數的單調區間，定義求解求解一般包括端點值，導數一般是開區間.

【命題方向】

函數的單調性及單調區間.是高考的重點內容，一般是壓軸題，常與函數的導數相結合，課改地區單調性

定義證明考查大題的可能性比較小.從近三年的高考試題來看，函數單調性的判斷和應用以及函數的最值

問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數的單調

性、最值的靈活確定與簡單應用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，又注重考查函數方程、等

價轉化、數形結合、分類討論的思想方法.預測明年高考仍將以利用導數求函數的單調區間，研究單調性

及利用單調性求最值或求參數的取值范圍為主要考點，重點考查轉化與化歸思想及邏輯推理能力.

三.函數單調性的性質與判斷

【知識點的認識】

一般地，設函數/(X)的定義域為/,如果對于定義域/內某個區間力上的任意兩個自變量XI,短，

當XI<X2時，都有了(XI)<f(X2),那么就說函數/(x)在區間。上是增函數；當XI>X2時，都有了(XI)

</(X2),那么就說函數/(X)在區間O上是減函數.

若函數/(X)在區間。上是增函數或減函數，則稱函數/(X)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區

間。叫做y=/(x)的單調區間.

【解題方法點撥】

證明函數的單調性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結論.

利用函數的導數證明函數單調性的步驟：

第一步：求函數的定義域.若題設中有對數函數一定先求定義域，若題設中有三次函數、指數函數可不考

慮定義域.

第二步：求函數f(x)的導數/(x),并令/(%)=0,求其根.

第三步：利用/(x)=0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區間，并列表.

第四步：由/(x)在小開區間內的正、負值判斷/(x)在小開區間內的單調性；求極值、最值.

第五步：將不等式恒成立問題轉化為/(x)〃皿或/(x)min^a,解不等式求參數的取值范圍.

第六步：明確規范地表述結論

【命題方向】

從近三年的高考試題來看，函數單調性的判斷和應用以及函數的最值問題是高考的熱點，題型既有選

擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數的單調性、最值的靈活確定與簡單應用，

主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，乂注重考查函數方程、等價轉化、數形結合、分類討論的思

想方法.預測明年高考仍將以利用導數求函數的單調區間，研究單調性及利用單調性求最值或求參數的取

值范圍為主要考點，重點考查轉化與化歸思想及邏輯推理能力.

四.復合函數的單調性

【知識點的認識】

所謂復合函數就是由兩個或兩個以上的基本函數構成，這種函數先要考慮基本函數的單調性，然后再考慮

整體的單調性.平常常見的一般以兩個函數的為主.

【解題方法點撥】

求復合函數y=/(g(x))的單調區間的步驟：

(1)確定定義域；

(2)將復合函數分解成兩個基本初等函數：

(3)分別確定兩基本初等函數的單調性；

(4)按“同增異減”的原則，確定原函數的單調區間.

【命題方向】

理解復合函數的概念，會求復合函數的區間并判斷函數的單調性.

五.函數的最值及其幾何意義

【知識點的認識】

函數最大值或最小值是函數的整體性質，從圖象上看，函數的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱

坐標，求函數的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得.

【解題方法點撥】

①基本不等式法：如當x>0時，求2x+B的最小值，有2x+9221bx?^3=8；

②轉化法：如求Lr-5|+|x-3|的最小值，那么可以看成是數軸上的點到x=5和x=3的距離之和，易知最小

值為2；

③求導法：通過求導判斷函數的單調性進而求出極值，再結合端點的值最后進行比較.

【命題方向】

本知識點是?？键c，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現，所以務必引起重視.本知識點未

來將仍然以復合函數為基礎，添加若干個參數，然后求函數的定義域、參數范圍或者滿足一些特定要求的

自變量或者參數的范圍.常用方法有分離參變量法、多次求導法等.

六.奇函數、偶函數

【奇函數】

如果函數/(x)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x,都有F(-x)=-/(x),那么函數

/(%)就叫做奇函數，其圖象特點是關于(0,0)對稱.

解題方法點撥：

①如果函數定義域包括原點，那么運用/(0)=0解相關的未知量；

②若定義域不包括原點，那么運用/(x)=-f(-x)解相關參數；

③已知奇函數大于。的部分的函數表達式，求它的小于。的函數表達式，如奇函數/(X),當x>0時，/(x)

=x2+x

那么當時，-X>0,有/(-X)=(-X)2+(-%)=>-/(x)—X2-x=>f(x)=-7+x

命題方向：

奇函數是函數里很重要的一個知識點，同學們一定要熟悉奇函數的概念和常用的解題方法，它的考查

形式主要也就是上面提到的這兩種情況--求參數或者求函數的表達式.

【偶函數】

如果函數/(X)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個X,都有/(-X)=/(x),那么函數/

(x)就叫做偶函數，其圖象特點是關于y軸對稱.

解題方法點撥：

①運用/(x)—f(-x)求相關參數，如丫=/+匕/+5+4,那么a+c是多少？

②結合函數圖象關于y軸對稱求函數與x軸的交點個數或者是某個特定的值，如偶函數/(-2)=0,周期

為2,那么在區間(-2,8)函數與x軸至少有幾個交點.

命題方向：

與奇函數雷同，熟悉偶函數的性質，高考中主要還是以選擇題或者填空題的形式考查對偶函數性質的

靈活運用.

七.函數奇偶性的性質與判斷

【知識點的認識】

①如果函數/(X)的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個X,都有/(-X)=-/(》)，那么函數/(X)

就叫做奇函數，其圖象特點是關于(0,0)對稱.②如果函數/(%)的定義域關于原點對稱，且定義域內

任意一個x,都有/(-x)=f(x),那么函數就叫做偶函數，其圖象特點是關于y軸對稱.

【解題方法點撥】

①奇函數：如果函數定義域包括原點，那么運用/(0)=0解相關的未知量；

②奇函數：若定義域不包括原點，那么運用/(x)--x)解相關參數；

③偶函數：在定義域內一般是用/(X)=/(-%)這個去求解；

④對于奇函數，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數的單調性相反.

例題：函數y=x|x|+px,x€R是()

A.偶函數B.奇函數C.非奇非偶D.與p有關

解：由題設知/(x)的定義域為R,關于原點對稱.

因為/(-X)=-x|-x|-px=-x\x\-px=-f(x),

所以/(x)是奇函數.

故選B.

【命題方向】函數奇偶性的應用.

本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數的性質，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確

率.

八.奇偶函數圖象的對稱性

【知識點的認識】

奇偶函數的對稱性是相對于其圖象來說的，具體而言奇函數的圖象關于原點對稱，其特點是/(無)=加時，

/(-x)=-m；偶函數的圖象關于y軸對稱，它的特點是當f(X)="時，/(-x)=n.

【解題方法點撥】

由函數圖象的對稱性可知：①奇函數的定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數的單調性相反.

eg：若奇函數/(x)在區間［1,3］內單調遞增，且有最大值和最小值，分別是7和4,求函數/(X)在區間［-

3,-1］內的最值.

解：由奇函數的性質可知，在［-3,-1］上位單調遞增函數，

那么最小值為/(-3)-f(3)=-7；最大值為/(-1)-f(1)=-4

【命題方向】

本知識點是高考的一個重點，同學首先要熟悉奇偶函數的性質并靈活運用，然后要多多總結，特別是偶函

數與周期性相結合的試題，現在的一個命題方式是已知周期偶函數某一小段內與x軸交點的個數，求在更

大范圍內它與x軸的交點個數，同學們務必多多留意.

九.函數的周期性

【知識點的認識】

函數的周期性定義為若T為非零常數，對于定義域內的任一x,使f(x)=/(x+n恒成立，則/(x)

叫做周期函數，丁叫做這個函數的一個周期.常函數為周期函數，但無最小正周期，其周期為任意實數.

【解題方法點撥】

周期函數一般和偶函數，函數的對稱性以及它的圖象相結合，考查的內容比較豐富.

①求最小正周期的解法，盡量重復的按照所給的式子多寫幾個，

例：求/(x)=,1、的最小正周期.

f(x-2)

解：由題意可知，f(x+2)=——-——f(%-2)=T=4

f(x)

②與對稱函數或者偶函數相結合求函數與X軸的交點個數.如已知函數在某個小區間與X軸有八個交點，求

函數在更大的區間與X軸的交點個數.

思路：第一，這一般是個周期函數，所以先求出周期T；第二，結合函數圖象判斷交點個數；第三，

注意端點的值.

【命題方向】

周期函數、奇偶函數都是高考的?？键c，學習是要善于總結并進行歸類，靈活運用解題的基本方法，

為了高考將仍然以小題為主.

十.函數的值

【知識點的認識】

函數不等同于方程，嚴格來說函數的值應該說成是函數的值域.函數的值域和定義域一樣，都是?？?/p>

點，也是易得分的點.其概念為在某一個定義域內因變量的取值范圍.

【解題方法點撥】

求函數值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種:

①基本不等式法：如當為＞0時，求2x+6的最小值，有2x+昆》2x?&

XXVX

②轉化法：如求|x-5|+|x-3|的最小值，那么可以看成是數軸上的點到x=5和x=3的距離之和，易知最小

值為2；

③求導法：通過求導判斷函數的單調性進而求出極值，再結合端點的值最后進行比較

例題：求/■(x)=/〃x-x在(0,+°°)的值域

解：f(x)=1-1=1ZX

XX

...易知函數在(0,1]單調遞增，(1,+8)單調遞減

二最大值為：/?1-1=-1,無最小值；

故值域為(-8,-1)

【命題方向】

函數的值域如果是單獨考的話，主要是在選擇題填空題里面出現，這類題難度小，方法集中，希望

同學們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主.

Q考點精講

一.區間與無窮的概念(共4小題)

1.(2021秋?惠陽區校級期中)集合｛x|x<0或xNl｝用區間表示為()

A.(-8,0)U(1,+8)B.(-8,0)U[1,+8)

c.(-8,o)n[i,+8)D.(0,1]

【分析】將不等式轉化為區間，原不等式中帶“=”的數字，轉化后就是“[”，沒有帶“=”的，轉化后就

是

【解答】將不等式轉化為區間，原不等式中帶“=”的數字，轉化后就是“[”，沒有帶“=”的，轉化后就

是

故選：B.

【點評】此題屬于集合集合與區間的轉化題，屬于易做題.

2.(2021秋?僧州月考)用區間表示數集：-1且x￥21=(-1,2)U(2,+8).

【分析】由區間的概念求解即可.

【解答】解：｛x|x>-1且xW2｝=(-1,2)U(2,+8).

故答案為：(-1,2)U(2,+8).

【點評】本題主要考查區間的概念，集合的表示法，屬于基礎題.

3.(2021秋?涼州區校級期中)某天某地最高氣溫為3℃,最低氣溫為-2℃,則該地當天的氣溫用區間表

不為|-2,3].

【分析】該地當天的氣溫用區間表示為[-2,3].

【解答】解：由題意得，

該地當天的氣溫用區間表示為[-2,3J；

故答案為：[-2,3J.

【點評】本題考查了區間的概念的應用.

4.(2021秋?湖北期中)定義區間(a,b),(a,b],[a,6),[a,b]的長度均為b-a.已知m>n,滿足--

x-mx-n

的x構成的區間的長度之和為2.

【分析】根據不等式進行化簡，求出不等式對應的解集，根據區間長度的定義進行求解即可.

【解答】解：因為」_二_》1，所以2乂§切)為,

x-mx-n(x-m)(x-n)

2

即2x-(mtn).]No,則?-(2+m+n)x+inn+m+n

(x-m)(x-n)(x-m)(x-n)

設x2-(2+m+〃)x+inn+m+n=Q的根為工1和X2.

由求根公式得用=更空對魚起/e(〃，相)，

2

x2=atn+2+V(處二巳產+與>弘,

2

x\+x2=2+m+n,如圖所示：

由穿根法得不等式的解集為[小X2],

則構成的區間的長度之和(xi-〃)+(X2-m)=XI+JC2-n-m=2+m^-n-m-n=2,

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了區間長度的定義，求出不等式的解集是解題的關鍵，是中檔題.

二.函數的單調性及單調區間(共2小題)

5.(2022秋?武功縣校級月考)函數y=——'■的單調增區間為()

4+3x-x

B-C，1]

D.(-8,-1)U(-1,1]

【分析】令f=-7+3x+4,根據二次函數的性質求出t的單調區間，再由復合函數的單調性即可得函數

y=——J?的單調增區間.

4+3x-x

【解答】解：設/=-/+31+4,則有xW-1且x#4；fW(-8,o)U(0,華］,

所以函數了=-----_的定義域為：-1且xW4},

4+3x-x2

由二次函數的性質可知t的單調遞增區間為(-8,-1),(-1,3,］.單調遞減區間為：［3,4),(4,+

22

°°);

又因為y=在正(-CO,0)和(0,手］上單調遞減，

由復合函數的單調性可知：函數y=——J■的單調增區間為：［3,4)和(4,+8).

4+3X-X22

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數的性質及復合函數的單調性，屬于基礎題.

6.(2022秋?武功縣校級月考)已知函數;"(X)=|-3x+a|的增區間是［2,+-),則實數a的值為6.

【分析】去絕對值將fG)=|-3x+“|轉化為分段函數，再根據單調性求解a的值即可.

/

-3x+a,

【解答】解：因為函數/(x)=|-3x+a|=，，

3x-a,x

故當X〈包時，f(x)單調遞減，當x>旦時，fix)單調遞增.

33

因為函數f(x)=|-3x+a|的增區間是［2,+8),

所以3=2,所以4=6.

3

故答案為：6.

【點評】本題考查了分段函數的單調性，屬于基礎題.

三.函數單調性的性質與判斷(共5小題)

7.(2022春?濟宇期末)已知函數f(x)［(a-2)x?+(b-8)x+cT(x￡R>

(l)如果函數f(x)為基函數，試求實數a、b、C的值；

(2)如果。>0、b>0,且函數/(x)在區間［■1,3］上單調遞減，試求時的最大值.

【分析】(1)根據基函數的定義得到方程組，解得即可；

(2)分〃=2、a>2、0Va<2三種情況討論，結合二次函數的性質及基本不等式計算可得.

【解答】解：(1)由7(X)為幕函數知：

2(a-2)=1

-T(a-2)=0

或.

b-8=0b-8=l

c-l=0c-l=0

解得：Q=5,Z?=8,c=l,或〃=2,b=9,c=l.

(2)①當〃=2時，/'(x)=(6-8)x+c-1(x￡R)

由題意知，0<b<S,所以a匕V16.

②當a>2時，函數/(x)圖象的對稱軸為屋⑶⑺,

2(a-2)

以題意得：3(8切》即2〃+/><12

所以12>2a+b>2缶U，〃店18.

當且僅當。=3,。=6時取等號.

③當0<a<2時，

以題意得：舉羔即a+36W26,即0<b<^(26-a)

2Ca-2)個237

又因為0<。<2,

所以0<ab4^a(26-a)=—(a-13)2。(2-13)2+^^^-=16

綜上可得，油的最大值為18.

【點評】本題主要考查募函數的定義、二次函數的性質和基本不等式，屬于基礎題.

8.(2022春?南陽月考)已知函數f(x)=工(m￡R),且f(x)在(0,+~)上單調遞增.

x-hn

(1)求，”的取值范圍；

(2)若〃，b,c表示△ABC的三條邊長，求證：/(“)+f(/>)>/(c).

【分析】(1)根據題意，求出函數的導數，由導數與函數單調性的關系分析可得答案；

(2)根據題意，由不等式的性質可得fQ)+f(b)>±L=f(a+b)，由三角形的三邊關系、函數的單

a+b+m

調性分析可得答案.

【解答】解：(1)根據題意，/(X)=上，其導數V=

2

xEx-4n(xtm)

因為函數/(x)在(0,+8)上單調遞增，所以當x>0時，/(x)20,

故機20,又當〃7=0時，/(x)=0恒成立，不符合題意，

則有機>0,故實數機的取值范圍為(0,+8),

(2)證明：因為fQ)一一〉3—，

a-hna+b+mb+ma+b+m

故f（a）+f（a+b），

又因為在△ABC中，a+b>c,

由題意知，/（x）在（0,+8）上單調遞增.

所以/（“+〃）>/（c）因此，f（a）+fCb）>f（c）.

【點評】本題考查函數單調性的性質以及應用，涉及不等式的證明，屬于基礎題.

9.（2022秋?武功縣校級月考）下列函數在Rtl為增函數的是（）

A.y—x1B.y=xC.y=~VxD.y。

【分析】利用基本初等函數的性質逐個判斷各個選項即可.

【解答】解：對于A,由二次函數的性質可知，函數y=/在（-8,0）上單調遞減，在（0,+8）上單

調遞增，故A錯誤，

對于8,由一次函數的性質可知，函數y=x在R上單調遞增，故B正確，

對于C,由幕函數的性質可知，函數y=｛在［0,+8）上單調遞增，所以函數y=-4在［0,+8）上單

調遞減，故C錯誤，

對于。，由反比例函數的性質可知，函數）=」在（-8,0）上單調遞減，在（0,+8）上單調遞減，故

x

。錯誤，

故選：B.

【點評】本題主要考查了基本初等函數的單調性，屬于基礎題.

10.（2022秋?武功縣校級月考）若f（x）苫工在區間0，+8）上是增函數，則實數。的取值范圍是（-

X-1

8,-1）.

【分析】利用分離常數法可得/（X）=〃+號，再結合反比例函數的單調性求解即可.

【解答】解：/（x）=ax+l=a（x-l）+a+l="+3包,

X-1X-1X-1

f（x）mtL在區間a,+8）上是增函數，

X-1

Atz+KO,

：.a<-1,

即實數〃的取值范圍是（-8,-1）.

故答案為：（-8,-1）.

【點評】本題主要考查了分離常數法求函數的單調性，屬于基礎題.

11.(2022?句容市校級開學)函數f(x)=^2>是定義在(-3,3)上的奇函數，且

9-x24

(1)確定f(x)的解析式；

(2)證明/(X)在(-3,3)上的單調性；

(3)解關于t的不等式/(f-1)+/,(?)<0.

【分析】(1)由題意，根據/(0)=0、/(1)=X求出6和〃的值，可得函數的解析式.

4

(2)由題意，利用單調性函數的定義，證明函數的單調性.

(3)由題意，利用函數的定義域和單調性解不等式，求得/的范圍.

【解答】解：⑴???函數f但)=^鼻是定義在(-3,3)上的奇函數，貝ijf(o)口=o,解可得〃=。?

9-x29

又由f(l)=上，則有“i)=曳」，解可得。=2,故

4g4I"9_^2

(2)由(1)的結論，設-3<XI<X2<3,

9-x

22

2xi2x92x1(9-X9)-2X9(9-XI)2(9+xix9)(xi-x9)

則f(x,)-f(xc)=----------=——-------------------——=-------------———,

222222

9-Xj9-X2(9-xt)(9-X2)(9-X1)(9-X2)

再根據-3<X1<X2<3,可得9+XLT2>0,XI-X2<0,9-x：〉0，9-xg〉。)

故有了(XI)-f(X2)<0,即f(xi)<f(X2)1

可得函數/(x)在(-3,3)上為增函數.

(3)由(1)(2)知/(x)為奇函數且在(-3,3)上為增函數，

關于f的不等式f(f-1)+f(Z)VO,即式f(L1)<-f(/)=f(-r),

'-3<t-3<3

可得■，解可得：-2<t<X

2

即不等式的解集為(-2,/)?

【點評】本題主要考查奇函數、偶函數的定義和判斷方法，用定義證明函數的單調性，利用函數的定義域

和單調性解不等式，考查劃歸與轉化思想，考查運算求解能力，是中檔題.

四.函數的最值及其幾何意義(共6小題)

12.(2022秋?南昌月考)若2x-lW(x-2)2+y2,則/+/的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】化簡2乂-1=46-2)2+了2得/_工=1(X》/)，即為雙曲線的右支，作圖求解即可.

【解答】解：.?.2x-lW(x-2)2+y2,

:.(2x-1)2=(x-2)2+y2(x>A),

2

化簡得，

X2-——=1(x>A),

32

故作/-金=1(x>l)的圖象如下,

故x1+y1的最小值為12+()2=i,

故選：A.

【點評】本題考查了圓錐曲線的性質的應用及數形結合的思想方法的應用，屬于中檔題.

13.(2022秋?河南月考)如圖，“愛心”圖案是由函數/(%)=-7+左的圖象的一部分及其關于直線y=x

的對稱圖形組成.若該圖案經過點(/，0),點M是該圖案上一動點，N是其圖象上點歷關于直線y

=x的對稱點，連接MM則的最大值為()

A..紙遍.B.2.5匹C.672D.872

84

【分析】先根據題意求出”的值，設直線y=x+6與/(x)=-7+6相切，聯立方程求出6的值，再根據平

行線間距離公式求解即可.

【解答】解：函數/(x)=-，+&經過點(-瓜,0),

二-6+k=0,:.k=6,

:?f(x)=-7+6,

設直線y=x+b與f(x)=-W+6相切，

聯立<’X：,消去y得，x2+x+b-6=0,

y=-x2+6

.*.△=1-4(/?-6)=0,

解得6=至，

4

25_

則直線y=x+2?與直線y=x間的距離為:4=后匹,

4#+"1)28

的最大值為2義變巨=型巨，

84

故選：B.

【點評】本題主要考查了函數的對稱性，考查了平行線間的距離公式，屬于中檔題.

14.(2022?鹿城區校級開學)函數/(x)=x\x-a\.

(1)若f(x)在R上是奇函數，求。的值；

(2)當。=2時，求/(x)在區間(0,4］上的最大值和最小值；

(3)設〃>0,當相VxV九時，函數/(x)既有最大值又有最小值，求相、〃的取值范圍(用。表示)

【分析】(1)根據奇函數的性質求。的值；

(2)化簡函數解析式，結合二次函數性質求其最值；

(3)化簡函數解析式，結合函數圖象確定出〃的取值范圍.

【解答】解：(1)因為f(x)在R上是奇函數，所以fC-x)=-f(x),即-小+〃|=-x\x-a恒成立.

所以|x+〃|=|x-恒成立，

所以〃=0；

-X2+2X,(0<X<2)

(2)當a=2時，f(x)=x|x-2|=-

X2-2X,(24X44)

函數y=-/+2x在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減,

所以y=-7+2x在(0,2］上的值得范圍為［0,1］,其中工=2時，f(x)=0,

函數y=/-2x在(2,4］上單調遞增，

所以函數y=/-2x在(2,4］上的值域為(0,8］,其中當x=4時，f(x)=8,

???當x=4時，fmax(x)=8：當X=2時，fmin(X)=0:

/c、/、II-X+ax,(x<a)

(3)f(x)=x|x-a|=<2，

x-ax,

因為a>0,

所以函數y=-/+or在(-8,A)上單調遞增，在(包，a)上單調遞減,

2

當工=包時，y=2_,

24_

當時，令/,可得x=1^，

42

因為當。>0,時，函數/(x)既有最大值又有最小值，

所以OW/nV且，4V〃在上

22

【點評】本題考查了奇函數的性質、分段函數的性質、二次函數的性質及數形結合思想，屬于中檔題.

15.(2022秋?南昌月考)若2x.i二版則｛(x+2)2+y2+J(x-2)2+y2的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】化簡2x-lW(x-2)2+y2得(x》￡)，而J(x+2)2+y2+Y(x-2)2+y2表示了雙

O/

曲線/-￡=1（X》上）上的點與點（-2,0）,（2,0）的距離之和，作圖求解即可.

32

【解答】解：：2x-l=m77，

:.（2x-l）2=（x-2）2+/（x2』），

2

即（x2工），

32

,但+2）2+32+4作-2）2+了2表示了雙曲線/《=1（X>-1）上的點與點（-2,0）,（2,0）的距離

之和，

故當過點A時，7（x+2）2+y2+Y（x-2）2+y2取得最小值4,

故選：D.

【點評】本題考查了圓錐曲線的性質的判斷與應用，屬于中檔題.

（多選）16.（2022秋?保定月考）函數/（x）=因稱為取整函數，也稱高斯函數，其中［幻表示不大于實數

x的最大整數（）

A.若印=2,則x+」、的最小值為§

B.若W+y2-2y=l,則［盯-x］的最大值為1

C.若正數x,y滿足3+8=1,則工建的最小值為9

xy

D.若在（-8,0）,則［也止型式費］的最小值為-13

-Bl/

【分析】對于4,易知2Wx<3,再由函數單調性可判斷；對于B,利用基本不等式可得x（y-1）W1,由

42

此可判斷；對于C,舉例即可判斷；對于。，先求出l°x+29X+10的范圍,再結合取整函數的定義可判

"+1）2

斷.

【解答】解：對于A,由于㈤=2,則2Wx<3,

易知XF1=但-1)3七+1，而函數y=x-，“\、+1在12,3)上單調遞增

2(xT7)V2(xT)2lx-1J

...當x=2時，欠+,1、的最小值為上,選項A正確；

x2(x-l)2

對于B,；/+)?-2y=1,

?,.)+(y-1)2=2,

???2=/+(y-1)2^2X(y-1),

.?.x(y-l)Wl,當且僅當》=>-1,即[*=-1或[x=l時等號成立，

1y=01y=2

.\[xy-x]=L選項B正確；

對于C,不妨取x,,y-1,此時滿足因+8=1，但/號=2年號<9,選項C錯誤；

7~2

對于。，10x4+29x2+10_10(x2+l)2+9x2

-(x2+l)2-(x2+l)2

當且僅當2y,即》=-i時等號成立，

X2

X

...［-.10X4+29x^10^>［一竽］=_13，選項。正確.

《2+1)24

故選：ABD.

【點評】本題以新定義為載體，考查了函數最值的求解以及基本不等式的運用，考查運算求解能力，屬于

中檔題.

2

17.(2022?徐匯區校級開學)設。、b、c是兩個兩兩不相等的正整數.若他+匕，b+c,c+a}={〃2,(n+l),

(〃+2)2}(〃WN+),貝ijj+/+J的最小值是()

A.2007B.1949C.1297D.1000

【分析】假設。>b>c,則a+6>a+c>/?+c.由此可得〃為奇數.分〃=3和〃=5兩種情況解出b,c的

值，代入計算即可.

【解答】解：不妨設貝lja+〃>4+c>Z?+c.

因為(a+b)+(b+c)+(a+c)=2(a+b+c)為偶數，

所以〃2,(“+1)2,(〃+2)2必為兩奇一偶，從而可得"為奇數.

又因為b+c>l,所以〃為不小于3的奇數.

若“=3.則伍+6b+c,c+a}={32,42,52).

故a+h+c=」(32+42+52)=52,且〃+匕=52.

2

所以c=0,不符合要求.

若"=5,則{a+4b+c,c+a}={52,62,72).

，9

a+b=7k=30

故a+c=62-解得，b=19>

b+c=52c=6

此時，a2+/>2+c2=3O2+192+62=1297.

故選：C.

【點評】本題考查了學生的邏輯推理能力和分類討論思想，得出”為奇數是關鍵點，屬于中檔題.

五.奇函數、偶函數(共3小題)

18.(2022?華州區校級開學)已知/(x)是R上的奇函數，且/(2-x)=/(x),/(1)=3,貝Uf(2022)

+f(2023)=()

A.-3B.-1C.1D.2

【分析】由已知先求出函數的周期，結合奇偶性及周期性進行轉化即可求解.

【解答】解：由題意，得/(2+x)=/(-x)=-/(x),

所以f(x+4)—f(x),

所以『(x)是周期為4的周期函數，

所以F(2022)+f(2023)=/(2)4/(7),

因為F(-x+l)=/(x+l),令x=l,得/(2)=/(0),

因為f(x)為R上的奇函數，

所以7(0)=0,/(-1)=-/(1)=-3,

所以/(2022)4/(2023)=0-3=-3.

故選:A.

【點評】本題主要考查了函數的奇偶性及對稱性在函數值求解中的應用，屬于中檔題.

19.(2022?寶應縣開學)已知函數/(X)的定義域為R,且滿足/(-x+2)=-/(x+2),又/(尤+1)為偶

函數，若/(I)=1,則f(2)4/(7)=()

A.0B.1C.2D.-1

【分析】由已知先求出函數的周期，然后利用賦值法即可求解.

【解答】解：因為函數/(X)的定義域為R,/(X+1)為偶函數，

所以函數的圖象關于x=l對稱，即=f(x),

因為/(2-x)=-f(JC+2),

所以f(JC)=-f(尤+2),即/(x+4)=f(x),

所以函數的周期T=4,

若f(l)=1,則/(7)=/(3)=7,

又/⑵=/(0)=

所以f(2)=0,

則/(2)+f(7)=-1.

故選：D.

【點評】本題主要考查了函數的奇偶性及對稱軸在函數求值中的應用，屬于中檔題.

20.(2022秋?浙江月考)已知函數/(X)的定義域為R,且f(x+l)+/-(-V-1)=2,fCx+2)為偶函數，

n

若/(0)=0,￡f(k)=lll(依N*),則〃的值為()

k=l

A.107B.118C.109D.110

【分析】由/(x+1)+/-(X-1)=2,可得/Yx)的周期為4,再結合/(x+2)為偶函數,可得/(x)為偶

函數，再通過周期性即可求解.

【解答]解：."(x+l)4/G-1)=2,

：.f(x+2)+f(x)=2,：.f(x+2)=2-f(x),

：.f(x+4)=2-/(x+2)=2-[2-/(x)]=/(x),

：.,f(x)的周期為4,

又f(x+2)為偶函數，.\y(-x+2)(x+2),

:.f(x)=f(-x+4)=f(-x),

：.f(x)為偶函數,

\\f(x+1)4/(X-1)=2,

：.f(1)+f(3)=2,f(2)+f(4)=2,

：.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,

又/⑴■>/(-1)=2..,.2f(D=2,：.f(1)=1,

又/(0)+f(2)=2,f(0)=0,：.f(2)=2,

V110=27X4+2,

：.f(1)+?+/,(H0)=27X［f(1)+f(2)+f(3)+f(4)］+fC\)+f(2)

=27X4+1+2=111,

：.n的值為110.

故選：D.

【點評】本題考查抽象函數的周期性，對稱性，奇偶性，屬中檔題.

六.函數奇偶性的性質與判斷(共7小題)

21.(2022秋?宛城區校級月考)已知函數/(x)是R上的偶函數，且/(x)的圖象關于點(1,0)對稱，

當x€［0,1］時，/(x)=2-2',則f(0)V(1)+f<2)+???+/(2022)的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根據題意可得到/(x)的最小正周期為4,再求出/(0),/(I),/(2),/(3)的值，利用周期性

即可得到答案.

【解答】解：?./(x)是R上的偶函數，

(x)關于直線x=0對稱，

又_f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，

??./(X)的最小正周期為4X|1-0|=4,

又當x6［0,1］時，/(x)=2-2',

：.f(0)=1,/(1)=0,/(2)=-f(0)=-1,/(3)=-/(-1)=-/<!)=0，

：.f(0)4/(1)+f(2)+f(3)=0,

又2022muo

4

：.f(0)+/,<!)+f<2)+???+/(2022)=505X04/(0)+f(I)f⑵=0.

故選：C.

【點評】本題考查函數性質的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

22.(2022?深州市模擬)已知/(x)是定義在R上的奇函數，且xWO時，/(x)=3?-2x+m,則/(x)在

11.2］上的最大值為()

A.1B.8C.-5D.-16

【分析】根據題意，由奇函數的性質可得/(0)=機=0,可得xWO時，/(X)的解析式，由此可得/(X)

在區間［-2,-1］上的單調性，結合奇偶性可得f(x)在口，2］上為減函數，據此分析可得答案.

【解答】解：根據題意，f(x)是定義在R上的奇函數，且xWO時，/(x)=3?-2x+m,

則有f(0)=m=0,即m=0,

則/(x)=3,-2r,(xWO),

在區間［-2,-1］上，/(x)為減函數，則/(x)在［1,2］上為減函數，

則f(x)在［1,2］上的最大值/(I)=-/<-1)=7,

故選：C.

【點評】本題考查函數奇偶性的性質以及應用，涉及函數的最值，屬于基礎題.

23.(2022?滎陽市開學)己知函數/(x)是定義在R上的奇函數，且當xWO時，=x(x+4),則方程

f(x)=/(2-x)的所有根的和為()

A.4+73B.1C.3D.5

【分析】由xWO時，/(x)=x(x+4),利用函數/(x)是定義在R上的奇函數，求得函數的解析式，然后

根據y=/(2-x)與)，=/(x)的圖象關于直線x=l對稱，在同一坐標系中，作出兩函數圖象，利用數形結

合法求解.

【解答】解：設x>0,貝因為xWO時，/(x)=x(x+4),

所以/(-x)=-x(-x+4)=x(x-4),

又因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，

當xWO時，f(x)=-/(-x)=x(-x+4),

所以小)=［x(x+4),x<0

x(-x+4),x>0

又y=/(2-x)與y=/G)的圖象關于直線x=l對稱，

在同一坐標系中，作出兩函數圖象，如圖所示：

由圖象知：y=/(2-x)與),=/(x)的圖象有3個交點，其中一個根為1,另外兩個根關于x=l對稱，

所以方程/(x)=/(2-x